Государственный университет- Высшая школа экономики Факультет Экономики

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
Государственный университетВысшая школа экономики
Факультет Экономики
Программа дисциплины:
Стохастический анализ
для направления 080100.62 - Экономика
подготовки бакалавра
Автор программы: Б.Б. Демешев
Рекомендована секцией УМС
Математические и
статистические методы в экономике
Одобрена на заседании
кафедры "математическая
экономика и эконометрика»
Председатель А.С. Шведов
Зав. кафедрой Г.Г. Канторович
«____»______________2006 г.
«__»____
Утверждена УС факультета Экономики
Т.А. Протасевич
«____»______________2006 г.
Москва, 2006
_____2006 г.
Пояснительная записка
I.
Автор программы: Демешев Борис Борисович
Требования к студентам: Курс «Стохастический анализ» (1-3 Модули учебного плана 2 курса)
опирается на курсы «Математического анализа» и «Теории вероятностей и математической
статистики». Курс является факультативным, и ориентирован на студентов имеющих хорошие
математические способности.
Аннотация: Основная задача курса – ознакомить студентов с понятием стохастического
интеграла и его приложением в экономическом моделировании. Для этого в курс включена
строгая аксиоматика теории вероятностей. По ходу обучения студенты получают
дополнительный опыт решения задач. Предполагается, что после окончания курса студент
будет понимать терминологию, которая используется в современных научных статьях по
экономическому моделированию с использованием случайных процессов в непрерывном
времени.
Формы контроля: Программа курса предусматривает 44 часа лекций и 44 часа семинарских
занятий. В качестве промежуточного контроля предусмотрены 1 домашнее задание (30 %
итоговой оценки) и, по окончании курса – зачет (70 %).
II.
№
Раздел 1
Тема 1.1
Тема 1.2
Тема 1.3
Тема 1.4
Тема 1.5
Тема 1.6
Раздел 2
Тема 2.1
Тема 2.2
Тема 2.3
Тема 2.4
Тема 2.5
Раздел 3
Тема 3.1
Тема 3.2
Тема 3.3
Всего
Тематический план.
Наименование разделов и тем
всего
Аудиторные часы
лекции
семинары
Самостояте
льная
работа
Основания теории вероятностей
Измеримые пространства
Случайные величины
Интеграл Лебега как
математическое ожидание
Декартово произведение мер и
связь с интегралом Римана
Независимость случайных
величин
Виды сходимостей случайных
величин
14
8
14
4
2
4
4
2
4
6
4
6
8
2
2
4
8
2
2
4
14
4
4
6
10
2
2
6
14
8
8
14
4
2
2
4
4
2
2
4
6
4
4
6
14
14
4
4
4
4
6
6
162
4
44
4
44
6
74
Мартингалы в дискретном времени
Простейшие свойства
случайного блуждания
Условное ожидание
Понятие мартингала
Мартингальное преобразование
Сходимость мартингалов и
мартингальные неравенства
Интеграл Ито
Броуновское движение
Определение стохастического
интеграла и его свойства
Модель Блэка-Шоулза
III Содержание программы
Раздел 1. Основания теории вероятностей
Тема 1.1. Измеримые пространства
Определение алгебры и сигма-алгебры. Борелевская сигма-алгегбра. Определение меры.
Свойства вероятности. Теорема Каратеодори (план доказательтва). Мера Лебега. Монотонная
сходимость вероятностей. Понятие «почти наверное».
Тема 1.2. Случайные величины
Определение измеримой функции. Простейшие свойства измеримых функций: сумма,
произведение, композиция измеримых функций. Сигма-алгебра, порожденная случайной
величиной. Функция распределения. Существование случайной величины с заданной функцией
распределения.
Тема 1.3. Интеграл Лебега как математическое ожидание
Последовательное определение интеграла (индикатор-простая функция-неотрицательнаядействительная-комплексная). Теорема о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема о
доминируемой сходимости. Лемма Шефе.
