Методическое руководство Задание 9 Плоское напряженное состояние Работа 9 Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю). Требуется найти: 1) главные напряжения и направление главных площадок; 2) максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности главных напряжений; 3) относительные деформации х, y и z; 4) относительное изменение объема; 5) удельную потенциальную энергию деформаций; 6) эквивалентное напряжение по III теории прочности. Данные взять из таблицы 9. Принять коэффициент Пуассона = 0,3 и модуль упругости 210 ГПа. Таблица 9 Схема По последней цифре матрикула Исходные данные По предпоследней цифре матрикула I II III IV V VI VII VIII IX X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Напряжения х у ху=ух МРа МРа МРа МРа 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 40 50 60 70 80 90 40 50 60 160 150 140 130 130 140 150 160 170 180 Методическое руководство y I Задание 9 yх хy х y II yх хy х х хy хy yх yх y y III yх х y y IV хy yх хy х х х хy хy yх V yх y VI y yх хy y y yх хy х х х х хy хy yх y VII х yх y VIII хy IX yх хy yх y X хy хy х y yх х y х хy y yх хy х х yх y хy х хy yх yх yх y Методическое руководство Задание 9 y Пример решения: yх 3 y = 180 MПa yх = 130 MПa хy = 130 MПa х = 200 MПa 3 = 240,2 MПa 1 = 220,2 MПa 1 хy х х 2 =0 хy 1 3 yх y 1) положение главных площадок 2 xy tg 2 0 x y 2 130 260 0,68 200 180 380 2 0 arctg 0,68 tg 2 0 2 0 34,2 0 или 0 17,10 . Нормаль к одной из главных площадок образует с нормальным напряжением х угол, который откладывается против хода часовой стрелки (0=0). Нормаль к другой главной площадке образует с х угол 0 + 900. Значения главных напряжений глав глав имеем x y x y 2 4 xy2 2 200 180 200 1802 4 1302 1 = 220,2 MРa, 2 2 = 0 , 20 460,4 2 220,2 -240,2 3 = -240,2 MРa. Для расстановки на главных площадках значений главных напряжений (где действует max=, а где min=3) надо было по правилам математики исследовать знак второй производной. d 2 0 900 при 0 и 2 d (где x cos 2 y sin 2 yx sin 2 - нормальное напряжение на произвольной площадке). Но можно это сделать и другим способом. Методическое руководство Задание 9 Направление max = 1 всегда проходит через две четверти осей координат, в которых стрелки касательных напряжений ух и ху сходятся. yх max yх 0 хy хy Это видно из того, что касательные напряжения создают удлинение одной из диагоналей. Именно в этом направлении и действует растягивающее напряжение max = 1 . 2. максимальные касательные напряжения 3 max 1 max 2 220,2 240,2 230,2 МРа 2 и действует по площадке, наклонной под углом 450 к максимальному и минимальному из трех главных напряжений. 3 1 max max 2 =0 450 3 1 3. относительные деформации 200 106 x x y z x 9 E y y E E E x z y 210 10 180 106 210 10 9 0,3 210 10 0,3 210 10 9 9 180 10 6 200 10 6 0 1,2110 3 0 1,14 10 3 Методическое руководство z z E y x E z 0 0,3 210 10 9 180 10 6 Задание 9 200 106 0,029 103 4. изменение объема e V x y z 1,21 1,14 0,029 10 3 0,04 10 3 V Относительное изменение объема е – инвариантная величина, не зависящая от направления осей. Чтобы убедиться в этом найдем относительные деформации через главные напряжения 1 2 3 1 E 2 E 3 E E 2 3 E E 1 3 1 2 1 220,2 10 6 210 10 2 0 9 0,3 0,3 210 10 0 240,2 10 1,39 10 6 9 3 220,2 240,2 106 0,0286 103 210 10 240,2 106 0,3 3 220,2 106 0 1,46 10 3 9 9 210 10 210 10 9 относительное изменение объема e 1 2 3 1,39 0,0286 1,46 103 0,04 103 Как видно результаты расчетов совпадают. Например, если V=1 м3 , то V eV 0,04 103 1 40 106 м3 40 cм3 . 5. удельная потенциальная энергия 1 1 1 1 U 11 2 2 3 3 220,2 1,39 0 240,2 1,46 106 10 3 438 103 Дж/м3 2 2 2 2 6. эквивалентное напряжение по III теории прочности эIII 1 3 220,2 240,2 460,4 340 МПа в данном случае условие прочности не выполнено.