Кинематика — Лекция

Кинематика
Физика изучает наиболее общие свойства и формы движения материи
Вещество
Материя
Частицы
Свойства:
дискретность,
ограниченность
1. Взаимно превращаются:
e e 2
1. Частицы взаимодействуют
посредством полей
2. Корпускулярно-волновой дуализм
Поле
Электромагнитное,
гравитационное, …
?
Свойства:
непрерывность,
безграничность
Движение – любое изменение
Виды движения
Разделы физики
Методы научного познания
Наблюдение явления в естественных условиях
Воспроизведение явления в контролируемых условиях
Обобщение результатов эксперимента;
выработка гипотезы
Объясняет явление; нуждается в экспериментальной
проверке
Выдержавшая экспериментальную проверку
гипотеза превращается в научную теорию
Научные законы, объясняющие ряд фактов с единой точки зрения
Механика
Изучает простейшую форму движения –
механическое перемещение тел
Кинематика
Динамика
Даёт математическое
Исследует взаимодействие
тел и его влияние на
механическое движение
описание движения без
исследования причин
механического перемещения
Структура механики
Механика
Механика
Кинематика
Материальной
точки
Динамика
Твёрдого тела
Статика
Сплошных сред
Модель
Пренебрегаем несущественными
свойствами объекта (явления);
оставляем самые важные
Примеры
Кинематика
Основные понятия
Траектория
Линия, описываемая
материальной точкой в
процессе движения
Путь (ΔS, Δl)
Длина траектории
Перемещение
Вектор, соединяющий
начальную и конечную точку
(ΔS; Δr )
Проблема: Как визуально можно представить движение?
Траектория - это линия, изображающая движения
Траекторией называется геометрическое место точек,
которые последовательно занимает МТ при своем движении
Y
f(x,y) = 0
F(x,y,z) = 0 - уравнение траектории
при движении МТ в пространстве
X
О
Алгоритм получения уравнения траектории:
-
записать закон движения,
- спроецировать его на оси системы координат, т.е.
записать каждую проекцию радиус-вектора, как функцию
времени,
- устранить время из этих уравнений ,
- получить указанную функцию.
Замечание: Траектория - не единственный способ визуализации
движения. Можно использовать график зависимости координаты от
времени, например, x(t) или y(t) и т.д.
10
Пример 1: Движение МТ по неподвижной окружности радиуса R.
Равномерное:

(
t
)


t
,

const
.
r
(
t
)

{
x
(
t
),
y
(
t
)}

Y
y(t)
0


r (t )
(t)
x(t)

{
R
cos

(
t
),
R
sin

(
t
)}
MT
X
x
(
t
)

R
cos(

t
)
y
(
t
)

R
sin(

t
)
Возводим в квадрат слева и справа и
суммируем:
2 2 2
x

y

R
или
22 2 - уравнение траектории.
f

x
,
y


x

y

R

0
11
Пример 2. МТ движется в плоскости XY, причем закон движения выглядит так
2
(11)
(1)

r (t) = b  t,c  t

где b и с есть константы. Найти траекторию.
Из заданного закона движения
x(t) = bt (1) и y(t) = ct2 (2)
Чтобы устранить время, из уравнения (1) выражаем t:
x
t
b
и подставляем в (2):
2
x

yc  ,
b
2
x

c  y0 b
искомое уравнение траектории
Это есть уравнение параболы
12
Три способа задания движения точки:
Векторный способ:
Координатный способ:
Естественный способ:
Задается величина и
Задаются координаты положения точки.
Задаются закон движения точки и траектория.
направление радиуса-вектора.
z
  s
O1
z
M
M
ds
M
z
r
O
O
x
r  r (t )
x
y
dy dx
y
2
2
2
ds
dx

dy

dz
r
k
x
y
y
x
O
dz
z
j
i
x  x ( t );
y  y ( t );
z  z ( t ).
ss(t);
f(x,y,z)0.
1
Координатный и естественный – соотношением:
Векторный и координатный –
соотношением:
x
x
(t)
t
t(x
);
yy
(t)
y
[t(x
)]
y
(x
);
z
z
(t)
z
[t(x
)]

z
(x
).
2
2
2



s
(
t)
x

y

z
dt

r
(
t
)

x
(
t
)
i
y
(
t
)
j
z
(
t
)
k
y  y(x);

z  z(x).
Уравнения
линейчатых
поверхностей,
линия пересечения
которых и есть
траектория
движения точки

