Лекция 13

Лекция 13
Как видно из (238), касательные напряжения τ прямо
пропорциональны статическому моменту Sу(z). С увеличением
координаты z в положительном направлении площадь ∆F(z),
лежащая ниже уровня z, уменьшается и при z =zmах, ∆F(z)=0
(см. рис. 71). С увеличением координаты z в отрицательном
направлении площадь ∆F'(z), лежащая выше уровня z,
уменьшается и при z=z'mах, ∆F'(z) =0. Следовательно,
статический момент Sу(z) имеет наибольшее значение при z=0
и уменьшается до нуля при z→zmах
Таким образом, в крайних нижних и крайних верхних точках
сечения касательные напряжения равны нулю, а в точках на
нейтральной линии имеют наибольшее значение.
1
Рис. 71
2
Поперечная сила Sy(х) и статический момент Sу (z) в
формулу (238) подставляются без учета знака, так как знак
касательных напряжений с точки зрения прочности не
имеет никакого значения (обычно материал одинаково
сопротивляется сдвигу по взаимно противоположным
направлениям).
Рис. 72
3
От наличия касательных напряжений несколько искажается
принятая при чистом изгибе схема деформации балки. Если при
чистом изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими,
поворачивались вокруг своих нейтральных линий (рис. 72, а), то
под действием касательных напряжений, например, у элемента,
заключенного между поперечными и продольными сечениями,
появляется деформация сдвига — перекашиваются углы (см. рис.
72, б). Причем этот перекос углов больше у элементов,
расположенных ближе к нейтральному слою. Поэтому от сдвига
поперечные сечения искривляются, принимая S-образную форму.
Однако эти искривления почти не отражаются на продольной
деформации волокон. Это объясняется тем, что искривления двух
смежных сечений мало отличаются друг от друга, а при Q=const
вообще одинаковы. В связи с этим формулу
M И x 

z
Iy
Для определения нормальных напряжений при чистом изгибе
можно применять и для общего случая изгиба.
4
Рис. 73
5
Для балки прямоугольного поперечного сечения высотой h
и шириной b. согласно рис. 73, a, статический момент
h
1h

S y ( z )  b  z    z  
2
22


b  h2
  z 2 
2 4

Подставляя формулу Журавского (238) значение Sy(z), а
1
также учитывая что для прямоугольного сечения I y  bh3

bh
  z 2 
2 4

12
2

или
bh 3
b
12
6Qx   h 2
2




z
3

b  4

3 Q x   4 z 2 
1  2 

2 bh 
h 
(239)
6
Как видно из выражения (239), касательные напряжения по
высоте прямоугольного сечения изменяются по закону квадратной
параболы. Эпюра—график распределения касательных
напряжений по высоте сечения, изображена на рис. 73, б.
Подставляя в (239) z=0, получим значение наибольшего
касательного напряжения
3 Q x 
(240)
 max 
2 bh
Которое возникает в точках, лежащих на нейтральной линии.
Qx 
В формуле (240) bh=F — площадь сечения, а
  ср
F
среднее значение касательных напряжений в предложении их
равномерного распределения по площади сечения. С учетом этих
значений получим
3
2
 max   ср
(241)
7
Касательные напряжения при изгибе балки
двутаврового сечения
Как указывалось, предположения о том, что касательные
напряжения в поперечном сечении параллельны поперечной
силе Q и не зависят от положения точки по ширине, близки к
действительности, когда ширина сечения мала по сравнению с
высотой. Если сечение балки представляет собой, например,
двутавр (рис. 74), то эти предположения будут справедливы
только для вертикальной стенки, у которой ширина l’—l’
меньше h1. В полках ширина сечения l—l превышает их
высоту t, и картина распределения касательных напряжений
меняется: они не только становятся переменными вдоль линии
l—l, но и изменяют свое направление на перпендикулярное к
силе Q.
Выведем формулу для определения касательных
напряжений в полках двутаврового профиля. Этот вывод
аналогичен выводу формулы (238). С целью определенности
рассмотрим однопролетную балку двутаврового сечения,
нагруженную сосредоточенной силой Р (рис. 75. а).
8
Рис. 74
9
На некотором рaсстояние х от левого конца балки двумя
бесконечно близкими поперечными сечениями т—т и п—п
выделим элемент длиной dx, показанный на рис. 75, б.
Согласно эпюрам Q и Ми (см. рис, 75 а), в сечениях т—т и
п—п этого элемента изгибающие моменты соответственно
будут Ми(х) и Ми(х)+dМи(х) , а поперечные силы—Q(х).
Теперь от рассматриваемого элемента отсечем часть нижней
полки по сечению l—l, проходящему параллельно
вертикальной плоскости симметрии на некотором расстоянии у
от нее (рис. 75, в). В более крупном масштабе этот участок
полки изображен на рис. 75 г. Очевидно, по граням т—l и п—l,
являющимся частями сечений т—т и п—п, действуют
нормальные напряжения
M И x   dM И x 
n 
z
Iy
(242)
M И x 
m 
z
Iy
(243)
10
Эпюры напряжений σт и σn показаны на рис. 75, г. Эти
напряжения создают нормальные усилия ∆Nn; ∆Nm,
которые действуют соответственно по граням т—l и п—l
и согласно выражениям (235), (236) равны
M И x 
N m 
S y y
Iy
M И x   dM И x 
N m 
S y y
Iy
(244)
(245)
11
Рис. 75 а,б
12
Рис. 75 в,г
13
Как видно из выражений (244), (245), усилие ∆Nn больше
чем ∆Nm поэтому, чтобы не нарушилось .равновесие (не
произошло сдвига рассматриваемого элемента) по грани l—l
должно действовать усилие ∆T, направленное в сторону ∆Nm,
как это показано на рис. 75, д. Усилие ∆T может быть только
при наличии касательных напряжений τ', направленных
вдоль оси х. Таким образом, по грани l—
lв
направлении оси балки действуют касательные напряжения
τ', заменяющие собой действие отброшенной части (см. рис.
75, г). В соответствии с законом парности по граням l—т и
l—п будут действовать касательные напряжения τп,
направленные вдоль полки (см. рис. 75, г). При этом
величина τп в точках на расстоянии у от вертикальной
плоскости симметрии будет численно равна τ . Полка
двутавра тонкая, поэтому можно считать касательные
напряжения равномерно распределенными по ее толщине t.
Тогда усилие
T   ' tdx   n tdx
(246)
14
Лекция 14
Для рассмотренного элемента справедливо уравнение
равновесия
N n  N m  T  0
(247)
которое с учетом (244), (245) и(246) будет
M И x   dM И x 
M И x 
S y y 
S y  y    П tdx  0
Iy
Iy
Из этого уравнения находим
П
dM И  x  S y  y 

