1) Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение х 52 ( у 4) 2 9, Решение. 2 2 2 2 2 х 5 ( у 4 ) 9 Если х 0 , то уравнение ( х 2) у а задает окружность 1 с центром в точке А(5; 4) радиуса 3, 2 2 если х 0 , то уравнение х 5 ( у 4) 9 задает окружность 2 с центром в точке В(-5; 4) радиуса 3. 1) Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение х 52 ( у 4) 2 9, Решение. ( х 2) 2 у 2 а 2 2 2 При положительных значениях а уравнение ( х 2) у задает окружность с центром в точке С(-2; 0) радиуса а . а2 1) Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение х 52 ( у 4) 2 9, Решение. ( х 2) 2 у 2 а 2 Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с окружностью 1 или окружностью 2. 1) Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение х 52 ( у 4) 2 9, Решение. ( х 2) 2 у 2 а 2 Из точки С проведем луч СА, который пересекает окружность 1 в точках А1 и А2, где А1 лежит между С и А. Также из точки С проведем луч СВ, который пересекает окружность 2 в точках В1 и В2, где В1 лежит между С и В. 1) Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение х 52 ( у 4) 2 9, Решение. СА (5 2)2 42 65 СА1 65 3 СА2 65 3 ( х 2) 2 у 2 а 2 СВ (5 2)2 42 5 СВ1 5 3 2 СВ2 5 3 8 а СВ1 1) Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение х 52 ( у 4) 2 9, Решение. ( х 2) 2 у 2 а 2 При а СА1 или а СА2 окружности и 1 не пересекаются. При CA1 а СА2 окружности и 1 пересекаются в двух точках. При а СА1 или а СА2 окружности и 1 касаются. а СВ1 1) Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение х 52 ( у 4) 2 9, Решение. ( х 2) 2 у 2 а 2 При а СВ1 или а СВ2 окружности и 2 не пересекаются. При CВ1 а СВ2 окружности и 2 пересекаются в двух точках. При а СВ1 или а СВ2 окружности и 2 касаются. а СВ1 1) Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение х 52 ( у 4) 2 9, Решение. ( х 2) 2 у 2 а 2 Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей 1 и 2 и не пересекается с другой. Так как СВ1 CA1 CB2 CA2 , то условию задачи удовлетворяют только значения параметра а, где касания происходит в токах В1 и А2, т.е. а2 Ответ: и а 65 3 а2 а 65 3 2) При каких значениях параметра а уравнение 9 2(3а 2) 3 5а 4а 0 имеет два различных х х 2 решения? Решение. х х Уравнение квадратное относительно .Пусть 3 t .Тогда t 2 2(3а 2)t 5а 2 4а 0 . Так как уравнение 3х t имеет решение только при t 0 , то решение исходной задачи можно свести к решению следующей задачи: «При каких значениях параметра а уравнение t 2 2(3а 2)t 5а 2 4а 0 имеет два различных положительных корня?» 3 (1 способ) t 2 2(3а 2)t 5а 2 4а 0 t1 a , t2 5a 4 . , D 4(а 1)2 , 2) При каких значениях параметра а уравнение 9 2(3а 2) 3 5а 4а 0 имеет два различных х х 2 решения? Решение. «При каких значениях параметра а уравнение t 2 2(3а 2)t 5а 2 4а 0 имеет два различных положительных корня?» (1 способ) t 2(3а 2)t 5а 4а 0 2 2 , D 4(а 1)2 t1 a , t2 5a 4 . Уравнение t 2(3а 2)t 5а 4а 0 имеет два различных положительных корня, если: 2 a 0, 5a 4 0, a 5a 4; 2 a 0,8, a 1. , 2) При каких значениях параметра а уравнение 9 2(3а 2) 3 5а 4а 0 имеет два различных х х 2 решения? Решение. «При каких значениях параметра а уравнение t 2 2(3а 2)t 5а 2 4а 0 имеет два различных положительных корня?» (2 способ) t 2(3а 2)t 5а 4а 0 2 2 , D 4(а 1)2 t1 a , t2 5a 4 . Уравнение t 2(3а 2)t 5а 4а 0 имеет два различных положительных корня, если: 2 D 0, t1 t2 0, t t 0; 1 2 Ответ: 2 4a 2 8a 4 0, 2(3a 2) 0, 5a 2 4a 0; a 0,8; 1 (1; ) . a 0,8, a 1. , 2) При каких значениях параметра а уравнение sin 2 x (a 2) sin x 3а 1 0 корней. ? Решение. не имеет 3) При каких значениях параметра а уравнение sin 2 x (a 2) sin x 3а 1 0 корней. ? Решение. не имеет 3) При каких значениях параметра а уравнение sin 2 x (a 2) sin x 3а 1 0 корней. ? Решение. не имеет 3) При каких значениях параметра а уравнение sin 2 x (a 2) sin x 3а 1 0 корней. ? Решение. не имеет 3) При каких значениях параметра а уравнение sin 2 x (a 2) sin x 3а 1 0 корней. ? Решение. не имеет 4)Найти все значения параметра а, при которых уравнение х2 х 3 3 х2 х 3a х 3 а х имеет ровно один корень. Решение. Левую и правую части уравнения можно рассмотреть как функции Поэтому исходное f (t ) 3t 3 t , которая является возрастающей на R. уравнение можно записать так f ( х 2 х) f (а х), которое (по теореме: Если функция f (x) монотонна на промежутке I, то уравнение f ( g ( x)) f (h( x)) равносильно на промежутке I уравнению g ( x ) h( x ) ) равносильно уравнению х 2 х а х или х 2 2 х а 0 . Согласно условию исходное уравнение должен иметь ровно один корень, то и уравнение х 2 2 х а 0 тоже должен иметь один корень, т.е. D 4 4a 0 а 1 Ответ: а 1