Основные формулы теории вероятности

Основные формулы теории
вероятности
1
Умножение вероятности
Пусть событие «А» выполняется при
выполнении двух независимых событий «B»
и «С». Тогда
p ( А)  p ( B)  p (С )
2
Пример
В урне 5 белых и 5 черных шаров. Найти
вероятность того, что первые 3 вынутых
шара будут белыми.
Решение: Перед первым вытаскиванием
в урне было N=10 шаров, из них n=5
белых. Тогда вероятность вытащить
белый шар при первом вытаскивании
n
5 1
p1  

N 10 2
3
Перед вторым вытаскиванием в урне
было N=9 шаров, из них n=4 белых.
Тогда вероятность вытащить белый шар
при втором вытаскивании
n 4
p2  
N 9
Аналогично при третьем
n 3
p3  
N 8
Тогда искомая вероятность
1 4 3 1
p  p1  p2  p3    
2 9 8 12
4
Условная вероятность
Условной вероятностью события «A» при
условии «B» называется вероятность
того, что событие «А» произошло, если
известно, что произошло событие «В»
Пример: Два игрока играют в кости 1
кубиком. Найти вероятность, что
первый выиграет в общем случае и,
если второй выбросил «4».
5
Решение:
Всего возможно N=6·6=36 вариантов
исхода, из них 6 дают ничью и из
симметрии задачи n=(36-6)/2=15
выигрыш. Тогда p=15/36=5/12.
Если второй выбросил «4», то для
первого возможно 6 вариантов, из них
два дают выигрыш, p=2/6=1/3
6
Сложение вероятностей
Два события. Пусть имеются события «А» и «В».
Найти вероятность события «C»=«А» U «В»
p(c)  p( A)  p( B)  p( A)  p( B)
7
Сложение вероятностей
Пусть имеется 3
события «А», «В» и
«С».
«D»= «А» U «В» U «С»
p ( D)  p ( A)  p ( B)  p (C ) 
 p ( A)  p ( B)  p ( A)  p (C )  p ( B)  p (C ) 
 p ( A)  p ( B)  p (C )
8
Сложение вероятностей
Аналогично при четырех событиях
p  p1  p2  p3  p4  p1 p2  p1 p3  p1 p4  p2 p3 
 p2 p4  p3 p4  p1 p2 p3  p1 p2 p4  p1 p3 p4  p2 p3 p4 
 p1 p2 p3 p4
9
Следствия
1. Если события «Ак» образуют полную
непересекающуюся группу событий, то
A
k
2.
1
p( A)  p( A)  1
Часто встречаемое обозначение:
p( A)  p
p( A)  q
10
Формула полной вероятности
формула Байерса
Пусть события Ак образуют полную
непересекающуюся группу событий. Пусть
регистрируется событие B. Причем p(B/Ak) –
вероятность, что событие B выполняется при
условии, что выполнено событие Ak. Тогда
p( B)   p( Ak )  p( B / Ak )
11
Пример
Рабочий, практикант и ученик изготавливают
детали.
Вероятность
брака
рабочего
составляет 0.1, практиканта - 0.2, ученика –
0,4. При этом рабочий изготавливает за час 50
деталей, практикант – 30, ученик – 20. Найти
вероятность того, что наудачу выбранная
деталь окажется бракованной.
12
Решение
Пусть A1-событие, что деталь сделана рабочим.
A2 - событие, что деталь сделана практикантом.
A3- событие, что деталь сделана учеником.
B – событие, что случайно взятая деталь –
бракованная.
P(A1)=50/100=0.5 P(B/A1)=0.1
P(A2)=30/100=0.3 P(B/A1)=0.2
P(A3)=20/100=0.2 P(B/A1)=0.4
13
Решение
По формуле Байерса:
p  p( A1 )  p( B / A1 )  p( A2 )  p( B / A2 )  p( A3 )  p( B / A3 ) 
 0.5  0.1  0.3  0.2  0.2  0.2  0.05  0.06  0.04  0.15
14
Важное замечание!
A и B независимые события, тогда и только
тогда, когда p(A)=p(B/A), p(B)=p(B/A).
Таким образом невыполнение хотя бы одного
из этих равенств указывает на то, что данные
события не являются независимыми.
Интересно, что данное утверждение вообще
говоря не верно для применения от частного
случая к общему.
15
Пример
Имеется два кубика. Бросают один из
них. На первом цифры 1, 2, 2, 3, 3, 3. На
втором – 1, 1, 1, 2, 2, 3.
Пусть А – событие, что выбран первый
кубик. Bk (k =1;2;3) -вероятность того,
что выпало k очков.
16
Вероятности P(Bk/A)
P(B1/A)=1/6
P(B2/A)=2/6=1/3
P(B1/A)=3/6=1/2
17
Вероятности P(Bk)
(считаем по формуле Байерса)
p ( B1 )  p ( A) p ( B1 / A)  p ( A) p ( B1 / A) 
1 1 1 3 1
3
4 1
    



