Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. А F S D N В L С Определение Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. a a b М b Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой. a b a b Найдите на рисунке параллельные прямые. Назовите параллельные прямые и плоскости. Найдите скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. D АВ СD В А C ? Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве b a а b М а II b b b a a а b № 38. Через вершину А ромба АВСD проведена прямая а, параллельная диагонали ВD, а через вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) а и СD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые. b a ? b a А В C D Каково взаимное положение прямых 1) AD1 и МN; 2) AD1 и ВС1; 3) МN и DC? С1 B1 А1 D1 В С M А N D Докажите, что прямые 1) AD и C1D1; 2) A1D и D1C; 3) AB1 и D1C С1 B1 А1 D1 В С M А N D скрещивающиеся. Основание призмы АВСDA1B1C1D1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися? 1) D1C и C1D; 2) C1D и AB1; 3) C1D и AB; 4) AB и CD. А1 D1 B1 С1 D А В С Теорема о скрещивающихся прямых Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. A B С E D Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. полуплоскость а полуплоскость A3 О3 A2 Углы с сонаправленными сторонами О2 О1 A A1 О В2 Теорема об углах с сонаправленными сторонами Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. A О B A1 О1 B1 Угол между прямыми b a 180 0 Пусть - тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен . m n 1000 800 b 300 a Угол между прямыми а и b Угол между прямыми m и n 300. 800. Угол между скрещивающимися прямыми b a n m М а b Через произвольную точку М1 проведем прямые m и n, соответственно параллельные прямым a и b. Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен Угол между скрещивающимися прямыми b a m М а b Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. Прямая СD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. E и F – середины отрезков АВ и ВС. Найдите угол между прямыми СD и EF, если DCA = 600 D E А В F EF СD C ? Прямая МА проходит через вершину квадрата АВСD и не лежит плоскости квадрата. Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между скрещивающимися прямыми МА и ВС, если МАD =450. М B МА ВС А С D ? № 46. Прямая m параллельна диагонали ВD ромба АВСD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что а) m и АС – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними; б) m и AD – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если АВС = 1280. т С В D 1280 А На рисунке АВСD – параллелограмм, АВС = 1300, АА1 II BB1 II CC1 II DD1 и АА1= BB1=CC1=DD1. Найдите угол между прямыми АВ и А1D1. Рассмотрите различные способы. B1 С1 А1 D1 В С 1300 А D На рисунке АВСD – параллелограмм, ВСC1 = 1200, АА1 II BB1 II CC1 II DD1 и АА1= BB1=CC1=DD1. Найдите угол между прямыми ВВ1 и АD. B1 С1 А1 D1 1200 В А С D