Δr

vср . =
Δt
ΔS
v ср.=
Δt
м
[ v ]=
с
Физический смысл скорости:
средняя скорость численно равна
перемещению (пути) за единицу времени
 

r d
r

v
lim


t dt

t
0

S dS
v
lim


t dt

t
0

t  0 r S


r

S
dS

v

v



lim
lim

t

t dt

t

0
t

0
 

r d
r

v
lim


t dt

t
0

S dS
v
lim


t dt

t
0
Скорость – быстрота
перемещения;
производная пути
(перемещения) по времени

 dr
v
dt
dS
v
dt
Графики движения
тел,
перемещающихся
с различной
скоростью
м
x3 350
с
x, м
600
м
x2 100
с
500
400
x1 50мс
300
200
100
0
1
2
3
t, с
Векторный
способ: Сравним два положения точки в моменты времени t и t1= t + t:
M
v
t

r
;
Δr
Δr
lim
v
 vср
Δr
M
Δt
0
r
t

t

Δt

r

r

Δ
r
;
Δt
1
1
Δt
1
vср
r1
O
v
dr
dt
Координатный
способ:
z
v
- вектор истинной скорости точки в момент времени t, направлен по
касательной к траектории (при приближении M1 к M хорда занимает
положение касательной).
r
(
t
)

x
(
t
)
i
y
(
t
)
j
z
(
t
)
k
z
M
vy
r
k
O
z
j
x
i
x
vx
y
Компоненты
(составляющие)
вектора
скорости:
v x  x (t )i ;
v y  y (t ) j ;
v z  z (t ) k .
y

Проекции
скорости
на оси
координат:

d
r
(
t) d
v

 x
(
t)
i
y
(
t)j
z
(
t)
k
dt dt
dxdydz
 i j k
v
i
v

v
k
x
yj
z
dt dt dt
v x  x ;
v y  y ;
v z  z .
v  x 2  y 2  z 2 ;
x
cos(v , x)  ;
v
y
cos(v , y)  .
v
Естественный способ:
Представим радиус-вектор как сложную
функцию:
  s
M
O1
Δs v
Δr
M1
r
r1
r(t)r[s(t)].
O
d
r
Δ
r

.
Δslim
0
ds
Δs
Величина производной
радиуса-вектора
по дуговой координате равна 1:
v  s .
Вектор приращения радиуса-вектора
направлен по хорде MM1 и в пределе
занимает положение касательной.
d
r
(
t
) d
rds
d
r

v
 
s
.
dt ds
dtds



Δ

2
sin
d
r
Δ
r
2

lim

lim

1
.
Δs
Δ

0
0
ds Δs
Δ
v  s.
2
1A  1B
  
Δv v2  v1

аср . =
=
Δt
Δt
 

vd
v

a
lim


t dt

t
0
м
[ a ]= 2
с
Физический смысл ускорения:
ускорение численно равно изменению
скорости за единицу времени
  

Δv v2  v1
аср. =
=
Δt
Δt
 

vd
v

a
lim

t dt


t
0
vn

vк + Δ
  
Δv = v2  v1 = Δ



Δvn
= a τ + an
Δt

Δvк = Δvк  = v2  v1 = Δv


v

v
d
v

ê
a

a



lim
lim

t 

t dt

t

0
t

0

Рис. 2. Мгновенное ускорение
 
Пример 3. a||V
Дано

a

 
dV||a
Направление скорости

не изменяется.
dV 
Длина вектора скорости

V(t2)
V(t1)
увеличится, другими
словами, величина
скорости возрастет.
 