2 6 2 6 12 12 12 3
p ( B2 )  p ( A) p ( B2 / A)  p ( A) p ( B2 / A) 
1 1 1 1 1 1 2 1
       
2 3 2 3 6 6 6 3
p ( B3 )  p ( A) p ( B3 / A)  p ( A) p ( B3 / A) 
1 3 1 1
3
1
4 1
    



2 6 2 6 12 12 12 3
18
Получили
k
1
2
3
P(Bk)
1/3
1/3
1/3
P(Bk/A)
1/6
1/3
1/2
Для k=2 Выполняется условие p(Bk)=p(Bk/A), но это
означает, что независимы события B2 и A. Однако
нельзя утверждать, что события A и Bk независимы
для любого k.
19
Дерево вероятностей
Пусть имеется инвестиционная компания, у которой образовался
некоторый свободный капитал, который следует вложить в некую
сферу деятельности.
A1-событие, что его вложат в производство
A2-событие, что его вложат в добывающую промышленность
A3-событие, что его вложат в кредитование.
Исходя из пристрастий руководства можно утверждать:
P(A1)=0.2, P(A2)=0.5, P(A1)=0.3,
Пусть B – событие, что в течение квартала доход составит не менее 10%
от вложенного капитала. Исходя из текущей ситуации на рынке, можно
утверждать:
P(B/A1)=0.4, P(B/A2)=0.3, P(B/A3)=0.2.
Найти вероятности успеха и неудачи во всех возможных случаях.
20
Дерево вероятностей
P=0.08+0.15+0.06=0.29
Инвестиции
Q=0.12+0.35+0.24=0.71
A1, p=0.2
A3, p=0.3
A2, p=0.5
p=0.4
P=0.08
q=0.6
Q=0.12
p=0.2
P=0.06
p=0.3
P=0.15
q=0.8
P=0.24
q=0.7
Q=0.35
21
Итог
P=0.29
Q=0.71
A1, p=0.2
A3, p=0.3
A2, p=0.5
p=0.4
P=0.08
q=0.6
Q=0.12
p=0.2
P=0.06
p=0.3
P=0.15
q=0.8
P=0.24
q=0.7
Q=0.35
22
Следствие из формулы Байерса
Пусть имеется полная непересекающаяся группа
событий {Ak} и известны условные вероятности
события B {p(B/Ak)}
Известно, что событие B произошло. Тогда
вероятность, что при этом произошло событие
Ak есть:
P( Ak )  P( B / Ak ) P( Ak )  P( B / Ak )
P( Ak / B) 

n
P( B)
 P( B / Ai )
i 1
23
Пример
Рабочий,
практикант
и
ученик
изготавливают детали. Вероятность
брака
рабочего
составляет
0.1,
практиканта - 0.2, ученика – 0,4. При
этом рабочий изготавливает за час 50
деталей, практикант – 30, ученик – 20.
Наудачу выбранная деталь оказалась
бракованной. Найти вероятность, что ее
изготовил ученик.
24
Наши обозначения:
A1-событие, что деталь сделана рабочим.
A2 - событие, что деталь сделана
практикантом.
A3- событие, что деталь сделана учеником.
B – событие, что случайно взятая деталь –
бракованная.
P(A1)=50/100=0.5 P(B/A1)=0.1
P(A2)=30/100=0.3 P(B/A1)=0.2
P(A3)=20/100=0.2 P(B/A1)=0.4
25
Было получено:
p  p( A1 )  p( B / A1 )  p( A2 )  p( B / A2 )  p( A3 )  p( B / A3 ) 
 0.5  0.1  0.3  0.2  0.2  0.2  0.05  0.06  0.04  0.15
Искомая вероятность:
p( A3 )  p( B / A3 ) 0.2  0.2 4
p( B / A3 ) 


p( B)
0.15
15
26