Определение Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Примеры: 3 9; х 2 5 2 х х 1 11 Виды неравенств: Линейное нер-во 2х+7>0 -8х+4<0 Квадратное нерво Х2-4х+3>0 Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида: a a b a a b x x a a x b a a x b где a > 0, a 1, b – любое число. При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции. a a x b a 1 x b a x b 0 a 1 a x b Простейшие показательные неравенства 1). 3 9 3 x 32 x 2 Ответ : х 2. х 1 1 1 2). 4 2 2 х Ответ : х 2. x 1 2 2 x2 a 1 a a x2 x2 a x1 a x1 x1 a a x1 x2 x1 0 a 1 x2 x2 x1 a a x2 x1 ya x x1 x2 x2 Какие из перечисленных функций являются возрастающими, а какие убывающими? 1) y 5 x возрастающая, т.к.5 1 2) y 0,5 3) y 10 4) y x x x убывающая, т.к.0 0,5 1 возрастающая, т.к.10 1 возрастающая, т.к. 1 Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими? 2 5) y 3 x 6) y 49 2 убывающая, т.к.0 1 3 x 1 1 убывающая, т.к.49 и 0 1 49 49 1 Решения показательных неравенств Способ 1: Уравнивание оснований правой и левой части 3 81 x 3 3 x 4 т.к.3 1, то функция y 3 возрастающая x x4 x 4; Решите неравенство: x 1 1 2 2 3 2 x 1 т.к.0 1, то функция y убывающая 2 2 1 3 x 2 3 x - ; 2 Решите неравенство: 1 2 ; 2 3x 1 2 2 ; 3x т.к. основание 2 1, то функция возрастающая 3 x 1; 1 x ; 3 1 x ; 3 Решение показательных неравенств Способ 2: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем 1 х х 3 3 3 10 3 3 х 3 3 3 1 3 (1 3 ) 10 3 х 3 х 3 (1 9) 10 10 10 : 10 3 3 х 3 х 3 3 > 1, то 1 3 х 3 0 х 3. Ответ: х >3 0 Решение показательных неравенств Способ 3: введение новой переменной (t 9) t 1 0 9 10 3 9 х х 3 10 3 9 0 2х х 3 t (t 0) х 1 t 9 t 2 10t 9 0 D 10 4 9 100 36 64 8 2 10 8 18 t1 9 2 2 10 8 2 t2 1 2 2 1 3x 9 2 3 3 ; 3 3 ; х 2 х2 х 0 х 0. 3>1, то Ответ: х < 2. х>0 Задание № 3 Найдите область определения функции 3 x 1 y 5 1. Решение: Составим неравенство 5 . x 3x 1 1 0 . Решив его, получим: [-1/3; +∞) 3 x 1 Подробнее. 5 3 x 1 1 0 5 3 x 1 1 5 5 0 3x 1 0 x -1/3 Ответ: (1) (-∞;-1/3]; (2) [1/3; +∞); (3) [- 1/3;+∞); (4) (-∞;-1/3). Номера правильных ответов: 3 Задание № 4 Найдите область определения функции 1 y 3 3 x 7 1. Решение: Составим неравенство 1 3 3x 7 1 0. Решив его, получим: x (-∞;7/3] 1 1 Подробнее. 3 3 x 7 1 1 0 3 3x 7 0 x 7/3 Ответ: 3 x 7 1 1 3 3 x 7 0 3 (1) [7/3;∞); (2) (-∞;-7/3]; (3) (-∞;7/3]; (4) (-∞;7/3). Номера правильных ответов: 3 Укажите множество решений неравенства 1,5 x 1 Решение. 4 . 9 4 1,5 , 9 2 x 1 3 2 , 2 1 x 3 2 2 2 , 3 3 x 1 1 x 2, x 1. 1) (-1;+∞) 2) (- ∞;-1) 3) (3;+ ∞) 4) (- ∞;3) С 1. Решите уравнение 3 9 28 3 11 х х 2 2х 2х . 2 2 2 Возможная запись решения ученика. 3 9 28 3 11 х х 2 2х 2х . 2 2 2 3 32 х 28 3 х 11 2 2 х 2 2 х 2 , 2 2 х 2 0; 3 32 х 28 3 х 9 0, 1 х 2 0; 3 32 х 28 3 х 9 0 у 3х , у 0 , тогда 3 у 2 28 у 9 0, 1 или у у9 3 3х 9 или х2 или т.к. 1 х2 0 , то 1 3 х 1 3х х 1 Ответ : 1 Дома:§13, №13.7 – 13.14(б)