Лекция 13 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ (продолжение) 4. Геометрическое уравнение Внешняя нагрузка приводит к деформации элементов сооружения. Но при этом они не должны отрываться друг от друга. Это требование можно записать в виде уравнений совместности деформаций, отражающих геометрическую сторону задачи. Изучим это на примере предыдущей фермы (рис.а): При перемещениях u1 и u2 узла A фермы (рис. б) ее элементы e1 и e2 получают следующие деформации (рис. в): Δ1 u1 cosα u2 sinα , Δ2 u1 cosα u2 sinα (здесь, из-за сжатия e2 от перемещения u1 первое слагаемое взято со знаком «–»). Перепишем эти уравнения в виде: cosα u1 sinα u2 Δ1 0 , cosα u1 sinα u2 Δ2 0 и представим в матричной форме cosα sinα cosα sinα или как A1u Δ = 0 , u1 u u 2 u1 Δ1 0 u Δ 0 2 2 где − вектор перемещений, 1 − вектор Δ деформаций, 2 cosα sinα − связующая A1 матрица. cosα sinα Из предыдущей лекции нам известна матрица cosα cosα A . sinα sinα Видим, что A1 A , где символ t означает транспонирование. Поэтому вместо построения матрицы A1 можно воспользоваться матрицей At. t Тогда получим уравнение A t u Δ 0 − геометрическое уравнение Возможность использования одной и той же матрицы A в двух уравнениях − уравнении статики и геометрическом уравнении носит название принципа двойственности. 5. Физическое уравнение Изучим связь между деформациями и внутренними усилиями элементов расчетной модели стержневой системы. При выбранной расчетной модели (механические и геометрические характеристики отдельных элементов постоянны, внешняя нагрузка действует только в узлах) по отдельным конечным значениям усилий в элементе можно определять усилия во всех его точках элемента. Рассмотрим три типовых элемента. 1) элемент с двумя жесткими узлами В каждой его точке продольная сила N постоянна, а изгибающий момент M и поперечная сила Q зависят от начального момента Mн и конечного момента Mк : Mк Mн Q . l Mн Q Mк er N N Q + N M Mн Mк + Q 2) элемент с шарнирным и жестким узлами В нем продольная сила N постоянна, изгибающий момент M и поперечная сила Q зависят от конечного момента: Mк Q . l 3) элемент с двумя шарнирными узлами В нем имеется только постоянная продольная сила N. Зависимость между внутренними усилиями и деформациями всех трех элементов может быть установлена через обобщенный закон Гука и записана в матричной форме: Δ r B rS r , где Br – матрица податливости элемента с номером r, связывающая вектор перемещений элемента Δr с вектором усилий Sr. Например, в элементе 1-го типа связь между отдельными компонентами векторов перемещений Δr { l н к } и внутренних усилий S r {N M н M к } выражается формулами: l l N, EF l l Mн Mк , 3EI 6 EI l l к Mн Mк . 6 EI 3EI н Если эти уравнения записать в матричной форме, то матрица податливости элемента 1-го типа будет: l EF Br 0 0 0 l 3EI l 6 EI 0 l . 6 EI l 3EI Для элемента 2-го типа: S r {N M к }, Δ r { l к}, Для элемента 3-го типа: S r { N }, Δr { l }, l EF r B 0 0 . l 3EI l Br . EF Пусть дискретная модель состоит из m элементов e1, …, em. Для всех элементов запишем уравнения (1), связывающие вектора деформаций элементов Δ1, … , Δm с векторами усилий S1, … , Sm. Затем объединим эти уравнения в общую систему уравнений, а вектора деформаций и усилий элементов объединим в вектора S S1 S2 Sr Sm , Δ Δ1 Δ2 Δr Δm . Полученную систему уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения Δ = BS. Оно устанавливает связь между разными физическими величинами расчетной модели и называется физическим уравнением. Здесь матрица B1 B2 B 0 0 1 2 B B B m Bm . называется матрицей податливости системы. Здесь знак означает диагональность этой матрицы. 6. Решение полной системы уравнений При расчете напряженно-деформированного состояния плоской стержневой системы дискретным методом участвуют четыре вектора: P P1 P2 Pn – вектор нагрузки u u1 u 2 u n – вектор перемещений S S 1 S 2 S m – вектор усилий Δ 1 2 m – вектор деформаций Между этими векторами имеется три зависимости: (1) AS P 0 – уравнение равновесия t (2) A u Δ 0 – геометрическое уравнение – физическое уравнение (3) Δ BS Они вместе называются полной системой уравнений строительной механики. Решение этой системы уравнений дает полную картину напряженнодеформированного состояния всего сооружения. Полную систему уравнений (1)-(3) с тремя неизвестными S, u, Δ можно решать тремя способами. а) Решение в смешанной форме Для этого правую часть уравнения (3) нужно подставить вместо в уравнение (2). Тогда останутся два уравнения: (4) AS P , t (5) A u BS 0 . Объединим их в одно матричное уравнение: A 0 S P . t u 0 B A Из его решения одновременно определяются искомые внутренние усилия и деформации сооружения: 1 A 0 P S . u t 0 B A Но из-за большой размерности обращаемой матрицы и ее несимметричности, расчет этим способом сложен для реализации. б) Решение в перемещениях Для этого из (5) найдем усилия: 1 (6) S B A u KA u . t t Обратная к B матрица K B 1 называется матрицей жесткости. Теперь подставим (6) в (4) и получим: AKA t u P . Отсюда определяется вектор перемещений: u (AKA t )1 P . Если этот результат подставить в (6), то определяются и усилия. в) Решение в усилиях Из-за сложности решения его рассматривать не будем. 7. Алгоритм дискретного метода 1. Ввести в расчетную схему узлы и выбрать расчетную модель. 2. Составить вектор узловых перемещений u. 3. Составить вектора неизвестных усилий S и деформаций Δ. 4. Перенести внешнюю нагрузку в узлы. 5. Вырезая узлы, записать уравнения равновесия. 6. Собрать матрицу равновесия A и вектор нагрузки P. 7. Составить матрицу податливости необъединенных элементов B. 8. Решить полную систему уравнений строительной механики. Решение в перемещениях ведется в следующем порядке: а) K B 1 ; t б) C KA ; в) K 0 AKA t AC ; г) B 0 K 01 ; д) u B 0 P ; е) S Cu ; ж) Δ BS . 9. По вектору усилий S построить эпюры M, Q, N . При необходимости, по векторам u и Δ можно построить общую картину деформации сооружения.