z 1 x

Учебный курс
Эконометрика:
идентификация, оценивание и
анализ статических моделей
Лекция 10
кандидат технических наук, доцент
Поляков Константин Львович
Нормальное распределение
случайной составляющей
в линейной регрессионной
модели на практике
встречается редко.
2
Будут ли свойства МНК
оценок параметров
линейной регрессии
улучшаться с ростом числа
измерений ?
3
Основные предположения
П1. Линейность: Y=Xa+v
П2. Полнота ранга:XMT,n, rank{X}=n
П3. Экзогенность независимых
переменных: "t E[vt|X]=0
П4. Гомоскедастичность и
отсутствие автокорреляции:
" t,s D[vt|X]=s2 cov[vt,vs|X]=0
П5. «Нормальная гипотеза»: v|X~N(0, s2I)
4
П3+ (xt,vt) – последовательность
независимых случайных величин
1 ' 
П 6 p lim  X X   Q  0
T 
T
 МНК
Состоятельность
1
оценок
 1 параметров
 1 ' 
'
aˆ линейной
a X X
X
v



регрессии
T

 T

1 ' 
 Ew   0
w  X v, 
 p lim w  0


lim
D
w
0
T
T 

T 
5
Условия Гренандера


 
k '
G1 X  x x ...x , p lim x x  
T 
Асимптотическая
2
нормальность
МНК
оценок
xi ,k
k ' k
G 2 d k параметров
 x x "i линейной
1, T lim
0
T  d
k
регрессии
1 2
n
k
 



G3 RT  ri , j  r x , x , lim RT  R  0
i
j
T 
6
Пусть vt независимо
распределенные случайные
величины
с математическим
При соблюдении
слабых условий
ожиданием равным
0 и конечной
распределение
МНК оценки
параметров
дисперсией
s2,асимптотически
а для xij
Формулировка
теоремы
линейной
регрессии
нормальноусловия
вне зависимости
от
выполняются
Гренандера.
распределения
Тогда: случайной
составляющей.
 s
1 
aˆ ~ N  a,
Q 
 T

асс
2
7
Если vt – одинаково
распределенные независимые
случайные
величины соценки
конечной
Состоятельность
дисперсией,
то
дисперсии
случайной
составляющей
2
2
p lim s  s
T 
8
Асимптотическая
эффективность
Оцениватель асимптотически
эффективен,
если он состоятелен,
Если
случайная составляющая
в модели
асимптотически
распределен
и
линейной нормально
регрессии имеет
не
его
асимптотическая
ковариационная
нормальное
распределение,
то МНК
матрица
больше,
чемасимптотически
асимптотическая
оценка не
может
не быть
ковариационная
матрица любого другого
эффективной.
состоятельного и асимптотически
нормально распределенного оценивателя.
9
Что делать, если
нарушается предположение
об экзогенности
независимых переменных ?
10
«Пропущенная переменная»
yt=a0+a1xt+a2zt+vt  yt=a0+a1xt+(a2zt+vt)
Примеры
yt=a0+a1xt+wt, r(x,w)=r(x,z)
«Ошибки измерения»
yt=a0+a1xt+vt, zt=xt+wt
yt=a0+a1zt+ut,
yt=a0+a1(zt-wt)+vt 
ut=(vt-a1wt)
r(z,u)=-a1D[w]
11
При нарушении предположения
об экзогенности МНК оценки
параметров линейной регрессии
теряют свойство состоятельности.
1
1 '  1 ' 
aˆ  a   X X   X v 
T
 T

Негативные
последствия
1

' 
p lim  X v   0
T   T

12
Инструментальные переменные
X
V
r(x,v) 
П3. Экзогенность независимых
П3*. "t E[vt|X]=dt
переменных: "t E[vt|X]=0
Можно измерить для
тех же условий, что и
(Y,X) !
Z
13
Количество инструментальных
переменных (m) не меньше, чем
количество независимых переменных в
модели (n).
Свойства
1 ' 
ИП
1. p lim  Z v   0
инструментальных
T
T 


переменных
1 ' 
ИП 2. p lim  Z X   Qzx , rank Qzx   n
T 
T

1 ' 
ИП 3. p lim  Z Z   Qzz  0
T 
T

14
Случай, когда m=n


1
ˆ ИП  Z X Z Y
a
Чем выше корреляция между
aˆ ИП
'
'
1
инструментальными
и
1
1

 
'
'  p lim a
ˆ
 aнезависимыми
  Z X  переменными,
Z v  T  ИП
 Tтем точнее
  Tоценки.

aˆ ИП
a
 s
1
1 
~ N  a, Qzx QzzQzx 
 T

асс
2
15
Случай, когда m>n
1 ' 
ИП1. p lim  Z v   0
T 
T

Необходимо «правильно» выбрать n
линейных комбинаций m
инструментальных
переменных.
Любая линейная комбинация
инструментальных переменных
асимптотически не коррелирует со
случайной составляющей.
16
x
Независимая
переменная

'
ˆ
aˆ  X X
z1
IV

1
'
ˆ
XY
x̂
L(Z)
Двухшаговый МНК
2SLS
z2
17
X=[Xkxk], Xk - экзогенные переменные,
xk - коррелирует со случайной
составляющей
Z=[Xk,z1,…,zq]


k
ˆ
X  X k xˆ

Преимущества 2SLS
2SLS оценка обладает самой
маленькой ковариационной матрицей
среди всех ИП оценок основанных на
линейных комбинациях
инструментальных переменных.
18
 
Covâ ИП   s X̂ X̂
2
'
1
1
'
sˆ  Y  Xaˆ ИП  Y  Xaˆ ИП 
T
2


'
1
~
s  Y  Xˆaˆ ИП Y  Xˆaˆ ИП
T
2

19
Как обнаружить нарушение
экзогенности ?
20
Критерий Хаусмана
21
Джерри Хаусман
(Jerry A. Hausman),
профессор Экономики в
Массачусетском
технологическом
институте.
http://econ-www.mit.edu/faculty/hausman
22
1 ' 
H 0 : p lim  X v   0
T 
T

p lim aˆ МНК  a
T 
p lim aˆ ИП  a
T 
1 ' 
H1 : p lim  X v   0
T 
T

p lim aˆ МНК  a
T 
p lim aˆ ИП  a
T 
23
d  aˆ ИП  aˆМНК
h  d Cd , C  Covd 
'
«Ковариация между эффективной
Как
подсчитать
“C”
?
оценкой
вектора матрицу
параметров
и
Статистика
разностью между этой оценкой
и
Вальда
неэффективной оценкой того же
вектора равна нулю.» (Джерри
Хаусман, 1978)
C  CovaˆИП   CovaˆМНК 
1

1
1
1 ' ˆ ' ˆ
'

h  2 d X X  X X 
d


s


24
Если “X” и “Z” не имеют общих
переменных, то ранг матрицы статистики
Хаусмана меньше “n” и она не обратима.
Если “k” переменных “X” входит в “Z”, то
статистика Хаусмана является
квадратичной формой ранга “J=n-k”.
H0
h ~  J ,
асимптотически !
25