Экзаменационные вопросы и варианты контрольных работ

МАТЕРИАЛЫ
для СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ СПбГЭТУ (ЛЭТИ)
Курс «Математический анализ»
Кафедра ВМ-2
Курс 2
Семестр 4
Санкт-Петербург
2009 г
1. ВВЕДЕНИЕ
В программе перечислены изучаемые темы, литература, экзаменационные вопросы и варианты
контрольных работ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2. ПРОГРАММА КУРСА
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Двойные интегралы. Условия интегрируемости функций.[см [1]- п 588 - 590; [3]- п 7.1, 7.2], Основные
свойства интегралов: нормировка, монотонность, аддитивность;[ см [1]- п 592, п 593; [3]- п 7.3].
Сведение двойных интегралов к повторным.[ см [1]- п 594; [3]- п 7.4] Формулы замены переменных в
двойном интеграле. Полярные координаты.[ см [1]- п 603; [3]- п 7.5] Приложения двойных интегралов. [
см [1]- п 598; [3]- п 7.6].
Тройные интегралы: определения и свойства. .[ см [1]- п 642 - 644; [3]- п 8.1]. Вычисление тройного
интеграла. .[ см [1]- п 645; [3]- п 8.2]. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и
сферические координаты. .[ см [1]- п 655, п 656; [3]- п 8.3]. Приложения тройного интеграла. .[ см [1]- п
649; [3]- п 8.6]
Криволинейные интегралы первого рода. .[ см [1]- п 543; [3]- п 9.1] Свойства и методы их вычисления. .[
см [1]- п 544; [3]- п 9.2] Приложения криволинейных интегралов первого рода .[ см [1]- п 545, п 554; [3]п 9.3]. Криволинейные интегралы второго рода. .[ см [1]- п 546; [3]- п 10.1]. Свойства и методы их
вычисления. .[ см [1]- п 547; [3]- п 10.2]. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода
от пути интегрирования. Формула Грина. .[ см [1]- п 555 - 558; п 601; [3]- п 10.3, 10.4]. Приложения
криволинейных интегралов второго рода .[ см [1]- п 554; [3]- п 10.5].
Поверхностные интегралы первого типа. .[ см [1]- п 630; [3]- п 11.1] Методы их вычисления. .[ см [1]- п
631; [3]- п 11.2] Приложения поверхностных интегралов первого типа. .[ см [1]- п 632; [3]- п 11.3].
Поверхностные интегралы второго типа. .[ см [1]- п 634; [3]- п 12.1]. Методы их вычисления. .[ см [1]- п
635; [3]- п 12.2]. Приложения поверхностных интегралов второго типа. .[ см [1]- п 638; [3]- п 12.5].
Формула Остроградского – Гаусса. Формула Стокса. .[ см [1]- п 639, п 651; [3]- п 12.3, 12.4].
Основные понятия и формулы векторного анализа. Скалярные и векторные поля. .[ см [1]- п 664, п 665;
[3]- п24.1, 25.1]. Градиент функции нескольких переменных, поток вектора через поверхность,
дивергенция векторного поля, циркуляция векторного поля,. потенциал векторного поля, ротор
векторного поля. .[ см [1]- п 666 - 669; [3]- п 24.3, 25.2 – 25.5]. Основные классы векторных полей. .[ см
[1]- п 670; [3]- п27.1, 27.2]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Функции комплексной переменной (ФКП): предел, непрерывность, производная, ее геометрический
смысл. .[ см [6]- §3,5,; [3]- п 28.1, 28.2,] Условия Коши- Римана существования производной ФКП .[ см
[6]- §6,8,; [3]- п 28.4, 28.5,] . Интеграл от ФКП. Теорема Коши. Неопределенный интеграл. Формула
Ньютона – Лейбница. Интегральная формула Коши. .[ см [6]- §15 - 18, [3]- п 29.1 - 29.3,] Ряды с
комплексными членами. Разложение аналитической ФКП в ряд Тейлора. Ряд Лорана.
.[ см [6]- §22,
§25, [3]- п 30.2 -30.5,] Классификация особых точек. Вычеты: определение, методы вычисления. .[ см [6]§26,27, [3]- п 30.6, п 31.1, 31.2] Вычисление интегралов при помощи вычетов. .[ см [6]- §28; [3]- п 31.2]
3. ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
Г.М Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3 М
Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции
комплексного переменного. Ч.3 М.: Дрофа, 2003.
Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Ч.2 И 3. М.: Айрис-пресс, 2004.
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Под
редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. М.,"Наука", 1986.
Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Тома 1, 2
.В. Я. Эйдерман. Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. М.,
Физматлит , 2002
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
4. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
Двойные интегралы. Определение двойного интеграла, как предела интегральных сумм.
Геометрический и физический смысл двойного интеграла..
Основные свойства двойного интеграла: нормировка, монотонность, аддитивность.
Сведение двойного интеграла к повторному.
Формула замены переменной в двойном интеграле.
Двойной интеграл в полярных координатах.
Приложения двойного интеграла.
Тройной интеграл и его свойства: нормировка, монотонность, аддитивность.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
Приложения тройных интегралов.
Криволинейные интегралы первого рода. Методы их вычисления. Приложения криволинейных
интегралов первого рода.
Криволинейные интегралы второго рода. Методы их вычисления. Приложения криволинейных
интегралов второго рода.
Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Формула
Грина.
Поверхностные интегралы первого типа. Методы их вычисления. Приложения поверхностных
интегралов первого типа.
Поверхностные интегралы второго типа. Методы их вычисления. Приложения поверхностных
интегралов второго типа
Формула Остроградского – Гаусса. Формула Стокса.
Скалярное и векторное поля. Градиент скалярного поля.
Поток вектора через поверхность. Дивергенция. векторного поля.
Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля.
Основные классы векторных полей.
Функции комплексной переменной: предел, непрерывность.
Основные элементарные функции комплексного переменного.
Производная и дифференциал функции комплексной переменной. Условия Коши- Римана.
Интеграл от функции комплексной переменной.
Теорема Коши.
Неопределенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
Интегральная формула Коши.
Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
Ряд Лорана.
Классификация особых точек.
Определение вычета. Методы вычисления вычетов (в простых и кратных полюсах).
Теорема о вычетах.
Вычисление интегралов при помощи вычетов.
Контрольная работа. Вариант №1
Часть №1
1. Вычислить, перейдя к полярным координатам,
 xdxdy , где область D ограничена
D
линиями: y
2
 4 y  x 2  0; y 2  8 y  x 2  0; y 
x
; x  0 . Сделайте
3
рисунок.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
e
y ;
x
y  ln x;
x  1. Сделайте рисунок.
3. Вычислить, перейдя к цилиндрическим координатам
x2
 x 2  y 2 dxdxydz , где

