Федеральное агентство по образованию Форма Ульяновский государственный университет Ф-Рабочая программа по дисциплине

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и
информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________2008 г.
Председатель __________________А.А. Бутов
(подпись, расшифровка подписи)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина:
Кафедра:
Математический анализ, 4 семестр
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
Специальность (направление): 01.01.00 Математика
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ:
«_____» ___________ 2008 г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Самойлов Леонид Михайлович
Аббревиатура
кафедры
АГВ
Ученая степень,
звание
к.ф.м.н.
Заведующего кафедрой
Мищенко С.П.
(ФИО)
/_____________/
(Подпись)
«______»__________ 2008 г.
Форма А
Страница 1 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Оглавление
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. ...................................... 3
1.1. Цели ........................................................................................................... 3
1.2. Задачи ........................................................................................................ 3
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ. ............................................................................... 5
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: ....................................... 5
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: ................... 5
4. СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................ 6
Тема 1: Семейства функций,зависящих от параметра. ................................... 6
Тема 2: Собственные интегралы, зависящие от параметра ........................... 6
Тема 3. Несобственные интегралы,зависящие от параметра ......................... 6
Тема 4. Кратные интегралы Римана .................................................................. 6
Тема 5. Криволинейные и поверхностные интегралы .................................... 7
5. ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ............................................................ 7
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ ................................................ 8
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.............. 9
7.1. Список литературы: ...................................................................................
Форма А
Страница 2 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Данная программа определяет объем знаний по курсу математического анализа
для студентов 2 курса 4 семестра специальности «Математика». Пpогpамма рассчитана
на 102 аудиторных учебных часов. Предусматривается проведение коллоквиума,
индивидуальное семестровое задание, контрольных работ, проверочных работ.
Учебная дисциплина «Математический анализ, 4 семестр» является
фундаментальной математических дисциплиной, на ней базируются многие другие
дисциплины, изучаемые позднее (обыкновенные дифференциальные уравнения,
дифференциальные уравнения в частных производных, теория вероятностей,
стохастический анализ, функциональный анализ, комплексный анализ, оптимальное
управление).
Вместе с тем, математический анализ имеет множество непосредственных
геометрических и физических приложений, изучение которых является неотъемлемой
частью курса.
Дисциплина «Математический анализ, 4 семестр» базируется на знаниях и
умениях, полученных студентами в результате изучения математического анализа в трех
предыдущих семестрах.
1.1. Цели
Целями учебной дисциплины являются:
1. овладение фундаментальными знаниями методов интегрального и
дифференциального исчисления, необходимыми в том числе для изучения других
математических дисциплин.
2. развитие навыков решения задач и доказательства теоретических утверждений
методами математического анализа.
1.2.
Задачи
Основными задачами учебной дисциплины являются:
 формирование у будущих математиков комплексных знаний методов
математического анализа.
 приобретение студентами навыков и умений по решению теоретических и
прикладных задач методами математического анализа.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Математический анализ, 4 семестр»
студенты должны
знать:
 свойства поточечно и равномерно сходящихся семейств функций, зависящих
от параметра;
Форма А
Страница 3 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине





уметь:








Форма А
свойства собственных интегралов, зависящих от параметра;
свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра;
свойства и приложения кратных интегралов Римана на измеримых
множествах;
свойства и приложения криволинейных и поверхностных интегралов;
основные формула анализа: формулы Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского.
исследовать семейства функций на равномерную сходимость;
вычислять собственные интегралы методами интегрирования по параметру и
дифференцирования по параметру, с использованием свойств непрерывности;
вычислять несобственные интегралы методами интегрирования по параметру
и дифференцирования по параметру, с использованием свойств
непрерывности;
вычислять несобственные интегралы путем сведения их к интегралам Дирихле
и Пуассона, к эйлеровым интегралам 1 и 2 родов (B- и Г-функциям)
вычислять через двойные и тройные интегралы площади, объемы, площади
поверхностей, координаты центров тяжестей, моменты инерции плоских и
пространственных областей;
параметризовать кривые и поверхности;
применять криволинейные и поверхностные интегралы к решению физических
и геометрических задач;
применять формулы Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского к решению
основных задач теории поля.
Страница 4 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3.1.
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия:
Лекции
Практические и семинарские занятия
Самостоятельная работа
Всего часов по дисциплине
Текущий контроль (количество и вид,
контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации
(экзамен, зачет)
Количество часов (форма обучения очная__)
В т.ч. по семестрам
Всего по плану
3
4
5
2
3
4
5
108
108
34
34
68
68
108
108
216
216
2
2
зачет,
экзамен
3.2.
