Теорема гипотез

Теорема гипотез
Следствием теоремы умножения и формулы полной
вероятности является так называемая теорема гипотез, или
формула Бейеса.
Поставим следующую задачу.
Имеется
полная
группа
несовместных
гипотез
. Вероятности этих гипотез до опыта
известны и равны соответственно
.
Произведен опыт, в результате которого наблюдено
появление некоторого события
. Спрашивается, как
следует изменить вероятности гипотез в связи с
появлением этого события?
Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти
условную вероятность
для каждой гипотезы.
Из теоремы умножения имеем:
,
или, отбрасывая левую часть,
,
Выражая
имеем:
с помощью формулы полной вероятности
Формула и носит название формулы Бейеса или теоремы
гипотез. Формулы Бейеса позволяют переоценить
вероятности гипотез после того, как становится
известным результат испытания, в итоге которого
появилось событие А.
• Пример. Детали, изготовляемые цехом
завода, попадают для проверки их на
стандартность к одному из двух
контролеров. Вероятность того, что деталь
попадает к первому контролеру, равна 0,6,
а ко второму — 0,4. Вероятность того, что
годная деталь будет признана стандартной
первым контролером, равна 0,94, а
вторым—0,98. Годная деталь при проверке
была признана стандартной. Найти
вероятность того, что эту деталь проверил
первый контролер.
• Пример. Два стрелка независимо друг от
друга стреляют по одной мишени, делая
каждый по одному выстрелу. Вероятность
попадания в мишень для первого стрелка
0,8, для второго 0,4. После стрельбы в
мишени обнаружена одна пробоина. Найти
вероятность того, что эта пробоина
принадлежит первому стрелку.
Схема независимых испытаний частная теорема о повторении опытов
При практическом применении теории
вероятностей часто приходится встречаться с
задачами, в которых один и тот же опыт или
аналогичные опыты повторяются
неоднократно. В результате каждого опыта
может появиться или не появиться некоторое
событие , причем нас интересует не результат
каждого отдельного опыта, а общее число
появлений события в результате серии
опытов.
• Несколько
опытов
называются
независимыми, если вероятность того или
иного исхода каждого из опытов не зависит
от того, какие исходы имели другие опыты.
Например,
несколько
последовательных
бросаний монеты представляют собой
независимые
опыты.
Несколько
последовательных выниманий карты из
колоды представляют собой независимые
опыты при условии, что вынутая карта каждый
раз возвращается в колоду и карты
перемешиваются; в противном случае это –
зависимые опыты.
Независимые опыты могут производиться в
одинаковых или различных условиях. В
первом случае вероятность события А от
опыта к опыту меняется. К первому случаю
относится частная теорема, а ко второму –
общая теорема о повторении опытов.
Пример.
Производится
три
независимых
выстрела по мишени, вероятность попадания в
которую при каждом выстреле равна . Найти
вероятность того, что при этих трех выстрелах
мы получим ровно два попадания.
Решение. Обозначим
событие, состоящее в
том, что в мишень попадет ровно два снаряда.
Это событие может произойти тремя способами:
1) попадание при первом выстреле, попадание
при втором, промах при третьем;
2) попадание при первом выстреле, промах при
втором, попадание при третьем;
3) промах при первом выстреле, попадание при
втором, попадание при третьем.
Решение. Обозначим
событие, состоящее в
том, что в мишень попадет ровно два снаряда.
Это событие может произойти тремя способами:
1) попадание при первом выстреле, попадание
при втором, промах при третьем;
2) попадание при первом выстреле, промах при
втором, попадание при третьем;
3) промах при первом выстреле, попадание при
втором, попадание при третьем.
Следовательно, событие
можно представить
как сумму произведений событий:
,
где
- попадания при первом, втором,
третьем выстрелах соответственно,
промах при первом, втором, третьем выстрелах
Учитывая, что три перечисленных варианта
события
несовместны, а события, входящие в
произведения,
независимы,
по
теоремам
сложения и умножения получим:
,
или, обозначая
,
.
Во многих практических случаях при многократных независимых испытаниях могут
быть только два исхода: случайное событие А произойдет или не произойдет. Пусть
вероятность того, что в каждом из этих независимых испытаний произойдет событие
А, равна р. Тогда вероятность противоположного события (А не происходит ) равна q.
