«Можно с полной вероятностью сказать, что всё невероятное вполне вероятно» Ф. Крэнс, математик XVIII век Пусть проводится опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез), образующих полную группу: Н2 Н3 Н4 Каждая из гипотез осуществляется случайным Н1 образом и представляет собой случайное событие. Вероятности гипотез известны и равны: А Нn Требуется вычислить полную вероятность. Полную вероятность события А можно найти по формуле P(A) P(H1 ) PH1 (A) P(H2 ) PH2 (A) P(H3 ) PH3 (A) P(H4 ) PH4 (A) ... P(Hn ) PHn (A) Следствием обеих теорем вероятности – теоремы сложения и теоремы умножения – является формула полной вероятности. • Пример. – В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшегосорта. • Решение. – – Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через A1, A2, A3 обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям. Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях: Подставляя эти значения в формулу полной вероятности: • Пример. На склад поступает оборудование от трех разных производителей. От первого поступило 20 образцов, от второго — 10, а от третьего — 70. Вероятность брака у этих производителей соответственно равна 0,25; 0,35 и 0,55. Найти вероятность получить бракованный образец при выборе наугад. • Решение. Всего у нас 20 + 10 + 70 = 100 образцов. Поэтому вероятность события A1, что образец получен именно от первого производителя (от него поступило 20 образцов), равна P(A1) = 20/100 = 0,2. Аналогично, P(A2) = 10/100 = 0,1; P(A3) = 70/100 = 0,7. События A1, A2 и A3 попарно несовместны и в сумме покрывают пространство всех возможных событий. Применяем формулу полной вероятности: Применение формулы полной вероятностей • Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н1,Н2…Нn . Вероятности этих гипотез до опыта считаются известными: Р(Н1),Р(Н2)…Р(Нn). • Производится опыт, происходит событие А. в результате которого Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением события А? Определим условные вероятности каждой из гипотез Р(Нi/А). По теореме об умножении вероятностей: P( A H i ) P( A) P( H i | A) P( H i ) P( A | H i ) Отсюда P( H i ) P( A | H i ) P( H i | A) P( A) По формуле полной вероятности n P( A) P( H i ) P( A | H i ) i 1 PA (Hi ) P(Hi ) PH (A) i n P(Hi ) PHi (A) i 1 • Базируется на формуле полной вероятности и теореме умножения вероятностей. • Пример. – После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок. • Решение. • • • • Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н1 – первый попал, а второй промахнулся, Н2 – первый промахнулся, а второй попал, Н3– оба попали, Н4 – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28, р(Н3) = 0,6·0,7 = 0,42, р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12.Тогда р(А/Н1) =р(А/Н2) = 1, р(А/Н3) = р(А/Н4) = 0. Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим: • 1)Математический инструмент в теории вероятностей. 2)В статистике – как обобщение предшествующего опыта. Предполагается, что нами накоплен опыт, позволяющий экспериментально оценить распределение вероятностей. 3)В статистике - для сравнения разных моделей в случае, когда распределения настолько нечетки, что вообще несущественны. • 4)Описание умонастроения. Сторонники интерпретации вероятности события как меры субъективной уверенности в его возможности могут пересчитывать эти величины в процессе появления новых данных. Очевидно, что математика здесь может быть подобной мельнице перемалывающей труху: произвол в определении априорных вероятностей может быть опасным. • В частности формула полной вероятности и формула Байеса применяются при обосновании некоторых правил стрельбы. • В стрелковой практике, цель которой – уточнить некоторые особенности условий стрельбы. Например, уточняются: положение цели, положение средней траектории, некоторые особенности употребляемого оружия или любые другие особенности условий стрельбы, влияющие на ее эффективность. Спасибо за внимание!