Пример 4. aV
Дано

a
 
dV||a


V(t1) dV


V(t2)
Скорость не меняется
по величине, но
поворачивается по
часовой стрелке.
24
При t  0

12

r

S


r vn

R
v


r

2

v

v

r
v
v

n
R
a

a





lim
lim
lim
nn

t

t
R

tR

t

0 
t

0

t

0
dv
a 
dt
v2
an 
R


v

ê
a

 lim
t

t
0
dv
aτ =
dt


v

n
a

n lim
t

t
0
v2
an 
R
Тангенциальное (касательное)
ускорение
характеризует быстроту
изменения скорости по
величине;
численно равно производной
величины скорости
Нормальное
(центростремительное)
ускорение характеризует
быстроту изменения скорости
по направлению
При
t  0


vê vn
  
aa an


a  an
2
2
a a
 an
Полное ускорение всегда направлено внутрь
характеризует быстроту изменения скорости по величине
криволинейной траектории
при ускорении
при торможении
Ускорение точки – величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки.
Три способа задания движения точки определяют способы определения ускорения точки:
Векторный способ: Сравним скорости точки в двух положениях точки в моменты времени t и t1= t + t:
M
v
Δr
r
M1
Δv
 aср - вектор среднего ускорения в интервале времени t, направлен в сторону вогнутости траектории.
Δt
Переходя к пределу получаем:
v
v1
v1
a
r1
O
v
t

v
;
t

t
Δt

v

v

Δ
v
;
1
1
dv d2r
a  2
dt dt
Δ
v
a
Δt
lim
Δt
0
Δ
v d
v

Δt dt
lim
Δt
0
- вектор истинного ускорения точки в момент времени t, лежит в
соприкасающейся плоскости (предельное положение плоскости, проведенной
через касательную в точке M и прямую, параллельную касательной в точке M1, при
стремлении M1 к M) и направлен в сторону вогнутости траектории.
Координатный способ: Используем полученное векторное выражение и связь радиуса-вектора с координатами
z
az
M
ay
r
k
O
i
ax
z
j
x


2
2
d
r
(
t) d
a
 2  2x
(
t)
i
y
(
t)j
z
(
t)
k
dt dt
2
2
2
d
x d
y d
z
 2i 2j 2k
a
i
a
a
k
x
yj
z
dt dt dt
Компоненты
(составляющие)
вектора
ускорения:
a x  xi ;
a y  yj ;
a z  zk .
Проекции
ускорения
на оси
координат:
y
r
(
t
)

x
(
t
)
i
y
(
t
)
j
z
(
t
)
k
a  x2  y2  z2 ;
a x  x;
x
a y  y ; cos(a , x)  ;
a
a z  z.
y
cos(a , y)  .
a
y
Таким образом полное ускорение точки есть векторная сумма двух ускорений:
Естественный способ: Используем векторное выражение для ускорения и выражение для скорости при естественной способе задания: v  s .
касательного, направленного по касательной к траектории в сторону увеличения
дуговой координаты,
если s  0 (в противном
случаеединичного
– в противоположную)
и
d d ds
d
d
vd
d Представим
единичный
Производная
  s




 .
a


(
s
)

s

s
.


s
нормального
ускорения,
направленного
по
нормали
к
касательной
в
сторону
центра

(
t
)


[
s
(
t
)].
M
касательный
вектор
касательного
вектора:
Δs
O1
dt
dt
dt кривизны (вогнутости траектории):
dt ds
dt ds
aτ
как сложную функцию:
a

a

a
.
τ
n
n Δr
Величина производной
Таким образом, производная
M1
Δ
an
единичного касательного вектора d
2
sin
касательного вектора
Δ
1
2 2 единичного
r
Модуль
полного
ускорения:
2

lim

lim

.
по дуговой координате:
Δs
Δ
по
дуговой
координате
есть вектор,
 aτ an ;
a
ds0
Δs0a
Δ
r1
направленный перпендикулярно
Приединичный
s  0 радиус
кривизны
1  , угол
Угол между приращением касательной к траектории.
 к касательной,

