§13. Прямая в пространстве

§ 13. Прямая в пространстве
1. Уравнения прямой в пространстве
Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения
любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ .
Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют
одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями
системы
 A 1x  B 1 y  C 1z  D 1  0 ,
(1)
A x  B y  C z  D  0.
2
2
2
 2
Систему (1) называют общими
пространстве.
уравнениями
прямой
в
Другие формы записи уравнений прямой в пространстве –
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве,
проходящей через точку M0(x0;y0;z0) , параллельно вектору
  {m; n; p}
Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют
направляющим вектором этой прямой.
z
M0
r0
O
x

r
M
y
Уравнение
и систему уравнений
r  r0  t  ,
x  x 0  t  m ,

y  y0  t  n ,
z  z 0  t  p.
(2*)
(2)
называют параметрическими уравнениями прямой
в
пространстве
(в векторной и координатной форме
соответственно).
Пусть в задаче 1 вектор  не параллелен ни одной из
координатных осей (т.е. m  0 , n  0 и p  0 ).
x  x 0 y  y0 z  z0


Уравнения
(3)
m
n
p
называют
каноническими
уравнениями
прямой
в
пространстве.
Частным
случаем
канонических уравнений
являются
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ
ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ.
Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .
M1
M2
x  x1
y  y1
z  z1


Уравнения
(4)
x 2  x1 y2  y1 z2  z1
называют уравнениями прямой, проходящей через две
точки M 1 ( x 1, y1, z1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z2 ) .
2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим
Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:
 A 1x  B 1 y  C 1z  D 1  0 ,
(1)
A x  B y  C z  D  0.
2
2
2
 2
Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения
этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и
координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.
а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1).
б) Направляющий вектор   [ N1 , N 2 ]
где N1  { A1; B1; C 1} и N 2  { A 2 ; B2 ; C2 } – нормальные
векторы к плоскостям 1 и 2 , уравнения которых входят
в общие уравнения прямой.
N1

1
3. Взаимное расположение прямых в пространстве
В пространстве две прямые могут:
а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться.
Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями:
x  x 1 y  y1 z  z1
x  x 2 y  y2 z  z2




1 :
, 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
1) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны:
1
1
2
2
Получаем: прямые параллельны  их направляющие
2  {m 2 ; n2 ; p2 }
 1  {m 1 ; n 1 ; p 1 }
векторы
и
коллинеарные, т.е. выполняется условие:
m 1 n 1 p1


.
m2 n2
p2
(6)
2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:
1
2
1
M1
M2
2
Получили: прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются  они не
параллельны и для них выполняется
M 1условие
M 2 ,  1, 2  0 ,
(7*)
или, в координатной форме,
x 1  x 2 y 1  y2 z 1  z2
m1
n1
p1  0 .
(7)
m2
n2
p2


3) Если для прямых ℓ1 и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7)
((7*)), то прямые скрещиваются.
4. Задачи, связанные с возможным взаимным
расположением прямых
Возможное расположение прямых в пространстве приводит к
следующим задачам:
1) параллельные прямые

расстояние между прямыми
(т.е. расстояние от точки до прямой)?
2) пересекающиеся прямые  а) угол между прямыми?
б) точка пересечения прямых?
3) скрещивающиеся прямые  а) угол между прямыми?
б) расстояние между прямыми?
Пусть даны две прямые:
x  x 1 y  y1 z  z1
x  x2
y  y 2 z  z2
1 :




и 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
i  {m i ; n i ; p i } – направляющий вектор прямой i ,
M i ( x i , y i , z i )  i (i  1,2 ).
ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися
(скрещивающимися) прямыми в пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися
прямыми ℓ1 и ℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и
проекцией прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через
прямую ℓ1 .
2
2
1
2
1
1
2
Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между
двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.
Получаем:
m 1m 2  n 1n 2  p1 p 2
( 1, 2 )
cos1,2  

1  2
m 12  n 12  p12  m 22  n 22  p22
где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для
тупого.
x  x0 y  y 0 z  z 0


Пусть дана прямая  :
и M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) –
p
m
n
точка, не принадлежащая этой прямой.
ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.
Обозначим:   {m ; n; p} – направляющий вектор прямой  ,
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) – точка на прямой  ,
d – расстояние от точки M 1 до  .
M1
d
M0
Получаем:


d
 , M
0M1


.
Пусть даны две скрещивающиеся прямые:
x  x 1 y  y1 z  z1
x  x 2 y  y2 z  z2
1 :




и 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
i  {m i ; n i ; p i } – направляющий вектор i , M i ( x i , y i , z i )  i
ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися
прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
M2
2
d

Получаем:
d
d
M1
1
1
2
Ax 2  By 2  Cz 2  D
A2  B 2  C 2

где Ax  By  Cz  D  0 – общее уравнение плоскости
M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) – любая точка на прямой  2 .
,
M2
2
d
M1
1

d
1
2
Пусть даны две пересекающиеся прямые
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2
y  y 2 z  z2
1 :




и 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.
Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых. Тогда (x0;y0;z0) –
решение системы уравнений
 x  x1 y  y1 z  z1
 m  n  p ,
1
1
1
x  x
y  y2 z  z 2
2



,
 m2
n2
p2
или
 x  x1  t  m1 ,
 y  y1  t  n1 ,

 z  z1  t  p1 ,
x  x    m ,
2
2

 y  y2    n2 ,
 z  z2    p2 .
5. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве
Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они
могут 1) быть параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
x  x0 y  y 0 z  z 0


Пусть  : Ax  By  Cz  D  0 и  :
.
p
m
n
Тогда N  { A; B; C} – нормальный вектор плоскости,
  {m ; n; p} – направляющий вектор прямой.

N
N
N


Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной
точке является перпендикулярность прямой и плоскости

N
В этом случае N 
A B C
т.е.
  .
m n p
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ
называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на
плоскость λ .
Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью
всегда острый.
1
N




M0
