Ответы для самопроверки Математический диктант математического диктанта Дано : а (а , а , а ), b (в , в , в ) 1 2 3 1 2 3 Записать в координатах : 1. 2. 3. 4. 5. Условие коллинеарности двух векторов. Условие перпендикулярности двух векторов. Формулу для нахождения 3. косинуса угла между векторами. Формулу для нахождения длины вектора. Уравнение плоскости. а1 а 2 а 3 1. в1 в2 в3 2. а1 в1 а 2 в2 а3 в3 0 cos ( a , b) a1b1 a 2 b2 a3b3 a1 a 2 a3 b1 b2 b3 2 2 2 4. a a1 a2 a3 2 2 2 2 5. A x B y C z D 0 2 2 Алгоритм решения задач Ввести прямоугольную систему координат на плоскости основания многогранника; затем - в пространстве. 2. Найти координаты точек, о которых идет речь в условии задачи. 3. Найти координаты: направляющих векторов прямых; векторов, перпендикулярных плоскостям (нормалей). 4. Воспользоваться соответствующей формулой для нахождения расстояний в пространстве; углов в пространстве. 1. Введите прямоугольную систему координат, если в основании многогранника лежит... Какие еще возможны варианты? y A A D y D y B y C C B x x x y x x Введите прямоугольную систему координат, если в основании многогранника лежит... С O А yА F O E y B В x C x D x x y Введите прямоугольную систему координат, если в основании многогранника лежит ромб B C O A D x x y y Введите прямоугольную систему координат. Z B1 z A1 B1 A1 D1 F1 C1 D1 A B C1 y E1 C B A D D C x Y F X E Введите прямоугольную систему координат. z z z A1 P C1 B1 B O A x x B C O y y C А x D y Назовите наклонную к плоскости α , ее проекцию на плоскость, проекции точек В и М. АВ – наклонная к плоскости α В ВС – перпендикуляр к плоскости α М А М1 С α АС – проекция наклонной АВ на плоскость α С – проекция точки В М1 – проекция точки М На какие отрезки в плоскости основания попадают проекции точек Р, М, S, K, N? P K N S M B C O А D На какие отрезки в плоскости основания попадают проекции точек А1, S, Р? Почему? Z C1 B1 A1 D1 F1 E1 S P C Y B A D F E X Проекциями каких точек являются точки Составьте уравнение плоскости по 3 точкам: 1 1 3 А(0, , 0), D( 0, , 1), B1 ( , 0, 2). 2 2 2 Ax By Cz D 0 общий вид уравнения плоскости. 1. 1 A 0 B 2 C 0 D 0, 1 ( АDB1 ) : A 0 B C 1 D 0, 2 3 A B 0 C 2 D 0, 2 B 2 D, C 2 D, A 2 3D. 2 3 xD 2 yD 2 zD 0, 2 3 x 2 y 2 z 1 0. Ответ. 2 3 x 2 y 2 z 1 0. Составьте уравнения координатных плоскостей 2. Уравнение плоскости Оyz : x 0. Уравнение плоскости Оxz : y 0. Уравнение плоскости Оxy : z 0. 3. Вектор нормали к плоскости Ax By Cz D 0 имеет координаты А; В; С и обозначается n А; В; С . Найдите координаты векторов нормалей к координатным плоскостям n11; 0; 0, n2 0; 1; 0, n3 0; 0; 1 Найти координаты нормали (нормального вектора) плоскости 2 3x 2 y 2 z 1 0 Решите задачу. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е:АD1=1:3, D1K:D1B1=2:3. Найдите длину отрезка ЕK. z B1 К C1 A1 D1 Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А, как показано на рисунке. Е A B y D A(0, 0, 0), Е1 (2, 0, 0), E (2, 0, 2), К1 (1, 2, 0), K (1, 2, 3) C B A x 2. Найдем координаты точек Е и К с помощью их проекций на плоскость основания. y 3. ЕК ( х2 х1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 , К1 ЕК (1 2) 2 (2 0) 2 (3 2) 2 6. Е1 D x Ответ. ЕК 6 . C Решите задачу. