Основы автоматического управления

Основы автоматического
управления
Лекция 3
Операционное исчисление
Задачи операционного исчисления
•
Для получения дифференциального уравнения системы управления
необходимо получить дифференциальные уравнения для объекта
управления и управляющего устройства.
•
Если управляющее устройство состоит из нескольких, то для
составления дифференциального уравнения системы нужно
предварительно составить дифференциальное уравнение
управляющего устройства по дифференциальным уравнениям его
элементов.
•
Исключая из полученных уравнений промежуточные величины, можно
получить дифференциальное уравнение относительно интересующих
нас величин (как правило, эти преобразования очень трудоёмки и
громоздки).
•
Для упрощения решения данной и других задач, в теории управления
вместо рассмотрения величин, характеризующих состояние системы
во времени – оригиналов, рассматривают соответствующие им
изображения, полученные при помощи какого-либо преобразования.
Цели операционного исчисления
• При исследовании и расчетах систем
управления широко используется
операционное исчисление, позволяющее
существенно облегчить исследование
сложных систем.
• Преобразования операционного исчисления
позволяют заменять операции
дифференцирования и интегрирования
функций на операции более «низкого ранга».
Преобразование Фурье
• Рассматриваем периодическую функцию (t), такую,
что (t+T)=(t).
• Если на интервале T эта функция однозначна,
конечна, кусочно-непрерывна и имеет конечное
число максимумов и минимумов (условия Дирихле),
то (t) представима в виде бесконечного сходящего
ряда:
k 
1
 (t )  a0   (ak cos k0t  bk sin k0t )
2
k 1
2 T /2
a0 
 (t )dt

T T / 2
2
0 
T
2 T /2
ak 
 (t ) cos(k0t )dt

T T / 2
2 T /2
bk 
 (t ) sin( k0t )dt

T T / 2
Частотные спектры
• Разложение функции (t) в бесконечный ряд с
помощью преобразования Фурье называется рядом
Фурье функции (t).
• Коэффициенты ak и bk называются линейными
частотными спектрами, так как зависят от
линейной частоты.
• Такое название показывает, что периодическая
функция получается путём наложения ряда
синусоид, т.е. сложное колебание функции
разлагается на отдельные гармонические колебания.
Линейный спектр
• Для получения линейного спектра функции
используется формула Эйлера
eix  cos x  i sin x
• Тогда ряд Фурье представляется следующим
образом
 (t ) 
k 
ik 0 t
C
(
i

)
e
 k 0
k  
• Получен комплексный линейный спектр
функции
ak  ibk 1 T / 2
 ik 0 t
Ck 


(
t
)
e
dt

2
T T / 2
Цель преобразования Фурье
• В терминах операционного исчисления установлено
взаимнооднозначное соответствие между периодической
функцией действительного переменного (t) и функциями
комплексного переменного Ck(i).
• Функция (t) однозначно определяет функции Ck(i), и
наоборот, зная функции Ck(i) можно однозначно определить
функцию (t).
• Периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле,
может быть представлена в виде суммы гармоник:
k 
2
ik
1
 (t )   e T
T k  
t
T /2

 (t )e 
T / 2
ik
2
T
t
dt
Интеграл Фурье
•
Если функция не является периодической, то подобные расчеты
выполняются с помощью интеграла Фурье – предельного случая ряда
Фурье.
•
Интеграл Фурье в экспоненциальной форме:
1
 (t ) 
2
•
e

it

d   (t )e  it dt

Прямое преобразование Фурье:
1
 (t ) 
2
•


  (i )e
i t
d

Обратное преобразование Фурье:

 (i )    (t )e  it dt

•
Функция (i) – комплексный частотный спектр функции (t).
Цель преобразования Лапласа
•
Преобразование Лапласа позволяет для большинства
практически важных случаев установить взаимно однозначное
соответствие между функцией действительного переменного
f(t) (оригиналом) и функцией комплексного переменного F(p)
(изображением), отличающееся тем, что многим
соотношениям и операциям над оригиналами f(t)
соответствуют более простые соотношения и операции над их
изображениями F(p).
•
При рассмотрении динамики системы управления всегда
можно считать, что возмущение или какое-либо управляющее
воздействие возникает к моменту времени t=0, т.е. (t)=0 при
t<0.
Условия существования «оригинала»
Вводится класс функций f(t), называемых
«преобразуемые по Лапласу» или
«оригиналы», которые удовлетворяют
следующим условиям:
1. f(t)=0 при t<0
2. Функция удовлетворяет условиям Дирихле
при t>0
3. При t>0 функция по абсолютному значению
ограничена верхним пределом f (t )  Me t
0
Преобразование Лапласа
1   i pt   (  i )t
f (t ) 
e dp  e
f (t )dt

2i   i
0
Функция F(p) называется «лапласовым
изображением» или изображением функции
f(t), являющейся оригиналом функции F(p),
т.е. F(p)=L[f(t)].
(-абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа).
  i
1
pt
f (t ) 
F
(
p
)
e
dp

2i   i

F ( p) 

0
f (t )e pt dt
Свойства преобразования
Лапласа
1. Линейность.
2. Подобие.
3. Дифференцирование оригинала.
4. Интегрирование оригинала.
5. Дифференцирование изображения.
6. Интегрирование изображения.
7. Запаздывание.
8. Смещение изображения.
9. Свёртка оригиналов.
10. Связь конечного значения оригинала с начальным
значением изображения.
Литература
Лотош М.М. «Основы теории
автоматического управления»
www.knigainformatika.com/rule/rule.html