Домашнее задание 8 класс

Домашнее задание 8 класс
1. На доске выписаны n последовательных натуральных чисел. Двое
играют в следующую игру: они по очереди разными мелками зачеркивают
по одному из не зачеркнутых ранее чисел, и так до тех пор, пока все числа
не будут зачеркнуты. Если окажется, что первый игрок зачеркнул два рядом
стоящих числа, то он проиграл, иначе - проиграл второй. Найдите все
значения n, при которых первый игрок может выиграть, независимо от игры
второго игрока.
2. Доказать тождество [а + ½] = [2a] – [a], где [a]-- целая часть числа а,
то есть наибольшее целое число, не превосходящее а.
3. Натуральные числа X и Y получаются друг из друга перестановкой
цифр. Докажите, что числа 5Х и 5У имеют одинаковые суммы цифр.
4. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон,
выходящих из той же вершины.
5. Известно, что число n является суммой квадратов трех натуральных
чисел. Докажите, что число n2 тоже является суммой квадратов трех
натуральных чисел.
6. Построить параллелограмм, у которого середины трех сторон лежат в
заданных точках.
7. Построить квадрат, три вершины которого лежат на трех данных
параллельных прямых.
8. Выберем среди всех натуральных чисел с нечетной суммой цифр те,
которые не больше 1000, и сложим их. Сколько получится ?
9. Разложите из множители многочлен: n 5  n  1
1 3 5
99
1

10. Доказать, что   ... 
2 4 6 100 10
1
1
1
1


 ... 
1  5 5  9 9  13
(4n  3)( 4n  1)
12. Найти целое число, кубичный корень из которого равен количеству
тысяч этого числа.
13. Решить в целых числах уравнение 19x2- 65у2 = 1965.
14.На трех крайних справа полях шахматной доски 1хN стоит по одной
фишке, двое играют в следующую игру: каждый по очереди берет одну из
фишек и передвигает ее на несколько полей влево. Проигрывает тот, кому в
свою очередь невозможно сделать ход. Кто выигрывает в этой игре?
15. Составить алгоритм и программу, определяющую последнюю цифру
числа an, где натуральные числа n, а вводятся.
11. Вычислите сумму:
16. Разделить х5 - Зх3 + 2x2+ x -- 1 на х2 - 1.
Информатика
1. Для изготовления химического прибора взяли бесконечную плоскую равномерную по толщине пластину. На нее нанесли катализатор в
виде точек, требуется вырезать из пластины квадратный кусок наименьшего веса, причем так, чтобы по крайней мере две различные точки ( порции катализатора) лежали на границе этого куска.
Итак, входные данные: N - число точек катализатора(N ,<9 ).
( xi , yi )-- координаты точек (0<i<=N).
Выходные данные:
(хс, ус) - координаты центра искомого квадрата наименьшего веса,
( u1 , v1 ), ( u 2 , v2 )- - координаты любых двух различных
вершин этого квадрата.
2. Даны целые коэффициенты a, b, c, d многочлена aх3 +b х2 +cx + d.
Найти все его а) целые, б) рациональные корни, использовать
теорему Виета.
3. Разработать алгоритм и написать программу для вывода на экран
счета в игре "Быки и коровы". Входные данные - число цифр в загадываемых двух натуральных числах, результат -- две цифры: число угаданных
цифр, стоящих на своих местах, и число угаданных цифр. не стоящих на
своих местах.
4. Имеются гири с массами 1г, 2г, ...,N г (N10000). Написать
алгоритм и программу, распределяющую эти гири на максимально
возможное количество пар так, чтобы суммарный вес гирь в каждой паре
выражался простым числом.
Комбинаторика
1.Имеется много белых, красных и синих квадратов со стороной 10
каждый. Сколько из них можно составить различных по раскраске
квадратов стороной 20 см, если каждый большой квадрат составлять из
четырех малых,
2. Имеются 2n одинаковых белых и Зm одинаковых черных шаров.
Сколькими способами из них можно взять n + m шаров?
3.Сколько имеется разных пятизначных чисел, все цифры которых
четные?
4. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляют всевозможные семизначные
числа, в записи которых каждая цифра участвует только один раз.
Доказать, что сумма всех этих чисел делится на 9.