22 2 ... 

1. Укажите все натуральные числа n такие, что (n–1)! делится на n. (m!=12...(m–1)m.)
2. При каком наименьшем значении n число 22 ... 2 кратно 17?

n циф р
3. К простому числу прибавили 400 и получили квадрат натурального числа. Каким могло быть исходное
простое число?
4. Во сколько раз у числа 10001000 количество чётных натуральных делителей больше количества нечётных
натуральных делителей?
5. Сколькими способами ладья может с поля a1 попасть на поле h8 шахматной доски, двигаясь только вправо
и вверх?
6. Во время избирательной кампании партии давали 5 различных обещаний, причём наборы обещаний у всех
партий были разными, но у любых двух партий было хотя бы одно общее обещание, которое они давали. Какое наибольшее количество партий могло участвовать в кампании?
7. Найдите сумму всех целых делителей числа 2012, не включая 2012.
8. Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009.
9. Сколькими способами на шахматную доску можно поставить 8 ладей, не бьющих друг друга, так, чтобы
все ладьи стояли на клетках одного цвета?
10. Из числа 123456789 вычеркнули минимальное количество цифр так, что оставшееся число делится на 12.
Какое число могло остаться после вычёркивания цифр?
11. Сколько трёхзначных чисел, в десятичной записи которых нет тройки, делятся на 3?
12. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску наибольшее количество не бьющих друг
друга слонов?
13. Сколько решений имеет система уравнений: ab=3c, bc=5a, ca=7b?
14. Сколько решений имеет ребус: НИЖНИЙ=ЛЮБИМЫЙ? (Одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры)
15. С натуральным числом каждую минуту проделывают следующую операцию: если оно делится на 10, его
делят на 10, а если не делится, к нему прибавляют 1. Когда число становится равным 1, операции прекращаются. Сколько существует чисел, впервые становящихся равными 1 ровно через 10 минут?
16. В числе 9876543210 зачёркиваются цифры (от 1 до 9 штук) так, чтобы оставшееся число было чётным.
Сколько таких различных чисел можно получить?
17. В числе 9876543210 зачёркиваются цифры (от 1 до 9 штук) так, чтобы оставшееся число делилось на 3.
Сколько таких различных чисел можно получить?
18. Найдите наименьшее натуральное число a, для которого существует такое натуральное b, отличное от a,
что a2008 b2007, b2007a2006, a2006b2005, …, b3 a2, a2b. Укажите такое a и все допустимые значения для b.
19. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение xyz + 2x + 3y + 6z = xy + 2xz + 3yz?
20. Сколько существует раскрасок доски 88 таких, что при перестановке строк местами и столбцов местами можно получить доску с шахматной раскраской?
21. При скольких n из первой сотни произведение первых n натуральных чисел не делится на их сумму?
22. Найдите наименьшее натуральное число из наибольшего количества различных цифр такое, что у любой
пары соседних цифр НОК (наименьшее общее кратное) является однозначным числом.
23. Сколько в третьем тысячелетии годов, записываемых только чётными цифрами?
24. Сколько существует десятизначных чисел из различных цифр, в которых любые две идущие подряд цифры дают двузначное число, делящееся либо на 2, либо на 7?
25. Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 10 и имеющее ровно 10 различных натуральных
делителей.
26. В классе 30 учеников. На каждом уроке физкультуры учитель делит класс на 2 команды, играющие друг
против друга. Какое наименьшее количество уроков можно провести так, чтобы каждые два ученика хотя бы
раз сыграли друг против друга?
27. Сколько существует десятизначных чисел, у которых каждая последующая цифра не меньше предыдущей? Ответ дать числом в десятичной записи.
28. Счастливым называется билет с шестизначным номером (может начинаться и с нулей), в котором сумма
первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Среди какого наибольшего количества подряд идущих
номеров может не оказаться счастливого билета?
29. a, b, c - натуральные числа, удовлетворяющие равенству a2+b2=c2. Найдите наибольшее натуральное
число, на которое гарантированно делится число abc.
30. Сколько существует степеней семёрки, оканчивающихся на 007?