Неравенство Йенсена. Полнота Lp . Интерпретация ожидания как проекции.
Тема 1.4. Декартово произведение мер и связь с интегралом Римана.
Декартово произведение мер. Теорема Фубини (план доказательства). Функции плотности и
совместные функции плотности. Переход от интеграла Лебега к интегралу Римана.
Тема 1.5. Независимость случайных величин
Независимость сигма-алгебр. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю.
Леммы Бореля-Кантелли.
Тема 1.6. Виды сходимостей случайных величин
Поточечная, почти наверное, по вероятности, по распределению, в Lp . Взаимосвязь
сходимостей.
Раздел 2. Мартингалы в дискретном времени.
Тема 2.1. Простейшие свойства случайного блуждания
Метод первого шага и метод разложения в сумму. Расчет вероятности разорения, ожидаемого
числа посещений точки, ожидаемого времени разорения.
Тема 2.2. Условное ожидание
Определение, простейшие свойства. Геометрическая интерпретация. Теорема Пифагора.
Теорема Радона-Никодима (план доказательства).
Тема 2.3. Понятие мартингала
Адаптированность, предсказуемость случайного процесса. Определение мартингала, суб и
супермартингалов. Простейшие свойства.
Тема 2.4. Мартингальное преобразование
Мартингальное преобразование, момент остановки, остановленный мартингал. Теорема об
ожидаемом значении мартингала на момент остановки.
Тема 2.5. Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства
Теорема о сходимости мартингалов почти наверное. Равномерная интегрируемость.
Сходимость мартингалов в смысле L1 . Неравенства Дуба (для L1 и L2 ).
Раздел 3. Интеграл Ито.
Тема 3.1. Броуновское движение
Характеристическая функция. Восстановление закона распределения по характеристической
функции. Многомерное нормальное распределение. Определение броуновского движения.
Простейшие свойства.
Тема 3.2. Определение стохастического интеграла и его свойства
Пошаговое определение стохастического интеграла. Формула Ито для броуновского движения.
Таблица умножения Ито. Введение в стохастические дифференциальные уравнения.
Тема 3.3. Модель Блэка-Шоулза
Вывод модели Блэка-Шоулза. Сравнительная статика модели. Расчет волатильности по
дискретным данным. Сравнение выводов модели с эмпирическими фактами.
IV Литература
Основная:
1. Zastawniak, Basic Stochastic Processes
2. Wilde, Measure, Integration and Probability
3. Williams, Probability with Martingales
Дополнительная:
1. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications
2. Wilde, Stochastic Calculus
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
1. Определение алгебры и сигма-алгебры.
2. Определение меры.
3. Свойства вероятности.
4. Теорема Каратеодори (план доказательтва).
5. Мера Лебега.
6. Монотонная сходимость вероятностей.
7. Понятие «почти наверное».
8. Определение измеримой функции.
9. Существование случайной величины с заданной функцией распределения.
10. Последовательное определение интеграла.
11. Теорема о монотонной сходимости.
12. Лемма Фату.
13. Теорема о доминируемой сходимости.
14. Лемма Шефе.
15. Неравенство Йенсена.
p
16. Полнота L .
17. Декартово произведение мер.
18. Теорема Фубини (план доказательства).
19. Переход от интеграла Лебега к интегралу Римана.
20. Независимость сигма-алгебр.
21. Леммы Бореля-Кантелли.
22. Виды сходимостей случайных величин. Взаимосвязь между видами сходимостей.
23. Простейшие свойства случайного блуждания
24. Условное ожидание
25. Теорема Радона-Никодима (план доказательства).
26. Определение мартингала, суб и супермартингалов. Простейшие свойства.
27. Мартингальное преобразование
28. Момент остановки, остановленный мартингал.
29. Теорема об ожидаемом значении мартингала на момент остановки.
30. Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства
31. Броуновское движение. Определение, свойства.
32. Определение стохастического интеграла и его свойства
33. Модель Блэка-Шоулза
13.01.2006
_____________________________/Демешев Б.Б./