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения ___очная____
Название и разделов и тем
Всего
Виды учебных занятий
Аудиторные занятия
практиче Самосто
ятельная
ские
лекции
работа
занятия,
семинар
3
4
5
1
2
1. Семейства функций, зависящих от параметра
2. Собственный интеграл, зависящий от
параметра
3. Несобственный интеграл, зависящий от
параметра
4. Кратные интегралы Римана
5. Криволинейные и поверхностные интегралы
48
48
8
8
16
16
24
24
36
6
12
18
36
36
6
6
12
12
18
18
Итого
204
34
68
102
Форма А
Страница 5 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
4. СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1: Семейства функций, зависящих от параметра.
Равномерная сходимость семейства функций, зависящего от параметра. Лемма о
коммутировании
предельных
переходов.
Теоремы
о
непрерывности,
дифференцируемости и интегрируемости предельной функции.
Тема 2: Собственный интеграл, зависящий от параметра.
Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости собственного
интеграла по параметру.
Тема 3: Несобственный интеграл, зависящий от параметра.
Теорема Фруллани. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от
параметра. Критерий Коши. Достаточное условие отсутствия равномерной сходимости.
Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости несобственного
интеграла. Теоремы о непрерывности, предельном переходе и дифференцируемости
несобственного интеграла по параметру. Теоремы о перестановке собственного и
несобственного интегралов. Теоремы о перестановке несобственных интегралов.
Интеграл Дирихле. Интеграл Пуассона. Эйлеровы интегралы и их свойства. Связь между
В и Г-функциями.
Тема 4: Кратные интегралы.
4.1. Определение интеграла Римана.
Определение интеграла Римана на брусе. Единственность
Необходимое условие интегрируемости функции на брусе.
интеграла
Римана.
4.2. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману на брусе.
Определение сумм Дарбу. Теорема о формулах Дарбу. Определение верхнего и нижнего
интеграла Дарбу. Теорема о суммах Дарбу. Теорема о предельном критерии
интегрируемости на брусе. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману на брусе.
4.3. Множества меры нуль и объема нуль.
Определение множеств меры нуль. Свойства множеств меры нуль. Теорема о графике
непрерывной функции. Множества объема нуль, их свойства.
4.4. Критерий Лебега интегрируемости по Риману на брусе.
Критерий Бэра непрерывности функции в точке. Теорема Кантора. Критерий Лебега
интегрируемости по Риману на брусе. Следствия критерия Лебега.
4.5. Интеграл Римана на ограниченных множествах и его свойства.
Форма А
Страница 6 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Измеримые по Жордану множества и их свойства. Критерий Лебега на измеримом по
Жордану множестве. Свойства интеграла Римана.
4.6. Сведение кратных интегралов Римана к повторным.
Теорема Фубини на брусе. Теорема Фубини для цилиндроидов. Теорема Кавальери.
Принцип Кавальери.
4.7.Замена переменных в кратном интеграле Римана.
Лемма об интегрируемости по Риману композиции двух функций. Теорема о замене
переменных в одномерном интеграле Римана. Общая теорема о замене переменных.
Пренебрежимые множетсва. Инвариантность интеграла Римана относительно движения.
Геометрический смысл якобиана. Объем n-мерного шара.
Тема 5: Криволинейные и поверхностные интегралы.
Криволинейные интегралы 1 и 2 родов, их свойства, связь между ними. Интегрирование
полных дифференциалов. Формула Грина и ее свойства. Критерий полного
дифференциала на плоскости. Поверхность и ее площадь. Сапог Шварца. Поверхностные
интегралы 1 и 2 родов, связь между ними. Формула Гаусса-Остроградского и ее
приложения. Формула Стокса и ее приложения. Критерий полного дифференциала в
пространстве.
5. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
5.1. Исследование семейства функций на равномерную сходимость.
5.2. Вычисление собственных интегралы методами интегрирования по параметру и
дифференцирования по параметру, с использованием свойств непрерывности.
5.3. Исследование несобственных интегралов на равномерную сходимость.
5.4. Вычисление несобственных интегралы методами интегрирования по параметру и
дифференцирования по параметру, с использованием свойств непрерывности;
5.5. Вычисление несобственных интегралов путем сведения их к интегралам Дирихле
и Пуассона, к эйлеровым интегралам 1 и 2 родов (B- и Г-функциям)
5.6. Вычисление двойных интегралов.
5.7. Замена переменных в двойном интеграле.
5.8. Вычисление площади через двойные интегралы.
5.9. Вычисление объема через двойные интегралы.
5.10. Вычисление площади поверхности.
5.11. Вычисление центров тяжести и моментов инерции плоских областей.
5.12. Тройные интегралы.
5.13. Замена переменных в тройном интеграле.
5.14. Вычисление объемов через тройные интегралы.
5.15. Вычисление центров тяжести и моментов инерции пространственных
областей.
5.16. Параметризация плоских и пространственных кривых.
Форма А
Страница 7 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
5.17. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов.
5.18. Формула Грина и ее приложения.
5.19. Применение криволинейных интегралов к решению физических и
геометрических задач;
5.20. Параметризация поверхностей.
5.21. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го родов.
5.22. Формула Гаусса-Остроградского.
5.23. Формула Стокса.
5.24. Применение формул Стокса, Гаусса-Остроградского к решению основных
задач теории поля.
