Тема 7 Расчет прочности и жесткости простых балок. Лекция №11 11.1 Касательные напряжения при изгибе. 11.2 Распределение касательных напряжений в сечениях балок различной формы. 11.3 Расчет прочности в заданном сечении двутавровой балки. 11.4 Траектории главных напряжений. 11.1 Касательные напряжения при изгибе. В общем случае в поперечном сечении балки при плоском изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент M z и поперечная сила Q y . Изгибающий момент реализуется в поперечном сечении системой нормальных напряжений. Поперечная сила Q y , вектор которой лежит в плоскости сечения, вызывает в точках сечения касательные напряжения yx (рис. 11.1, а) Рис.11.1 Напряжения при плоском поперечном изгибе По закону парности касательных напряжений на продольных площадках возникают равные им касательные напряжения yx (рис 11.1,б). Таким образом, в продольном сечении возникают усилия сдвига, интенсивность которых обозначим T (усилие, приходящееся на единицу длины, Н/м, рис. 11.2, б). Рис. 11.2 Касательные напряжения принимаются постоянными по ширине сечения (по оси z) Рассмотрим равновесие отсеченной части балки (рис. 11.2, б). Равнодействующая усилий T уравновешивает продольную силу N отс , действующую на площади Aотс поперечного сечения. Считая справедливой формулу для нормальных напряжений x M z y / J z , получим N отс dA Aотс где Mz Jz ydA A отс M z отс Sz Jz N отс M z отс Sz Jz (11.1) S zотс - статический момент относительно оси z отсеченной части сечения. Интенсивность сил T T (x) изменяется по длине балки. Рассмотрим равновесие элемента балки длиной dx с площадью поперечного сечения Aотс . Сумма проекций всех сил на ось x дает (см. рис 11.2, в): dN отс . T dx N отс ( N отс dN отс ) Tdx 0 , (11.2) Сделаем допущение о том, что касательные напряжения по ширине сечения b распределены равномерно (рис. 11.1, б). Тогда 1 dN отс b dx отс Ограничимся рассмотрением балок постоянного сечения, тогда S z Tdx (b)dx , T , b , J z не зависят от координаты x . Учитывая, что dM z Qy , получим: dx отс S zотс dM z S z Q y J zb dx J zb Интенсивность сдвигающих усилий T b Q y S zотс Jz (11.3) Q y S zотс (11.4) J zb T (погонная сдвигающая сила) Q y S zотс T Jz (11.5) Формула (11.4) – формула Журавского. 11.2 Распределение касательных напряжений в сечениях балок различной формы. Прямоугольное сечение. Найдем касательное напряжение, для чего проведем горизонтальный разрез на уровне y (рис 11.3,а) Рис. 11.3 Распределение касательных напряжений в прямоугольном сечении балки S zотс h 1 h b( y) ( y) 2 2 2 S zотс 1 h2 b( y 2 ) 2 4 bh3 J z 12 Подставим (11.6) в (11.4) в результате получим: 3 Qy 4y2 (1 2 ) , 2 bh h 3 2 s (1 где s - среднее напряжение в сечении. 4y2 h2 s ), Qy bh Эпюра показана на рис. 11.3,б. В крайних точках сечения y (11.6) (11.6) , h , 0 . Это 2 согласуется с законом парности касательных напряжений, т.к. на поверхности бруса касательных напряжений нет. отс Толстостенный двутавр (рис. 11.4,а). При составлении выражения для S z следует рассмотреть два случая: 1) 0,5 h y 0,5 H (широкая часть сечения); 2) 0 y 0,5 h (узкая часть сечения) Рис. 11.4 Изменение погонного сдвигового усилия и напряжений по высоте толстостенного двутавра при изгибе В первом случае по аналогии с прямоугольным сечением: H2 B( y2 ) , 4 (11.7) 1 h2 2 2 B ( H y ) b( y 2 ) . 4 4 (11.7) S zотс Во втором случае S zотс Выражения(11.5) для погонной сдвигающей силы примут вид: T1 Qy Jz B( H2 y2 ), 4 Аналогично для второго случая: 0,5 h y 0,5 H , (11.8) Qy 1 h2 2 2 T2 [ B( H y ) b( y 2 )] Jz 4 4 0 y 0,5 h (11.9) Эпюры показаны на рис 11.4,б. Касательные напряжения соответственно определятся так: 1 T1 / B , 2 T2 / b . Эпюры напряжений на рис 11.4,в. Двутавр. Двутавровое сечение может быть представлено в виде сопряжений трех прямоугольников: двух горизонтальных полок и вертикальной стенки (рис.11.5). Рис. 11.5 К определению касательных напряжений в балке двутаврового сечения Напряжения в стенке определяться по формуле (см. 11.4) xy Q y S zотс J zd (11.10) , S zотс - где вычисляется для заштрихованной части сечения, показанной на рисунке 11.5. Наибольшие значения касательные напряжения имеют на уровне нейтральной оси при y=0. max где 1 S z2 1 Q y S z2 (11.11) J zd , - статический момент половины площади сечения относительно оси z 1 S z2 h 1 h h ( t) d ( t) b t ( t) . 