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1. Z 1. Введем систему координат с началом в точке В, как показано на рисунке. C1 B1 A1 F1 D1 E1 2. Найдем координаты точек Е1 и D1 с помощью их проекций на плоскость основания. C B A D F E X C B y 3. ВЕ 1 ( х2 х1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 , ВЕ 1 ( 3 0) 2 (1 0) 2 (1 2) 2 5. 1 A 3 1 , АР . 2 2 3 3 B(0;0;0), E ( 3;1;0), Е1 ( 3;1;1), D( ;1,5; 0), D1 ( ;1,5; 1). 2 2 Из Y АВР : Р 90, В 30, АВ 1, ВР P D ВD1 ( F 3 0) 2 (1,5 0) 2 (1 0) 2 2. 2 E Ответ. 2. x 5, В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости DEA1. Z 1. Введем систему координат с началом в точке В как показано на рисунке. C1 B1 A1 F1 D1 E1 2. Из АВР : Р 90, В 30, АВ 1, ВР B(0;0;0), A1 ( Y C B A D F E X C B y 1 3 1 3 ; ;1), D( ;1,5; 0), E ( 3;1;0) 2 2 2 3. Составим уравнение плоскости DEA1 : 1 x y 2 z 2 0, 3 1 n { ;1;2} вектор нормали к плоскости 3 4. ( B, DEA1 ) A P x Ax0 By 0 Cz0 D A2 B 2 C 2 D ( B, DEA1 ) F 3 1 , АР . 2 2 E Ответ. 3 2 2 1 1 4 3 3 2 , 484577. В правильной треугольнойпрямыми призмеравно Расстояние между скрещивающимися Найдем расстояние от точки А до плоскости расстоянию от точки на одной прямой до плоскости, ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите ВСС 1 содержащей вторую прямую и АА параллельной первой расстояние между прямыми 1 и ВС1. прямой. z 1. Введем систему координат с началом в точке Решение. А1 С1 О, как показано на рисунке. 2. Из равностороннего треугольника АВС имеем : В1 т.к. ВО медиана и высота, то O А С ВО ВС 2 ОС 2 , ВО y 3 . 2 1 3 1 1 А(0, ,0), В( , 0,0), С (0, ,0), С1 ( 0, ,1). 2 2 2 2 3. Составим уравнение плоскости ВСС1 : x В O C y 2 x 2 y 1 0. 3 2 n ; 2; 3 A 1 x B 0 4. ( А; ВСС1 ) Ax0 By 0 cZ 0 D A2 B 2 C 2 0 11 3 ( А; ВСС1 ) . 2 4 40 3 Ответ : 3 . 2 Решите задачу. Найдите расстояние между плоскостями сечений куба (PRS) и (NKM), ребро которого 12, где DN:NC=A1P:PB1=1:2, B1S:SB=D1M:MD1=1:3, B1R:RC1=DK:KA=1:4. Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В, как показано на рисунке. 2. В(0; 0; 0); P(6; 0; 12); R(0; 3; 12); S(0; 0; 8); N(6; 12; 0); K(12; 9; 0); M(12; 12; 4) z B1 R 3. Уравнение плоскости (PRS) имеет вид 2x+4y-3z+24=0, а уравнение плоскости (NKM) 2x+4y-3z-60=0, значит, плоскости параллельны. C1 P S A1 D1 y В С M N А K x D 4. ( PRS ; NKM ) ( PRS ; NKM ) Ответ : 84 . 29 D2 D1 A2 B 2 C 2 24 60 84 . 4 16 9 29 На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1 . Найдите угол между прямыми BE и AC1 . z B1 A1 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А, как показано на рисунке. Пусть сторона куба равна 3. C1 D1 E A B 2. A(0, 0, 0), B (0, 3, 0), E (3, 3, 2), C1 (3, 3, 3) 3. Направляющ ие векторы прямых AС 1 3, 3, 3, BE 3, 0, 2. D C x y 4. cos ( a , b) a1b1 a 2 b2 a3b3 a1 a 2 a3 b1 b2 b3 2 2 cos( AС 1 , BE ) 2 2 2 3 3 3 0 3 2 999 904 5 Искомый угол равен arccos . 39 5 Ответ. arccos . 39 2 5 . 39 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1 Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1. z A1 C1 1. Введем прямоуголь ную систему координат , как показано на рисунке. 2. Из равностороннего треугольника АВС имеем : B1 D 2 т.к. ВО медиана и высота, то ВО ВС 2 ОС 2 , ВО C O A 1 y А(0, 3 . 2 1 3 1 1 3 ,0), В( , 0,0), С (0, ,0), D( 0, ,1), B1 ( , 0,2). 