Урок 3 Геометрическая вероятность. Геометрическая модель. Многие практические задачи приводят к вопросам теории вероятности, которые не укладываются в разобранную выше схему конечного числа попарно несовместных исходов испытаний. Пусть, например, стержень наудачу разламывается на три части. Какова вероятность того, что из получившихся отрезков можно будет построить треугольник? В этой задаче мы имеем бесконечное множество исходов, так как разлом может попасть на любую точку стержня. Здесь мы будем пользоваться иным определением вероятности, которое назовем геометрическим. A C D B Рассмотрим следующую модель. Пусть на отрезок АВ бросают наудачу точку. Назовем вероятностью попадания этой точки на часть этого отрезка отношение длины этой части к длине всего отрезка ( если часть состоит из нескольких кусков, то надо сложить длины этих кусков). Вместо отрезка АВ можно взять некоторую геометрическую фигуру, имеющую конечную площадь и считать вероятностью попасть в часть X этой фигуры отношение площадей указанной части и всей фигуры. Итак, геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в некоторую область. (отрезок, часть плоскости, шар, и т.д.) Пусть Ω – область на плоскости, DΩ. μ(Ω), μ(D) – площади этих областей. В Ω наудачу бросается случайная точка ω. Вероятность попадания в любую подобласть области Ω зависит только от её площади. Тогда P{ωD} = μ(D) / μ(Ω). Замечание. Геометрическая модель имеет ограниченную область применения ввиду требования равновозможности отдельных точек. Пример 1. Вернемся к задаче о разламывании стержня. Пусть на отрезок длины 1 бросают наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три отрезка. Какова вероятность, что из полученных трех отрезков можно сложить треугольник? Заданный отрезок рассматриваем как отрезок [0,1] числовой прямой. Тогда наудачу брошенные точки имеют координаты – числа x и y, принадлежащие отрезку [0,1]. 0 x y 1 Но любую пару чисел можно рассматривать как координаты точки на плоскости. Поскольку 0≤x≤1, 0≤y≤1, то эти точки (x,y) наудачу брошены в квадрат со стороной 1. Посмотрим теперь какую фигуру образуют точки, координаты которых удовлетворяют условию примера. Для того, чтобы из этих трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длины этих отрезков удовлетворяли неравенству треугольника. При x≤y получаем: x<(y-x)+(1-y); y-x<x+(1-y); 1-y<x+(y-x), что после преобразований дает систему неравенств: x 0, 5, Y y x 0, 5, y 0, 5, x y, B 1 C A 0,5 X 0,5 1 которой на плоскости XOY соответствует треугольник ABC, площадь которого S=1/8. При x > y получаем: y < (x-y) +(1-x); x-y < y +(1-x); 1-x < y +(x-y), что после преобразований дает систему неравенств: y 0, 5, y x 0, 5, x 0, 5, x y, Y 1 N 0, 5 M K 0,5 1 X которой на плоскости XOY соответствует треугольник NMK площадь которого S=1/8. Площадь квадрата равна 1. Следовательно, вероятность построить треугольник равна P=(1/8+1/8)/1=1/4. Пример 2. (задача Бюффона) . На плоскости проведено семейство параллельных прямых. Расстояние между соседними прямыми равно m. На эту плоскость наудачу бросается отрезок длины m. Какова вероятность, что отрезок пересекается хоть с одной прямой из этого семейства? Решение. x y B A Рис. 1 Y y=m sinx m Рис.2 π Обозначим через y расстояние от верхнего конца отрезка до ближайшей снизу прямой. Проведем луч с началом в верхней (левой) точке отрезка, параллельный прямым семейства и идущий направо. Обозначим через x угол между этим лучом и отрезком. Мы получили пару чисел, удовлетворяющих неравенствам: 0≤x<π, 0≤y≤m. Точка (x,y) с такими координатами наудачу брошена в прямоугольник (рис2). X Для того, чтобы отрезок пересекался хотя бы с одной из прямых семейства, необходимо и достаточно выполнение неравенства y ≤ |AB| = m sinx , которым на рисунке 2 определена заштрихованная фигура. Найдем ее площадь: S1 m sin x dx m cos x 0 2m. 0 Так как площадь прямоугольника, в который наудачу брошена точка, S=πm, то искомая в примере вероятность p=S1/S=2m/πm=2/π. Пример 3. (задача о встрече). Два школьника условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течении ¼ часа, после чего уходит. Какова вероятность, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода? Решение. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, |y-x| ≤ 1/4. Y Тогда 1 y ≤ x +1/4, y ≥ x - 1/4. Sкв.=1, Sф=1-2(3/4·3/4·1/2)= 1/4 1/4 1 X 1-9/16 = =7/16. Следовательно, p=Sф/Sкв.=7/16.