9 2
11
x  y 2 ; z   x2  y 2 .
2
2
dl
4. Вычислить криволинейный интеграл 
, где L – отрезок прямой от точки
x

y
L
область

ограничена линиями:
z
А(0;-2) до точки В(4;0).
5. Вычислить криволинейный интеграл
 ydx  zdy  xdz , где L первый виток
L
винтовой линии x=cost; y=sint; z=t.
Часть №2
1. Найдите геометрическое место точек, изображающих числа z, удовлетворяющих
 z 1 i  2

системе неравенств Re z  1 .
Im z  1

2. Найти аналитическую функцию f(z), если задана ее действительная часть
Re f ( z )  x 2  y 2  2 x и f (i )  2i  1.
Ln( 3  i )
4. Вычислить  z dz , где l – прямолинейный отрезок, соединяющий точки z  0 и
3. Вычислить
z  3  4i .
5. Вычислить
l
 (3z
AB
точки
z  1 i .
2
 2 z )dz , где АВ – часть параболы y  x 2
от точки
z  0 до
6. Вычислить

z

7. Вычислить

dz
1
2
z ( z  1)
 ( x
2
.
x2  3
2
 2 x  17)
2
dx .
Контрольная работа. Вариант №2
Часть №1
1. Вычислить, перейдя к полярным координатам,
y
 x 2  y 2 dxdy , где область D
D
2
2
2
2
ограничена линиями: y  6 y  x  0; y  10 y  x  0;
Сделайте рисунок.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
2
y ;
x
y  x; x  0 .
y  2 x ; x  4 . Сделайте рисунок.
3. Вычислить, перейдя к цилиндрическим координатам
x2
 x 2  y 2 dxdxydz , где

область

ограничена линиями:
z  36  x  y ; z 
4. Вычислить криволинейный интеграл
2

2
x2  y 2
3
.
y dl , где L –часть параболы от точки
L
А(0;0) до точки В(2;4).
5. Вычислить криволинейный интеграл
(y
2
 z 2 )dx  2 yzdy  x 2dz , где L – часть
L
x  t

2
кривой  y  t от точки А(0;0;0) до точки В(1;1;1).

3
z  t
Часть №2
1. Найдите геометрическое место точек, изображающих числа z, удовлетворяющих
 z 1  1

системе неравенств Re z  1 .
Im z  1

2. Найти аналитическую функцию f(z), если задана ее мнимая часть
1
Im f ( z )  10 xy  6 y и f ( )  1 .
5
3. Вычислить Ln( 1  i )
4. Вычислить  z dz , где l – прямолинейный отрезок, соединяющий точки z  i и
z  1 2i .
l
 (12 z
5. Вычислить
5
 4 z 3  1)dz , где АВ –отрезок прямой
AB
точки
z i.

6. Вычислить
z 1i 

7. Вычислить

dz
2
5 z ( z  1)
.
4
dx
2
2
  ( x  4)( x  9)
.
от точки
z  1 до