11 класс, Головастик

Зимний «Головастик» - 2016
11 класс, комбигеометрия – стандарт из Инета
1. Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин
сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет
отрезан какой-нибудь кусок.
2. а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же
прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты,
причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.
3. Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах
треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и
для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из нее отрезков. Могло ли так
случиться, что все эти числа оказались четными?
4. Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну
точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр –
это максимальное расстояние между точками множества.)
5. Некоторый треугольник можно вырезать из бумажной полоски единичной ширины, а из любой
полоски меньшей ширины его вырезать нельзя. Какую площадь может иметь этот треугольник?
6. На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у
которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.
7. Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.
8. Дан выпуклый n -угольник ( n>3 ), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя
остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если
она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную
окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых
не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.
9. На плоскости даны два таких конечных набора P1 и P2 выпуклых многоугольников, что любые
два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P1 и P2 есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.
10. Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как
на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?
Зимний «Головастик» - 2016
11 класс, немного теории чисел
1. В бесконечной последовательности a0, a1, a2, ..., an, … натуральных
чисел (ai, ai+1) > ai–1 при всех натуральных i. Докажите, что an  2n при
всех натуральных n.
2. Найдите все пары (u, v) натуральных чисел такие, что uv3/(u2+v2) —
степень простого числа.
3. Существует ли натуральное число, среди натуральных делителей
которого точных квадратов ровно в 2011 раз больше, чем точных кубов?
4. Жители города Натуральный живут в домах с номерами от 2 до 2011
(каждый житель — в своем доме с уникальным номером). Некоторые
из них дружат между собой. В журнале «National Geographic» написали, что у двух жителей есть общий друг тогда и только тогда, когда
номер дома одного из них делится на номер дома другого. Докажите,
что журнал врёт.
5. Натуральные числа x , y , z ( x>2 , y>1 ) таковы, что xy+1=z2 . Обозначим через p количество различных простых делителей числа x , через q – количество различных простых делителей числа y . Докажите,
что p q+2 .
6. Докажите, что для любого натурального a>2 существуют бесконечно много натуральных n таких, что an–1 делится на n2.
7. Натуральные числа n, m, k таковы, что 5n – 2 и 2k – 5 делятся на 5m–
2m. докажите, что n и m взаимно просты.
8. Пусть p – нечетное простое число. Найдите количество подмножеств А множества {1, 2, …, 2p} таких, что А содержит ровно p элементов и сумма всех элементов из А делится на p.
9. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных составных чисел n, что число 3n–1–2n–1 делится на n.
10. Существуют ли натуральные значения n, при которых числа 2n+1-1
и 2n-1(2n-1) одновременно являются кубами целых чисел?
Determine all functions f : R ! R, where R is the set of all real
Зимний «Головастик» - 2016
11 класс, немного теории чисел
11. Найдите все натуральные n, имеющие не менее 4 натуральных делителей и такие, что сумма квадратов двух наименьших и двух наибольших
делителей числа n больше самого числа n в нечетное натуральное число
раз.
12. Cумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их
ушестерённое произведение. Найдите все такие наборы.
13. Найдите наименьшее простое p такое, что 2120!–1 делится на p и не делится на p2.
14. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не
представимых в виде ab–c, где числа a, b, c — простые.
15. Найдите все пары целых чисел a и b, для которых сумма
(19a+b)18+(a+19b)18+(a+b)18 является квадратом целого числа.
16. Простое число p называется антиквадратным, если для любого про𝑝
стого числа q < p число 𝑝 − [𝑞] 𝑞 не делится ни на какие квадраты натуральных чисел, больших 1. Найдите все антиквадратные простые числа.
17. Назовем натуральное число неинтересным, если оно представляется в
𝑎2 𝑏
виде 𝑎−𝑏 при натуральных a и b. Назовём натуральное число бесполезным, если оно не является количеством делителей никакого неинтересного числа. Найдите все бесполезные числа.
18. Ненулевые взаимно простые в совокупности целые числа a, b, c, d та1
1
1
1 2
ковы, что 𝑎bcd (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 )2 . Докажите, что все нечётные простые делители числа a2+b2+c2+d2 при делении на 4 дают ост. 1.
19. Докажите, что все стозначные числа можно умножить на одно и то же
натуральное число так, чтобы суммы цифр всех произведений были одинаковыми.
20. Докажите, что все стозначные числа можно умножить на одно и то же
натуральное число так, чтобы суммы цифр всех произведений были различными.