1_04

1.4. Дискретное преобразование
Фурье
Обратное пространство.
Фурье-преобразование.
Быстрое фурье-преобразование
Обратное пространство
 Фурье-преобразование играет важное значение в квантовой физике
конденсированного состояния
 Все физические величины, определенные в периодическом пространстве
кристалла, такие как энергия электронов и дырок, дисперсия фононных и
фотонных возбуждений, волновые функции квазичастиц и др.,
периодичны в обратном пространстве с периодом обратной решетки
 Для конечной дискретной системы обратное пространство также
дискретно
La
a
(L-1)a
 Решение уравнения Шредингера для свободной
0
частицы на периодической решетке –
2a
...
плоские волны
3a
...
2
Обратное пространство
 Граничные условия Борна – Кармана:
 Разрешенные импульсы в дискретной периодической системе также
дискретны, количество неповторяющихся импульсов равно числу узлов;
при увеличении размеров системы соседние значения импульсов все
больше приближаются друг к другу:
 Все неповторяющиеся импульсы размещены в области
 Эта область называется первой зоной Бриллюэна
 Часто точку отсчета удобно помещать в центр зоны, тогда первая зона
Бриллюэна заключена в интервале
3
Обратное пространство
 Пространство разрешенных импульсов однозначно связано с прямым
дискретным пространством и называется обратным
 Простой кубической решетке в прямом пространстве соответствует также
простая кубическая решетка. Объемно-центрированной кубической
решетке в прямом пространстве соответствует гранецентрированная
кубическая решетка в обратном пространстве, и наоборот
 При изучении структуры твердых тел методами рентгеновской и
нейтронной дифракции сначала определяют обратное пространство, а уже
потом по нему восстанавливают вид кристаллической решетки в прямом
пространстве
4
Простая кубическая
решетка
Объемно-центрированная
кубическая решетка
Гранецентрированная
кубическая решетка
Фурье-преобразование
 Для периодической функции с периодом 1:
 Дискретная пространственная сетка:
 Для этой сетки справедливо:
 Теперь задача рассматривается только на одном периоде, разделенном на
отрезки ("узлы") длиной 2π/N. Для решения задачи нужно определить
коэффициенты Фурье Aq
5
Фурье-преобразование
 Cкалярное произведение двух функций на дискретной сетке:
 Ортонормированная система:
 Коэффициенты Фурье:
 В непрерывном пределе:
6
Фурье-преобразование
 Свойство коэффициентов Фурье:
 Используя это свойство, можно сдвинуть пределы суммирования:
 Подобный сдвиг позволяет проводить суммирование в симметричных
пределах, что часто бывает удобно
 Для численного расчета всех коэффициентов Фурье в общем случае
необходимо порядка N2 операций
 Существует алгоритм, который позволяет проводить разложение в ряд
Фурье гораздо быстрее – за ~Nlog2N операций – быстрое
преобразование Фурье
7
Быстрое преобразование Фурье
 Коэффициенты Фурье некоторой периодической функции:
 Разобьем число N на два сомножителя:
 Подставим в выражение для коэффициентов Фурье:
 После преобразований:
8
Быстрое преобразование Фурье
 Задача разбивается на две части:
 Для расчета коэффициентов A(1) необходимо
 При известных коэффициентах A(1)
операций
количество операций, необходимое
для расчета коэффициентов Aq, равно
 В общем случае цена для r сомножителей фурье-операций будет
9
Алгоритм для двоичного разбиения
 Наиболее эффективное разбиение достигается при по основанию 2:
 Алгоритм для двоичного разбиения:
 Последовательность
коэффициентов:
10
рекуррентных
соотношений
для
расчета