Загрузил Артем

+HW7-16-03-2022

реклама
Домашнее задание к занятию
16.03.2022
Задача 1. (1 балл) Пусть 𝜑(𝑥) – вещественная функция, которая → 0, при |𝑥| → +∞.
Докажите следующее соотношение:
(︂
)︂
∫︁ +∞
∫︁ +∞
)︀
(︀ 2
𝑑2
2 𝑑𝑘
2
˜
𝑚 + 𝑘 2 |𝜑(𝑘)|
𝜑(𝑥) 𝑚 − 2 𝜑(𝑥)𝑑𝑥 =
,
𝑑𝑥
2𝜋
−∞
−∞
˜
где 𝜑(𝑘)
- преобразование Фурье функции 𝜑(𝑥).
Задача 2. (2 балла) Используя преобразование Фурье, найти функцию, удовлетворяющую
уравнению:
∫︁ ∞
2
𝑓 (𝑦)𝑒−𝜅|𝑥−𝑦| 𝑑𝑦 = 𝑒−𝑥 /2
−∞
Задача 3. (2 балла) Рассмотрим
нормированной волновой
(︁ 2 )︁волновой пакет, описываемый
∫︀ ∞
1√
𝑥
−𝑖𝑘𝑥
̃︀
функцией 𝜓(𝑥) = 𝜋1/4 𝑎 exp − 2𝑎2 . Пусть 𝜓(𝑘)
= −∞ 𝑑𝑥𝑒
𝜓(𝑘) – её фурье-образ. Вы∫︀ ∞ 2
∫︀
∞
2 𝑑𝑘
̃︀
числить ∆𝑥2 =
𝑥 |𝜓(𝑥)|2 𝑑𝑥 и ∆𝑘 2 =
𝑘 2 |𝜓(𝑘)|
; проверить выполнения “принципа
−∞
−∞
2𝜋
неопределённости”: ∆𝑥2 · ∆𝑘 2 ≥ 14 .
1
Скачать