Применение производной при решении физических задач.

Тема: Применение производной при решении физических задач.
Цель урока:
1.Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.
2. Закрепить навыки нахождения производных
3.Способствовать выработки навыков в применении производной к решению физических задач.
Оборудование : Мультимедийный экран, карточки с задачами по физике.
Ход урока.
1.Организационный момент
Здравствуйте. У нас сегодня необычный урок. Он будет объединять математику с физикой.Тему
урока я пока не раскрываю, я хочу чтобы вы сами разгадали ее. Перед вами кроссворд. И то слово,
которое выделено и которое вы должны разгадать будет являться ключевым в нашей теме урока.
у
л
е
с
й
п
у
т
ь
у
о
р
е
н
и
е
с
к
о
р
о
с
т
ь
б
н
и
ц
ф
и
з
и
к
а
д
в
и
ж
е
н
и
т
а
б
р
н
ь
ю
т
о
н
к
о
о
р
д
и
н
а
м
е
х
а
н
и
к
а
а
л
г
е
в
р
е
м
я
е
а
1. Длина траектории за определенный промежуток времени.
2. Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
3. Одна из основных характеристик движения.
4. Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа.
5. Наука, изучающая общие закономерности явлений природы, состав и строение
материи, законы её движения.
6. Изменение положения тела в пространстве относительно некоторой системы
отсчета с течением времени.
7. Выдающийся английский физик , именем которого названы основные законы
механики
8. Что определяет положение тела в выбранной системе отсчета.
9. Учение о движении и силах, вызывающее это движение
10.Наука, изучающая методы и способы решения уравнений
11.То, чего не достает в определении: производная от координаты по … есть скорость
Вы отгадали ключевое слово «производная». Но вернемся к началу нашего урока. Вспомним, что
перед нами стояла задача сформулировать тему урока ,использовав это слово. Следовательно,
чем мы будем заниматься на уроке? (решать задачи на нахождение производной)
- А какие задачи? Т.е. тема нашего урока (на экране появляется тема урока и цель урока)
А теперь давайте углубимся в историю возникновения дифференциального исчисления . Об этом
нам поведает Шамхалова Индира и Набиева Патимат.
Перед тем, как перейти к решению задач, давайте повторим теоретические вопросы кинематики .
1. Что такое мгновенная скорость?
2.Что такое ускорение?
3.Записать уравнения зависимости координаты от времени для равнопеременного движения
(х(t)=х0+V0хt+axt2/2)
4.В чем состоит физический смысл производной?( физический смысл производной
заключается в том , что производная от пути до времени есть мгновенная скорость, а
производная от скорости есть ускорение)
Тогда вспомним правила нахождения производных.
Учащимся раздаются карточки . Решают по вариантам. Через три минуты собрать.
Вариант 1
Вариант 2
1)(3х2)` =6x
1)(cos2x)`= -2sin2x
𝟏
2)(√x)`=𝟐√𝐱
2)(x-7)`=-7x-8
3)((x-1)2)`=2(x-1)
3)(-4x3)`=-12x2
4)(sin3x)`=3cos3x
4)((x+1)3)`=3(x+1)2
5)(e2x)`=2e2x
5)(e4x)`=4e4x
6)(6-2x2)`=6-4x
6)(5x3-1)`=15x2
𝟏
7)(lnX)`=𝐱
7)(ax)`=axlna
8)(2x)`=2xlnx
8)(2lnx)`=𝐱
9)(6x)`=6
9)(8x)`=8
𝟏
𝟐
𝟏
10)(𝐱 + 𝐱)`=-𝐱𝟐 +1
𝟏
10)(√𝐱-x2)`= 𝟐√𝐱
Внимание на экран, провести самопроверку.
Повторив вопросы, давайте решим задачи по этой теме.
Задача1. Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)= -2 + 4t + 3t2 .
Найдите ёе скорость и ускорение в момент времени t=2c.
(x – координата точки в метрах, t – время в секундах)
Физический способ решения.
Математический способ.
x(t)= -2 + 4t + 3t2 .
x(t)= -2 + 4t + 3t2 .
𝑎𝑡 2
x=x0+V0t+
2
V(t)=x`(t)=(-2+4t)+3t2)`=4+6t
x0=-2м
V(2)=4+6*2=16
V0=4м/с
a(t)=(4+6t)`=6м/с2
a=3*2=6м/с2
V=V0+at
V=4+6*2=16м/с
Задача2. Два тела совершают прямолинейное движение по законам
S1(t)= 3t2 - 2t + 10, S2(t)= t2 + 5t + 1, где t – время в секундах,
а S1(t), S2(t)- пути в метрах, пройденные соответственно,
первым и вторым телами. Через сколько секунд, считая
от t=0, скорость движения первого тела
будет в два раз больше скорости движения второго тела?
Физический способ решения.
Математический способ.
S1(t)= 3t2 - 2t + 10
V1(t)= S1`(t)=6t-2
S2(t)= t2 + 5t + 1
V2(t)=S2`(t)=2t+5
𝑎𝑡 2
S(t)= V0t+
2
6t-2=2(2t+5)
V(t)=V0+at
6t-2=4t+10
V1(t)=-2+6t
2t=12
V2(t)=5+2t
t=6
V1=2 V2
-2+6t=2(5+2t)
-2+6t=10+4t
2t=12
t=6сек
п
Задача3. Частица совершает гармоническое колебание по закону x=24cos12t см.
Определите проекцию скорости частицы и ее ускорения на ось x в момент времени
t=4с.
Физический способ решения.
X=xmcosW0t – уравнение гармонических колебаний.
п
x=24cos12t
t=4сек
xm=24см
п
W0=12
Vx(t)-?
ax(t)-?
п
п
п
√3
Vx(t)=x`(t)=- W0xmsin W0 t= - 12*24* sin12*4= -2п*sin3 = -2п* 2 = -п√3= -5,4 см/с
п
п
п2
п
п2 1
п2
ax(t)=Vx`(t)= - W02xmcos W0t= -(12)2*24cos12*4= -144*24cos3= - 6 *2= -12 ≈0,8см/с2
У доски решают эту задачу математически(сильным ученикам)
Самостоятельная работа(на карточках).
Трехуровневая самостоятельная работа на 10минут.
Вариант I
Задача 1
Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t3 + t – 3. В какой момент времени ускорение
будет равно 24 м/с2 (x – координата точки в метрах, t – время в секундах)
Задача 2
Материальная точка массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t) = 17t – 2t2 +
1 3
t ,
3
где S –
путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на нее в момент времени t = 3e.
Задача 3
Колебательное движение точки описывается уравнением x(t) = 0,5 cos20πt
Найдите проекцию скорости и проекцию ускорения спустя
1
60
сек.
Вариант II
Задача 1
Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент времени t равна
x(t) = t4 – 2t. Найдите ускорение точки в момент времени t=3c.
Задача 2
Материальная точка массой 4 кг движется прямолинейно по закону S(t) = 4t – t2 +
1 3
t ,
6
где S – путь
в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на нее в момент времени t = 2e.
Задача 3
Колебание маяка совершается по закону x = 0,2sin10πt. Определите проекцию скорости маятника
и ускорение через
1
40
сек.
Ответы
Вариант – I
1) t= 2сек
2) F= 6н
1
3) Vx(60) = -
Вариант II
1) a(3) = 108 м/с2
2) F= 16н
𝜋√3
2
1
ax(60) = -10𝜋 2
Д/з стр. 138. 271,272,274.
1
3) Vx(40) = 𝜋√2
1
ax(40) = - 𝜋 2 √2