2 2 2 2 (11.12) Для прокатных двутавров и швеллеров величина статического момента половины сечения приведена в сортаменте. На уровне сопряжения полки и стенки касательные напряжения определяются по формуле xy Q y S zпол J zd , S zпол bt (h t ) . 2 (11.13) Напряжения xy в полках не могут быть найдены по формуле (11.4), так как b t и предположение о равномерном их распределении по ширине полки становится неприемлемым. Напряжения практического интереса. Аотс в полках малы и не представляют Рис. 11.6 Касательные напряжения в полках и стенке двутавра Значительными являются горизонтальные напряжения xz в полках (рис. 11.6). Для определения этих напряжений рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента, выделенного из нижней полки. Согласно закону парности касательных напряжений на продольной грани этого элемента действуют напряжения xz (рис 11.7,а, б). Вследствие малости толщины полки двутавра эти напряжения можно считать равномерно распределенными по толщине полки t . С учетом этого можно записать уравнение равновесия и определить zx : Рис. 11.7 К определению касательных напряжений zx ( х d x )dA х dA zx t dx 0 , Aотс Aотс zx 1 t Aотс d x dA. dx (11.14) Во второе уравнение (11.14) подставим выражение для zx xz , получим xz Учитывая, что 1 dM z t J z dx x M z y / J z и с учетом (11.15) ydA . Aотс dM z Q y и S zотс ydA будем иметь: dx Aотс xz Q y S zотс b h t S zотс t ( z )( ) . 2 2 2 J zt (11.16) , Из формул (11.16) видно, что касательные напряжения xz по оси Оz (вдоль полки) изменяются по линейному закону. На рис. 11.6 показаны эпюры касательных напряжений zx . Касательные напряжения образуют в сечении двутавра непрерывный поток, направленный в каждой точке параллельно контуру сечения. 11.3 Расчет прочности в заданном сечении двутавровой балки В заданном сечении находят величины Q и M. В масштабе вычерчивают идеализированный двутавр, представляющий собой совокупность прямоугольных элементов – полок шириной b и толщиной t и стенки высотой (h–2t) и толщиной s (Рис 11.8). Вычисление напряжений. В точках 1,3,4,5,7, взятых через одну четверть высоты балки, и в местах сопряжения стенки с полками (точки 2,6) вычисляют нормальные и касательные напряжения по формулам Q Sz , xy Jz b My x , Jz (10) где y – ордината рассматриваемой точки; b b(y) – ширина сечения; S z – статический момент отсеченной части сечения (для точек 1,7: Sz 0 , для точек 26: Sz Sz 0,5 s y 2 и b = s). Эпюры и строят в масштабе справа от идеализированного двутавра с указанием значений в рассмотренных выше точках. Эпюру строят только в пределах стенки. На эпюрах проставляют знаки нормальных напряжений и указывают направление касательных напряжений (положительных – вниз, отрицательных – вверх). Нахождение главных напряжений и положения главных сечений. В характерных точках 17 находят значения главных напряжений по формулам для плоского напряженного состояния 2 2 max 0 , 5 0 , 25 , 1 max , 2 0, 3 min . min (20) Положение сечения, в котором действует главное напряжение max , задается углом между положительным направлением оси x и внешней нормалью к сечению max arctg max arctg min . (30) По полученным данным справа от эпюр на уровне точек 17 изображают квадратные элементы со сторонами, параллельными координатным осям, с действующими по их граням напряжениями и , а также элементы со сторонами, параллельными главным сечениям, с действующими на них главными напряжениями max и min . При этом положительным значениям max соответствует угол, отложенный от положительного направления оси x по ходу часовой стрелки. Вычисление приведенных напряжений и коэффициента запаса прочности. Для точек 17 по третьей гипотезе прочности вычисляют приведенное напряжение i 1 3 max min , (40) проверяют выполнение условия прочности i R и находят коэффициент запаса прочности k пч R n / i , где R n - нормативное сопротивление. По полученным данным строят эпюры i и k пч . (50) (60) 11.4 Траектории главных напряжений. Траектория главных напряжений max ( min ) –это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения max ( min ) в этой точке. Рис. 11.8 Траектории главных напряжений при изгибе и схема армирования железобетонных балок Рис.11.9 Векторное поле главных напряжений (срединная плоскость 1/2 балки) Рис.11.10 Векторное поле max Расчет прочности, комментарии для РГР. My Jz (1*) Q Sz xy Jz b (2*) x (3*) max 0,5 0, 25 2 2 min max arctg max arctg min 1 max , 2 0, 3 min i 1 3 (4*) (5*) (6*) Касательные напряжения в пределах полок. xz Q y S zотс J zt , b h t S zотс t ( z )( ) . 2 2 2 (7*)