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К
ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
ТРЕБОВАНИЯ К ЗАЧЕТУ
Студенты должны уметь:








исследовать семейства функций на равномерную сходимость;
вычислять собственные интегралы методами интегрирования по параметру и
дифференцирования по параметру, с использованием свойств непрерывности;
вычислять несобственные интегралы методами интегрирования по параметру
и дифференцирования по параметру, с использованием свойств
непрерывности;
вычислять несобственные интегралы путем сведения их к интегралам Дирихле
и Пуассона, к эйлеровым интегралам 1 и 2 родов (B- и Г-функциям)
вычислять через двойные и тройные интегралы площади, объемы, площади
поверхностей, координаты центров тяжестей, моменты инерции плоских и
пространственных областей;
параметризовать кривые и поверхности;
применять криволинейные и поверхностные интегралы к решению физических
и геометрических задач;
применять формулы Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского к решению
основных задач теории поля.
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Теоремы Фруллани.
2. Семейства функций, зависящих от параметра. Равномерная сходимость,
критерий Коши. Примеры непрерывных, дифференцируемых, интегрируемых
семейств, сходящихся к разрывной, недифференцируемой, неинтегрируемой
функции.
3. Свойства предельной функции. Теорема о коммутировании предельных
переходов, непрерывность предельной функции, примеры.
Форма А
Страница 8 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
4.
5.
6.
7.
Интегрирование предельной функции, примеры.
Дифференцирование предельной функции, примеры.
Собственные интегралы, зависящие от параметра, теорема о непрерывности.
Теоремы о дифференцируемости и интергируемости собственного интеграла
по параметру.
8. Равномерная сходимость несобственных интегралов 1-го и 2-го рода,
зависящих от параметра. Равномерная сходимость несобственных интегралов
с несколькими особенностями. Критерий Коши равномерной сходимости
несобственных интегралов. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
9. Достаточные условия равномерной сходимости несобственного интеграла,
зависящего от параметра: признаки Абеля и Дирихле.
10. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Теорема о предельном переходе, теорема Дини, следствия, примеры.
11. Дифференцирование и интегрирование по конечному промежутку
несобственного интеграла, зависящего от параметра.
12. Перестановка несобственных интегралов, примеры.
13. Интеграл Дирихле.
14. Интеграл Пуассона (2 способа вычисления).
15. Г-функция Эйлера и ее свойства.
16. В-функция Эйлера и ее свойства. Связь между В и Г-функциями.
17. Определение интеграла Римана на n-мерном брусе. Необходимое
условие интегрируемости, геометрический смысл интеграла.
18. Нижние и верхние интегральные суммы Дарбу, их свойства.
Нижний и верхний интегралы Дарбу. Теорема Дарбу.
19. Критерий Дарбу интегрируемости на n-мерном брусе.
20. Множество лебеговой меры нуль в R^n. Примеры таких множеств.
Критерий Лебега интегрируемости на n-мерном брусе.
Множества объема нуль. Измеримые по Жордану множества.
21. Мера Жордана(объем) множества. Эквивалентность двух определений
множеств объема нуль.
22. Определение интеграла Римана на измеримом по Жордану множестве.
Критерий Лебега интегрируемости. Корректность определения.
23. Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини.
24. Теорема Фубини для цилиндроидов.
25. Замена переменных в кратном интеграле Римана.
26. Криволинейный интеграл 1-го рода, основные свойства.
Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го родов.
27. Ориентация кусочно-гладкой кривой. Криволинейный интеграл 2-го рода,
основные свойства. Интегрирование полных дифференциалов.
28. Формула Грина и ее приложения. Критерий полного дифференциала.
29. Поверхность в R^3. Площадь поверхности и ее вычисление. Сапог Шварца.
30. Поверхностные интегралы 1-го и второго родов, связь между ними.
31. Формула Гаусса Остроградского и ее приложения.
32. Формула Стокса и ее приложения. Критерий полного дифференциала.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
Форма А
Страница 9 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
7.1.
ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.-М.: Наука,
1980, ч.2.
2. Зорич В.А. Математический анализ.- М.: Наука,1984, ч.2.
3. Никольский С.М. Курс математического анализа.- М.: Наука,1973, т.2.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу.- М.:Наука,1987.
5. И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. Задачи и упражнения по
математическому анализу. -М: Высшая школа, 1983, т.1, т.2.
6. Л.А.Кузнецов. Сборник заданий по высшей математике (типовые
расчеты).- М.: Высшая школа, 1983.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
1.
2.
3.
4.
5.
Форма А
Гельбаум Б., Олмстред Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967.
Дьедонне Дж. Основы современного анализа. – М.: Мир, 1964.
Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. – М.: Наука, 1978, т.1, т.2.
Спивак М. Математический анализ на многообразиях.- М. Мир, 1971.
Камынин Л.И. Курс математического анализа. – Изд-во МГУ, 1995, т. 2.
Страница 10 из 10