2 2 2 2 2 3. Нормали к плоскостям ( АВС ) z 0 : n1 0; 0;1; B C y O A 1 A1 A2 B1 B2 C1C2 4. cos( n1 , n2 ) cos( n1 , n2 ) A12 B12 C12 A22 B22 C22 0 2 3 0 2 1 2 1 ( 2 3 ) 2 2 2 ( 2 ) 2 искомый угол равен arccos x B ( АDB1 ) 2 3x 2 y 2 z 1 0 : n2 2 3; 2; 2 ; x Ответ : arccos 5 . 5 5 . 5 2 5 . 5 20 484568. Длины ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью BDP, если точка М – середина бокового ребра пирамиды АР. z 1. Введем прямоуголь ную систему координат с началом в точке О точке пересечени я диагоналей квадрата, как показано на рисунке. Пусть АВ 1. P 2. Из АВС имеем : В 90 , АС АВ 2 ВС 2 , АС 2 , АО 2 M C O x 2 2 Из АРО имеем : О 90 , РО АР АО , РО 1 . 2 2 B А М1 y В 2 2 Из подобия треугольников АММ 1 и АРО имеем : РО 2 ММ 1 , ММ 1 2 . 4 2 2 2 2 2 , D 0; , P 0;0; . B 0; ;0 , M ;0; ; 0 2 2 4 4 2 2 2 2 3. BM ; ; направляющий вектор прямой ВМ . 4 2 4 D С Составим уравнение плоскости ВDP : x 0, n 1;0;0. O 4. sin BM , n А x 2 . 2 D sin BM , n y a1 A a 2 B a3C a12 a 22 a32 A2 B 2 C 2 2 4 1 1 1 1 8 2 8 6 6 Ответ : arcsin 6 6 Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD со стороной , а угол BAD равен 60°. 4 3 Найти расстояние от точки А до прямой С1D1, если боковое ребро параллелепипеда равно 8. 1. Как введем прямоугольную систему координат? 4 3 В С O 60° xА y B1 К А x C1 Пусть К1(х0,у0,z0), ее проекция К(х0,у0,0) Из ABD : AB AD BD 4 3, DO 2 3. Из AOD : AO 6 D1 A6, 0, 0, C1 6, 0, 8, D1 0, 2 3, 8 1 С К На прямой СD. Где лежит проекция точки К1? z A1 В D Т.к. диагонали ромба перпендикулярны, то начало координат можно взять в точке их пересечения. 2. Координаты каких точек надо найти? А, С1, D1 и основания перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую С1D1 – точки К1. D y Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 4 3 является ромб ABCD, со стороной , а угол BAD равен 60°. Найти расстояние от точки А до прямой С1D1, если боковое ребро параллелепипеда равно 8. A6, 0, 0, C1 6, 0, 8, D1 0, 2 3, 8 , K1 x0 , y0 ,8 Найдем остальные координаты точки К1. а) Т .к. K1 С1 D1 , то С1D1 || D1K1. B1 C1 A1 К В Но координаты коллинеарных векторов 1 С x0 6 , y 0 2 3 2 3. AK1 6 6, 2 3 2 3, 8 D x0 y 2 3 , 0 , 6 2 3 D1 А пропорциональны C1 D1 6, 2 3, 0 , D1 K1 x0 , y0 2 3, 0 б ) Т .к. С1 D1 AK1 , то С1 D1 AK1 0 6 6 6 2 3 2 3 2 3 8 0 0, 2 2 1 . 2 1 1 3. AK1 6 6 2 3 2 3 82 10 2 2 Ответ : 10 Домашнее задание: решите задачи по выбору 1. Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4, 4. Найти расстояние от вершины до центра основания призмы, не содержащего эту вершину. 2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1. 3. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K – середины ребер AA1 и CD соответственно, а точка M расположена на диагонали B1D1 так, что B1M=2MD1. Найти расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML=2LK. Источники информации 1. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С,Б, Кадомцев, Л.С.Киселёва, Э.Г Позняк / Геометрия 10 – 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровени / 10 издание // М. Просвещение // 2010 2. ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты // под редакцией И.В. Ященко М // Издательство « Национальное образование» (2012 – 2015) 3. Математика Подготовка к ЕГЭ Учебнометодическое пособие // под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С. Ю. Калабухова // Ростов-на-Дону // издательство «Легион-М» (2010 – 2015) 4. http://reshuege.ru