Урок 3. Геометрическая вероятность. Недостатком классического определения вероятности является предположение, что число элементарных исходов конечно, хотя на практике часто встречаются испытания с бесконечным числом всевозможных исходов. Для преодоления этого недостатка вводятся геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть объема, часть отрезка времени и так далее). Вероятность попадания точки в какую-нибудь часть g области G прямо пропорциональна мере (mes) этой области (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы p mesg . mesG Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение четверти часа и уходит. Найти вероятность того, что встреча состоялась, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов). Решение: Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат ХOУ, приняв для простоты, что встреча состоится между 0 и 1 часами. Встреча состоится, если x y 1 / 4, когда первый пришёл раньше => y x 1 / 4, когда второй пришёл раньше y x 1/ 4 - заштрихованная область между прямыми: y x 1/ 4 0 x 1 0 y 1 y=x+1/4 и y=x-1/4, находящаяся внутри квадрата p mesg 1 3 3 9 7 , mesG 1, mesg 1 2 S 1 2 1 . mesG 2 4 4 16 16 Следовательно, вероятность того, что встреча состоится, равна 7/16, так как площадь квадрата равна единице. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B). Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An ) или n n i 1 i 1 P ( Ai ) P ( Ai ) Пример. Какова вероятность появления цветного шара из корзины, в которой 5 белых, 13 красных, 2 зеленых и 6 синих шаров? Решение: Если событие A – появление красного шара, B – зеленого, C – синего, то P( A) 2 13 2 6 21 13 6 , P( B) , P(C ) . Следовательно P( A B C ) , так 26 26 26 26 26 26 26 как событие A,B,C попарно независимы. Эта задача проще решается с использованием теоремы: Сумма вероятностей А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна единице: P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)=1 Пусть событие D – появление белого шара, тогда P( A B C ) 1 так как P ( D ) 5 21 , 26 26 5 . 26 Вероятность противоположного события. Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: P ( A) P ( A) 1 . Принято вероятность противоположного события Ā обозначать q, если вероятность события A равна p. p + q = 1 => p = 1 - q. Например, пусть вероятность попадания при каждом выстреле p=0.8, тогда вероятность промаха q = 1 – p = 1 - 0.8 = 0.2. Независимые события. Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет. События A – вынуть один шар из корзины и B – вынуть второй шар из той же корзины без возвращения является зависимым, так как второй шар вынимают из корзины, содержащей на один шар меньше. Речь идет о выемке шаров определенного цвета. Если же шар возвращается в корзину, то события A и B независимы. Условная вероятность. Вероятность события всегда вычисляем при выполнении неких определенных условий. Это вероятность безусловная. Если, кроме заданных, налагаются еще какие-нибудь дополнительные условия, то вероятность называется условной. То есть вероятность события A, вычисленная при условии, что уже наступило событие B, называется условной. Обозначение P(A/B) или PB(A). Условная вероятность вводится для характеристики зависимости одних событий от других. Условие независимости события A от события B можно записать в виде P(A/B) = P(A), а условие зависимости: P(A/B) ≠ P(A), где P(A) – безусловная вероятность события A. Исходя из классического определения вероятности, условная вероятность определяется следующим образом: Условной вероятностью события A, при условии, что произошло событие B, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события B, причем P(B) ≠ 0: P( A B) . P( B ) A P( A) Данная формула не совсем удобная для вычислений, например, при решении следующей задачи: Пример. На полке 15 книг: 8 в переплете и 7 без переплета. Какова вероятность (не глядя) выбрать второю книгу в перелете, если первая была без переплета? Решение: 1. Пусть A – выбрать книгу без переплета, B – в переплете. Так как A произошло, то на полке 14 книг, из них 8 в переплете. Значит, 8 4 P( B ) . A 14 7 2. По формуле P( B A) P( A B) 4 15 4 , так как P(A)=7/15; P( A) 15 7 7 m C17 C81 7!8! 7 8 4 . P( AB) 2 n A15 15 14 6!7! 15 14 15