Введем
вектор
n, нормальный
(перпендикулярный)
O
a  s ;
1
между радиусами
единичного вектора
направленный
к центрукривизны
кривизны.  0, числитель Компоненты
Δs
a τ   s;
Δr
Проекции
2
-основание
равнобедренного
треугольника,
и
самим
вектором
 2
С использованием вектора n и ранее
 s
  (составляющие)

s
о
образованного
единичными векторами 1 и a
, 
Δ
при   0, стремится
s
определенных
величин
 n. вектора
a n  кn90
. . ускорения
2
s

3
знаменатель
–
длина
круговой
дуги
радиуса

.
1
на
оси

и
n:
ускорение представляется как сумма векторов:
ускорения:

an 
.

x
  
v
 

1






Прямолинейное движение
Графическое представление пути
dS
v
dt
t2
⇒S  v dt
t1

Путь –
площадь под графиком
v  f t 
dv
aa 
dt
t
vv0adt
0
Произвольное криволинейное движение

r
 d


v

 dt
 
v
 d


a

 dt
t


 

t dt
vv

a
0

0
 
t
  


dt

t
v

r

r

0

0

Равнопеременное движение

aconst
t
 
  
v  v0   adt
vv0at


0



2


t
at
  



r

r

v

t




r

r

v
t

dt
0
0
0 


2
0

v
v
a

x
0
x
xt

2

a
t
x
xx
v

0
0
xt

2
В проекциях на ось OX
график зависимости проекции перемещения от времени
axt2
Sx v0xt
2
2
axt
Sx v0xt
2
координата
Проекция перемещения
Sx =х-х0 , тогда
в любой момент времени для тела, движущегося равноускоренно
2
at
xx
v
t
0
0
2
график зависимости координаты от времени.
axt2
xv0xt
2
2
a
t
x
x
v
t x
0
0
x
2
axt2
xv0xt
2
2
a
t
x
x
v
t x
0
0
x
2
Кинематика вращательного движения
SR
dSRd
dS
v
dt
v R
d
dS
R
dt
d

dt
dt
Равнопеременное криволинейное с
постоянным тангенциальным ускорением
a const
dv
a 
dt
dS
v
dt

2
2
v v0
S
2a
vv0

S
t
2
vv0a
t
2
a

t


S

v

t

0
2
2
a

t

S

v
t
2
Кинематика вращательного движения


Угловая скорость  и угловое перемещение  - вектора.
Они направлены по оси вращения по правилу буравчика
 



d


lim


t dt

t
0
При равномерном вращении
constvR


const
dv
a  0
dt
Полное ускорение равно
центростремительному (нормальному):
2
v
2
a

a



v
nR R

Кинематика вращательного движения
При неравномерном
вращении




d
v
d
d
a


(

R
)

R
 
R

dt
dt
dt

d

dt


Угловое ускорение 
показывает быстроту
изменения угловой
скорости
рад 2
ε = 2 = с
с
В зависимости от тангенциальных и нормальных
составляющих ускорения виды движений делятся на :
1) an =0; at = 0
– прямолинейное равномерное движение
2) an =0; at =±const
– прямолинейное равноускоренное (+) или
равнозамедленное (-) движение
3) an =0; at = f(t)
– прямолинейное движение с переменным
ускорением
4) an = f(t); at = 0
– равномерное криволинейное движение. Если an
= const, то движение происходит по
окружности.
5) an ≠ 0; at ≠ 0
– криволинейное движение с переменным (at =
f(t)) или постоянным (at =±const) ускорением.