ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ» МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Для самостоятельной работы студентов По предмету: МАТЕМАТИКА Тема: «Решение показательных неравенств» Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1 (базовой подготовки) Купино 2021 Рассмотрено на заседании предметной цикловой Методической комиссии по общеобразовательным предметам, общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и естественно-научному циклу Протокол № _____ от «_____» _________20____г. Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н. Купино 2021 г Пояснительная записка к методическому пособию Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме. Цель пособия – повторить понятия: степени, показательной функции и ее свойств, методы решения неравенств и подготовится к занятию по теме «Решение рациональных, показательных и логарифмических неравенств». Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Решение показательных неравенств, тест для самоконтроля и ключи к тесту. Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету. Решение показательных неравенств 1. Основные правила решения неравенств При решении неравенств используют следующие правила: 1. любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется. 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства. 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. Показательными называются неравенства, содержащие переменную в показателе степени. Методы решения показательных неравенств такие же, как и при решении показательных уравнений. Однако, нужно помнить, что прежде, чем сравнивать показатели степеней, сначала необходимо сравнить с единицей основание степени. Решение показательных неравенств основывается на утверждении: Если , то неравенство Если равносильно неравенству , то показательное неравенство равносильно неравенству Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств. Методы решения показательных неравенств. 1) метод сравнения показателей; 2) метод введения новой переменной; 3) метод разложения на множители; 4) функционально-графический метод; 5) метод почленного деления; 6) метод группировки. 1) Метод сравнения показателей основывается на утверждении, приведённом выше. Например, Т.к. , то функция убывающая, значит, Ответ: 2) Метод введения новой переменной используется для упрощения решения неравенств в тех случаях, когда после всевозможных преобразований получили неравенство, в котором появилась возможность обозначить какую-то степень другой переменной и, при этом, все остальные степени также будут выражаться через введённую переменную. Обрати внимание! Если в решении неравенства относительно введённой переменной получили двойное неравенство, то, прежде чем переходить к исходной переменной, необходимо записать это двойное неравенство в виде системы двух неравенств, а затем переходить к исходной переменной. Например, Преобразуем неравенство, используя свойства степеней. Введём новую переменную: . Тогда неравенство принимает вид: Вернёмся к исходной переменной. Т.к., в силу области значений показательной функции, при любом значении , то осталось решить второе неравенство системы. Основание степени , значит, функция возрастающая, поэтому переходя к сравнению показателей, знак неравенства не меняется. Ответ: 3) Метод разложения на множители используется в тех случаях, когда, после произведённых преобразований, получились степени с одинаковыми основаниями и одинаковыми коэффициентами перед переменной в показателе степени. Например, Вынесем за скобки одинаковый множитель, т.е. степень с наименьшим показателем. Т.к. , то показательная функция возрастающая, значит, переходя к сравнению показателей, знак неравенства не меняется. Ответ: 4) Функционально-графический метод обычно используется при решении неравенств смешанного типа, т.е. когда в записи неравенства присутствуют разные функции. При решении таких неравенств следует рассмотреть две функции, построить их графики в одной системе координат, и выяснить, при каких значениях переменной значения одной функции больше (меньше) значений другой функции. Найденные значения аргумента и есть решение неравенства. Например, 1). Графический метод: Рассмотрим функции – показательная функция, график её проходит через точку возрастает, т.к. , дополнительные , точки . – линейная функция, проходящая через точки графиком её является прямая, . Построим в одной системе координат графики этих функций. Они пересекаются в точке с абсциссой 2. По графику определяем, что при значения линейной функции превышают значения показательной функции (при одних и тех же значениях аргумента) т.е. , а при - наоборот, значения показательной функции превышают значения линейной функции, т.