Геометрический и физический смысл производной Геометрический смысл производной Пример: Найти уравнение касательной и нормали для функции f(x)=x2 в точке x0 = 3. Решение: 𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 − уравнение касательной 1 𝑦 = 𝑓 𝑥0 − ′ 𝑥 − 𝑥0 −уравнение нормали 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 = 𝑓 3 = 32 = 9 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥 𝑓 ′ 𝑥0 = 2 ∙ 3 = 6 𝑦к = 9 + 6 ∙ 𝑥 − 3 = 9 + 6𝑥 − 18 = 6𝑥 − 9 1 1 1 1 1 𝑦н = 9 − ∙ 𝑥 − 3 = 9 − 𝑥 + = − 𝑥 − 9 6 6 2 6 2 Ответ: 10.06.2024 𝑦к = 6𝑥 − 9 1 1 𝑦н = − 𝑥 + 9 . 6 2 Физический (механический) смысл производной Пример: Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2 t ³ - 3 t. Вычислите скорость движения точки: а) в момент времени t; б) в момент времени t=2с. Решение: а) v(t ) s(t ) (2t 3t ) 2 3t 3 1 6t 3 3 2 2 v ( 2 ) 6 2 3 21( м / c) б) Ответ: V(t)=6t2-3; V(2)=21 м/с 2 Физический (механический) смысл производной Пример: Материальная точка движется по закону 9 2 S (t ) t 7t 6 (м). Найти 2 В какой момент времени (с) скорость точки будет равна 12,8 м/c ? Решение: S’(t) V(t) Найти S (t ) 9t 7 V (t ) V (t ) 12,8 9t 7 12,8 9t 19,8 t = 2,2 (с). Физический (механический) смысл производной Пример: Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)=t³- 4t² Найдите скорость и ускорение в момент времени t=5с. Решение: v(t ) ( x(t )) 3t 2 4 2t 3t 2 8t v(5) 3 5 8 5 75 40 35( м / с) 2 2 a(t ) (v(t )) (3t 8t ) 6t 8 a(5) 6 5 8 22( м / с ) 2 Ответ: V(5)=35 м/c; a(5)=22 м/с2 Физический (механический) смысл производной x(t ) (t 1)3 , где t 0;10 1. Найти среднюю скорость движения на указанном отрезке 𝑥(10) − 𝑥(0) 𝜐𝑐𝑝 = 10 − 0 2. Найти 93мгновенную − (−1)3 скорость 730 в момент времени t=3 сек. = = = 73 м с 2 𝜐(𝑡) = 𝑥′(𝑡) =10 3(𝑡 − 1) 10 𝜐мгн = 𝜐(3) = 3(3 − 1)2 = 3 ⋅ 4 = 12 м с 3. Найти ускорение при t=3 сек a(t ) ' (t ) 6(t 1) Ответ: Vср=73 м/с; a(3) 12 м 2 V(3)=12 м/c; a(3)=12 м/с2 с S, км B 45 III C Физический (механический) смысл производной Определите среднюю скорость движения на каждом из четырех участков : II IV A 10 I D 0 1 3 𝐼: 𝑉ср = 10 − 0 10 = = 10 км ч 1−0 1 𝐼𝐼: 𝑉ср = 45 − 10 35 = = 17.5 км ч 3−1 2 3,5 8 𝐼𝐼𝐼: 𝑉ср = 45 − 45 0 = = 0 км ч 3,5 − 3 0,5 𝐼𝑉: 𝑉ср = 45 − 0 45 = = 10 км ч 8 − 3.5 4.5 t, ч Физический (механический) смысл производной Пример: Две материальные точки движутся прямолинейно по законам s1(t) = 1 - 6t + 2,5t 2 и s2(t) = -3+ 2t + 0,5t 2. Определить в какой момент времени скорости их будут равны. Решение: 1) V1 (t ) (2.5t 2 6t 1)' 5t 6 (формула нахождения скорости движения 1 тела ) 2) V2 (t ) (0.5t 2 2t 3)' t 2 (формула нахождения скорости движения 2 тела ) подсказка v(t ) S (t ) 3) по условию в момент времени t 0 их скорости равны, т.е. 5t 0 6 t 0 2 t0 2 Ответ: при t0 = 2 с. Физический (механический) смысл производной Задача по химии Пример: Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью р( t ) = t 2/2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды. РЕШЕНИЕ: 1) v( t ) = p`( t ) = t + 3, 2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек) подсказка v(t ) Р(t ) Ответ: 6 моль / сек Физический (механический) смысл производной Пример: Тело, подброшенное вверх движется по закону s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Найдите: 1) скорость тела в начальный момент времени; 2) наибольшую высоту подъёма тела. РЕШЕНИЕ: 1) v (t) = s’(t) = 8 – 10t - скорость тела; 2) t= 0, v(0) = s’(0) = 8 м/с – скорость тела в начальный момент времени подсказка v(t ) S (t ) 3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м – максимальная высота броска тела. Ответ: 8 м/с ; 7,2 м. УСТНО! Задача по физике Точка движется прямолинейно по закону S (t) = t3 – 2t2. Выберите какой из формул задается скорость движения точки в момент времени t. S (t ) v(t ) 1) 3t2 – 2; 2) t2 – 4t; 3)3t2 – 4t; 4) t4 – 2t3 Ответ: 3 УСТНО! Задача по экономике Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по V(t) = -5/3t3+15/2t2+50t+70. Вычислите производительность труда П(t). V (t ) П (t ). Ответ: П(t) = -5t2+15t+50 Домашнее задание 1. Тело движется прямолинейно по закону 𝑠 𝑡 = 3 + 3𝑡 + 2𝑡 2 (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 5 с. 2. Тело, массой 0,5кг движется прямолинейно по закону 𝑠 𝑡 = 4 − 2𝑡 + 3𝑡 2 (м). Найдите кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, а также значение силы F , действующей на тело. 3. Напишите уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 𝑓 𝑥 = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 − 2 в точке 𝑥0 = −2. 10.06.2024 13