Сочетанием из п элементов но к, где 0<k<n, называется
подмножество из k элементов, выбранных из множества,
состоящего из n элементов.
Различные сочетания отличаются друг от друга только выбранными
элементами. Их взаимное расположение не имеет значения.
Основное множество из n = 7 элементов (а) и некоторые его сочетания
по k=4 элемента (б).
Пример. В соревнованиях участвуют 12 команд.
Сколько существует вариантов финальных пар?
Пример. Сколько существует вариантов
разбиения студенческой группы из 25 человек
на две подгруппы, в каждой из которых от 10
до 15 человек?
Для нескольких групп однотипных электроприемников или
элементов схема независимых испытаний записывается столько
раз, сколько групп однотипных элементов рассматривается, при
этом между формулами ставится знак умножения.
Где i = 1, n - число групп однотипных электроприемников или
элементов.
Под
однотипными
электроприемниками
(элементами)
понимаются такие электроприемники (элементы), у которых
одинаковые
номинальные
мощности
и
включения (вероятности безотказной работы).
коэффициенты
Определить вероятность одновременного
выхода из строя двух генераторов из четырех,
одной ВЛ и одного трансформатора Т2
Определить вероятность одновременной работы двух
электроприемников мощностью 20 кВт и трех
электроприемников мощностью 10 кВт
Общая теорема о повторении
опытов
Частная теорема о повторении опытов касается того
случая, когда вероятность события во всех опытах
одна и та же. На практике часто приходится
встречаться с более сложным случаем, когда опыты
производятся
в
неодинаковых
условиях,
и
вероятность события от опыта к опыту меняется.
Например, если производится ряд выстрелов в
переменных условиях (скажем, при изменяющейся
дальности), то вероятность попадания от выстрела к
выстрелу может заметно меняться.
В этих случаях вероятности комбинаций
приходится расписывать подробно. Так,
вероятность появления одного любого из
трех событий приходится вычислять по
формуле:
P31  P  A1  1  P  A2   1  P  A3    P  A2  1  P  A1   1  P  A3    P  A3  1  P  A1   1  P  A2  
При большом количестве n событий число комбинаций и, следовательно,
число слагаемых существенно возрастает.
, разложение которой по степеням
Функция
параметра дает в качестве коэффициентов вероятности
, называется производящей функцией вероятностей
, или просто производящей функцией.
n
Z    qi  pi Z  ,
i 1
где pi=P(Ai) – вероятность появления i-го события
qi=1-P(Ai) – вероятность отсутствия i-го события
П - символ произведения
Для n=3 производящая функция равняется
Z   q1  p1Z q2  p2 Z q3  p3Z 
При увеличении n количество сомножителей
увеличивается.
Результатом
вычисления
произведения является многочлен вида
 = a0
0
Z+
a1Z+ a2
2
Z+
a3
3
Z+
…+
n
anZ
где а0, а1, … аn – коэффициенты при
представляющие числа из комбинаций qi и pi.
Z,
Каждый коэффициент численно равен вероятности
появления такого количества событий, число которого
равняется показателю степени Z.
Каждый коэффициент численно равен вероятности
появления такого количества событий, число которого
равняется показателю степени Z. Так при отсутствии
любого события показатель степени равняется 0, а
вероятность равняется
a0  Pn0  q1q2q3...qn
При одновременном появлении всех n событий
показатель степени равняется n, а вероятность равняется
an  Pnn  p1 p2 p3... pn
Каждый коэффициент численно равен вероятности
появления такого количества событий, число которого
равняется показателю степени Z. Так при отсутствии
любого события показатель степени равняется 0, а
вероятность равняется
a0  Pn0  q1q2q3...qn
При одновременном появлении всех n событий
показатель степени равняется n, а вероятность равняется
an  Pnn  p1 p2 p3... pn
Пример. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с
различных расстояний; вероятности попадания при этих выстрелах равны
соответственно
.
Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий:
.
Пример 2. Устройство состоит из трёх
независимо работающих элементов.
Вероятности безотказной работы элементов
(за время t) соответственно равны: p1=0,7; р2
= 0,8; р3 = 0,9. Найти вероятности того, что за
время t будут работать безотказно: а) все
элементы; б) два элемента; в) один элемент;
г) ни один из элементов