е. . Согласно исходному неравенству, значения показательной функции должны быть больше значений линейной, поэтому, решением неравенства является Ответ: . 2). Функциональный метод (с помощью свойств функций) Ветви параболы направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине: Другими словами, Ветви параболы , стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине: Вместе с этим, ограниченной снизу оказывается и функция , стоящая в правой части неравенства. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно . Значит, . Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке . Ответ: 5) Метод почленного деления заключается в том, чтобы разделить каждый член неравенства, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Это без страха можно сделать, поскольку значение показательной функции строго положительно. Этот метод применяется для решения однородных показательных неравенств. Например, Произведём преобразования, используя свойства степеней. Разделим обе части неравенства на Выполним замену переменной: . Возвращаемся к исходной переменной: Первое неравенство системы верно при любых значениях х, значит, осталось решить второе неравенство. Т.к. то функция убывающая, поэтому, сравнивая показатели степеней, знак неравенства меняем на противоположный. . Ответ: . 1) Метод группировки заключается в том, чтобы собрать степени с одинаковыми основаниями в одной части неравенства, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней (всё ещё помним, что делить на степень имеем полное право, поскольку значение показательной функции положительно). Например, Соберём в левой части степени с основанием 2, а в правой части степени с основанием 5. Преобразуем выражение, используя свойства степеней. Вынесем за скобки общий множитель в правой и в левой части. Разделим обе части на , не забыв, при этом, поменять знак неравенства. Разделим обе части неравенства на . Основание степени меньше единицы, поэтому, сравнивая показатели степеней, меняем знак неравенства на противоположный. Ответ: Тест по теме Решение показательных неравенств Вариант 1. 1 8 1. Найдите значение выражения : 5 5 a 5 7 a , при a . 1 1) 5 2) 25 3) 5 4) 54 2.Укажите множество значений функции : y 3 x 2 . 1) 2; 2) ;2 3) 2; 4) ; 3.На одном из рисунков изображен эскиз графика функции y 5 x 2 . Укажите номер этого рисунка. 1 2 1) 2) 4. Решите неравенство : 3 2 x 1 27 . 1) 1; 2) ;1 3) ;4 1 5. Решите неравенство : 1) 6; 2) ;6 5 4 6.Решите неравенство 1 . 25 3) 2; 4) ;1 4) ;2 1. . 2) 2; 1 2 4) 6 x 3 11 1) ; 0 , 5 x 1 3) 3) ; 1 2 4) ; 1 2 x 1 7.Найдите область определения функции y 2 x 10 . 2 1) 5; 2) ; 3) 5; 4) ;5 8.Решите неравенство 49 7 x 7 3 x 3 . 1) ; 1 2 2) ; 1 2 3) 2; 9.Решите неравенство 3 1. 1 4) ; 2 7 x 1) ;0 2) ; 1 7 3) 0; 4) 0; 2 Вариант 2. 1 2 1 2 1. Найдите значение выражения : 3 p 3 p при p . 1) 1 2) 9 3) 3 1 3 4) x 1 2.Укажите множество значений функции : y 1 . 2 1) 1; 2) ;1 3) 1; 4) 1; 3.На одном из рисунков изображен эскиз графика функции y 2 x 1 . Укажите номер этого рисунка. 1) 2) 3) 4) 1 2 4. Решите неравенство : 4 x . 1) ; 1 2 2) ; 3) ; 1 2 1 2 4 5. Решите неравенство : 1 2 1) 6; 2) ;6 1) 5; 2) ; 1 2 0 , 5 x 1 2 4) ; 1 . 25 4) ;2 10 x 2x . 2 3) 5; 1 8.Решите неравенство 1) решений нет 3) ; 5 3) 2; 1 7.Решите неравенство 1. 2) 2; 1 6.Решите неравенство 6 x 3 11 1) ; 1 4) ; 2 x 1 7 2) ;1 4) ;5 x 1 . 49 3) 1; 9.Решите неравенство 6 6 . 1) -1 2) решений нет 3) ; 4) ; x x2 4) 1 1 2 Вариант 3. 1. Найдите значение выражения : 2 1) 25 2) 5 7 3) 1 56a при a . 8 a 7 5 1 25 2 4) 5 7 2.Укажите множество значений функции : y 3 x1 . 1) 1; 2) 0; 3) 1; 4) 0; . 3.На одном из рисунков изображен эскиз графика функции y 5 x2 . Укажите номер этого рисунка. 1) 2) 3) 4. Решите неравенство : 7 4 x 6 49. 1) ;2 2) 2; 3) 2; 5. Решите неравенство : 1 49 3 1) ; 3 2 6.Решите неравенство 1 3 5 4 2) ; 4 5 1 3 1) ;8 2) ; 8 3 1 . 7 4 x 3 5 1 . 81 28 3) ; 5 7.Решите неравенство 4) 1; . 3 3) : 2) ; 2 1) ; х2 4) 4) ; . 3 2 2 4 4) ; 5 x 8 32 x . 3) 8; 4) ;8 8.Решите неравенство 5 25 x 5 3 x 2 . 1) ;3 2) 3; 3) ;3 4) 3; 9.Решите неравенство 4 3 1 . 1) ; 2) ;0 3) 0; 8x 4) ;0 Ответы В1 В2 В3 1 4 2 3 2 3 1 2 3 2 4 1 4 2 3 2 5 1 4 3 6 4 1 1 7 1 3 1 8 2 4 3 9 3 1 2 Критерии оценивания тестовых заданий 9 вопросов 5 (отлично) (9 ответов) 9 вопросов 4 (хорошо) (8 ответов) 9 вопросов 3 (удов) (7 ответов) Литература 1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018 2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012 Интернет-ресурсы 1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в школе, XXI век». 2. http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы. 3. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов
