ПРОГРАММА ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ МАГИСТРАТУРЫ 01.04.02 «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Тема 1. Основные понятия алгебры Алгебраические операции. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность операций. Алгебраическая система. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группа. Кольцо. Поле. Группа подстановок. Тема 2. Матрицы и определители Операции над матрицами и их свойства. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Методы вычисления определителей. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Обратная матрица. Тема 3. Системы линейных уравнений Матричная форма записи систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных уравнений (определение и отношение). Однородные системы (пространство решений, фундаментальные системы решений). Тема 4. Линейные (векторные) пространства Линейная зависимость. Базис и размерность. Линейные подпространства. Линейные отображения. Ядро и образ линейного отображения. Матрица линейного отображения. Преобразование матрицы линейного отображения при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного отображения. Тема 5. Афинные и ортонормальные системы координат Формулы замены координат. Прямоугольные декартовы системы координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Полярные координаты. Связь между полярными и декартовыми координатами. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Понятие об уравнении кривой. У равнения поверхности и кривой в пространстве. Тема 6. Прямая на плоскости и в пространстве Общий вид уравнения прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Угол между прямыми. Расположение двух прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой в нормальной форме. Пучок прямых. Плоскость и прямая в пространстве. Уравнения плоскости и прямой. Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве. Тема 7. Линии и поверхности второго порядка Линии второго порядка. Типы кривых второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Поверхности второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Конические сечения. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» Тема 1. Определенные интегралы Римана и приближенные методы их вычисления Определение интегрируемости функции по Риману и интеграл Римана. Основные свойства интеграла. Способы прямоугольников, трапеций и парабол для приближенного вычисления интеграла Римана. Оценка погрешностей. Тема 2. Частные производные Частные производные функции в точке. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Геометрический смысл условия дифференцируемости. Определение двукратной дифференцируемости функции и частной производной 2-го порядка в точке. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Тема 3. Криволинейные интегралы Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Условия существования криволинейных интегралов и формулы для их вычисления. Тема 4. Двойные интегралы Определение двойного интеграла Римана. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу. Формула Грина. Тема 5. Поверхностные интегралы Определение поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода. Условия существования и формулы для вычисления поверхностных интегралов. Тема 6. Тройные интегралы Определение тройного интеграла Римана. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле. Теорема Гаусса-Остроградского. Теорема Стокса. Тема 7. Основные операции теории поля Производная скалярного поля по данному направлению. Градиент, его свойства. Понятие векторного поля. Поток и дивергенция векторного поля. Выражение дивергенции в декартовых координатах. Циркуляция и ротор векторного поля. Выражение ротора в декартовых координатах. Векторная формулировка теорем Гаусса-Остроградского и Стокса.