Показательные неравенства. При решении простейших показательных неравенств 𝒂𝒇(𝒙) ≤ 𝒃, 𝒂𝒇(𝒙) ≥ 𝒃, используется монотонность показательной функции: при 0 < 𝑎 < 1 функция убывающая, при 𝑎 > 1 – возрастающая. Поэтому при рассмотрении показателей степеней в первом случае знак неравенства меняется на противоположный, а во втором – сохраняется. 1. Решение простейших показательных неравенств 𝟑𝒙 < 81 Решение Пояснения 𝒙 𝟑 < 81 преобразуем правую часть неравенства Так как 3>1, то функция 𝑦 = 3𝑥 является возрастающей, значит знак неравенства сохраняется. 𝟑𝒙 < 𝟑𝟒 X<4 Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; 4) 𝟏 𝒙 (𝟐) > √𝟖 2. Решение 𝟏 𝒙 ( ) > √𝟖 𝟐 Пояснения преобразуем правую часть неравенства 𝟑 𝟏 𝒙 ( ) > 𝟐𝟐 𝟐 1 𝑛 Используя свойство степени 𝑎−𝑛 = (𝑎) имеем 1 𝑥 𝟑 𝟏 𝒙 𝟏 −𝟐 ( ) >( ) 𝟐 𝟐 𝒙<− 3 Так как функция 𝑦 = (2) - убывающая, то знак неравенства меняется 𝟑 𝟐 Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; − 2). 𝟑𝒙 𝟐 −𝒙 <9 3. Решение 𝟐 𝟑𝒙 −𝒙 < 9 𝟑𝒙 𝟐 −𝒙 < 𝟑𝟐 𝑥2 − 𝑥 < 2 𝑥2 − 𝑥 − 2 < 0 Пояснения преобразуем правую часть неравенства Так как 3>1 ,то Решим квадратное неравенство 2 -1 Ответ: 𝑥 ∈ (−1; 2) 4. Решение показательных неравенств заменой переменной 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟐 > 0 Решение Пояснения Пусть 4𝑥 = 𝑡 , t>0. 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟐 > 0 𝑡2 + 𝑡 − 2 > 0 Получим квадратное неравенство Решим квадратное неравенство 1 -2 t Решение 4 < −2 и 4 > 1 𝑥 Пояснения Так как 4 = 𝑡, то получим два неравенства 𝑥 4𝑥 < −2 Не имеет решений, т.к. 4𝑥 > 0, при всех 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 4𝑥 > 1 4𝑥 > 40 𝑥>0 Ответ: 𝑥 ∈ (0; +∞) 5. Графическое решение показательных неравенств 1 𝑥 2 ( ) =𝑥− 3 3 1 𝑥 2 Построим графики функций 𝑦 = (3) и 𝑦 = 𝑥 − 3 1 𝑥 𝑦 = (3) y 2 𝑦 =𝑥−3 3 1 0 1 x Из рисунка видно, что графики функций пересекаются в точке с абсциссой x ≈1. Проверка показывает, что x=1 – корень данного уравнения. 1 1 1 2 ( ) = и 1− =1 3 3 3 Покажем, что других корней нет. Функция при 1 𝑥 2 𝑦 = (3) убывающая, а функция 𝑦 = 𝑥 − 3. – возрастающая. Значит, x>1 значения первой функции меньше при x<1 значения первой функции больше 1 1 3 3 , а второй больше ; 1 3 1 ; а второй меньше . 3 Геометрически это означает, что графики этих функций при x<1 и x>1 «расходятся» и поэтому не могут иметь точек пересечения при 𝑥 ≠ 1. Ответ: 1. 6. 𝟐 √𝟐−𝒙 (𝟓) 𝟐 𝒙 >( ) . 𝟓 Решение Пояснения Так как 0 < 2 < 1, то 𝟐 √𝟐−𝒙 𝟐 𝒙 5 >( ) . (𝟓) 𝟓 данное неравенство равносильно неравенству Область определения этого неравенства √2 − 𝑥 < 𝑥 𝑥 ≤ 2. При 𝑥 ≤ 0 оно не имеет решений, так как √2 − 𝑥 ≥ 0 Решения неравенства, содержатся в промежутке 0 < 𝑥 ≤ 2. Возведем неравенство в квадрат, получим √2 − 𝑥 < 𝑥 𝟐 𝟐−𝒙<𝒙 Решим квадратное неравенство 𝒙𝟐 +x-2>0 Ответ: 𝑥 ∈ (1; 2] -2 0 1 2 Задание для самостоятельного решения. Решите неравенство: 1.3 x 2 31 x 2. x 0,5 x 2 2 3. 2 2 x 3 4. 4 x 2 0 , 25 4 0,5 6 x 10 x 2 1 x 27 64 6 5 x 2 25 x 25 5. 4 5 6 x 6 x 1 x 1 7.3 x (3 x 31 x 4) 0 6. 8.2 2 x 1 3 2 x 1 1 0 Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству: 9.2 x 2 10.2 2 x 15 11x 11x 15 2 2 x 3 Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству: 11.3 2 x 3 3 81 12.3 5 x 1 6 5 x 1 x 1 5