Задачи. 1. Найдите все целые числа а, для которых число 𝑎2 +1 𝑎+2 будет целым. 2. Пусть х и y – целые числа такие, что 3х+7y делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. 3. Найдите все числа, которые оканчиваются цифрами …1969 и уменьшаются в целое число раз после вычёркивания этих цифр. 4. Найдите все простые числа p и q, для которых верно равенство 𝑝2 − 2𝑞 2 = 1. 5. Докажите, что для чётных натуральных чисел n число 𝑛3 + 20𝑛 делится на 48. 6. Решите в целых числах уравнение 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 = 24. 7. Докажите, что сумма квадратов десяти последовательных натуральных чисел никогда не является полным квадратом. 8. Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых является полным квадратом. 9. Докажите, что число 354-327*212+224 является составным. 10. Найдите все пары (х,y) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х2+y2=х3. 11. Найдите наибольшее натуральное число n такое, что 1995! делится на 10 n. 12. Найдите все натуральные числа n и m такие, что 1!+2!+…+n!=m2. 13. Докажите, что не существует таких целых чисел n и m, что m3+6m2+5m=27n3+9n2+9n+1. 14. Докажите, что не существует простого числа p такого, что n!+1<p≤n!+n (n≥2). 15. Найдите наименьшее простое число, являющееся делителем числа 311+513. 16. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих равенству х2-xy-2x+3y=11. 17. Найдите два двузначных числа, если известно, что сумма остальных двузначных чисел в 50 раз больше одного из этих двух чисел. 18. При каких натуральных n число n2+17n-2 делится а) на 11, б) на 121? 19. Найдите наибольшую степень двойки, на которую при любом нечётном а делится число а12-а8-а4+1.