dx
I yt
15
Но, так как
dM И x 
 Q x 
dx
то формула для определения касательных напряжений по
поперечным сечениям т—т и п—п полки двутавра примет вид
Q x S y  y 
(248)
П 
I yt
Эта формула совпадает с формулой Журавского (238), только в
ней вместо ширины b стоит толщина полки t. Формулу (248)
можно применять для определения касательных напряжений в
полках двутавровой балки по любому поперечному сечению и
на любом расстоянии у от вертикальной плоскости симметрии,
так как при ее выводе сечения т—т и п—п и расстояние у были
взяты произвольно. В формуле (248) Sу(у)— статический
момент площади отсеченной части полки (грани l—п или l—
m)относительно нейтральной линии (оси у).
16
Из рис. 75, в
b
 h t 
S y  y   t   y   
2
 2 2 
следовательно,
П
Q x   b
 h t 

  y   
I yt  2
 2 2 
(249)
(250)
Как видно из (250), касательные напряжения τп в поперечных
сечениях полок являются функцией у в первой степени, т. е.
b
y

изменяются вдоль полок по закону прямой линии. При
2

напряжения τп=0, а при y  2 (место перехода стенки в
полку) , где δ толщина стенки,
 П   max
Qx 
b   h  t 

4I y
(251)
17
Эпюра касательных напряжений вдоль полок показана на
рис. 76, б.
Кроме касательных напряжений τп, перпендикулярных Q,
в поперечных сечениях полок действуют и касательные
напряжения, параллельные Q. Однако эти напряжения
настолько малы по сравнению с первыми, что их можно
во внимание не принимать.
Касательные напряжения τ, действующие в поперечных
сечениях стенки двутавра, можно определить по формуле
Журавского

Q x S y  z 
где
I y
δ—толщина стенки двутавра;
Sу (г) — статический момент относительно нейтральной
линии части площади сечения двутавра, расположенной
ниже или выше уровня z, на котором определяются
напряжения τ
18
рис. 76
19
Согласно рис. 76, а
h h 1h h  h
1h

S y z   b  1    1     1  z   1  z  
2 2 22 2   2 2 2 
b  h2 h1
  
2 4 4
2
   h12 2 
   z 
 2 4




(253)
тогда с учетом этого выражения формула (252) примет вид
2
2

Qx    h 2 h1   h1
2


 z 
b 

2 I y    4
4   4

(254)
20
Для получения наибольшего и наименьшего значений
касательных напряжений в стенке двутавровой балки
нужно в уравнении (254)
принять z = 0 и z = h1/2. Тогда соответственно
 max
2
h1 
Qx   bh 2

 b    

2I y  4
4 
 min
2
Q x   bh 2 bh1 




2I y  4
4 
(255)
(256)
21
Если у двутавра толщина стенки δ мала по сравнению с
шириной полки b, то, как видно из выражений (255), (256),
нет большой разницы между τmax и τmin . В этом случае
можно считать касательные напряжения распределенными
равномерно по площади поперечного сечения стенки. Если
в полках двутавра касательные напряжения, параллельные
усилию Q, не учитывать (в силу малости этих напряжений),
то величину наибольших касательных напряжений в стенке
с достаточной для практики точностью можно получить
путем деления полной поперечной силы Q(x) на площадь
поперечного сечения только одной стенки, т. е.
 max 
Q x  Q x 

FСТ
h1
22
Анализ напряженного состояния
В общем случае при изгибе (см. §§ 46—48) в поперечных
сечениях возникают нормальные и касательные напряжения.
Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по
закону прямой от нуля на нейтральной линии до σmax и σ'max в
точках у поверхности (см. эпюру τ на рис. 68, в, г). В то же
время касательные напряжения для балок прямоугольного
сечения изменяются по закону параболы от τmax на
нейтральной линии до нуля в точках у поверхности (см. эпюру
τ на рис. 73, б). Кроме того, в продольных сечениях,
параллельных нейтральному слою, в соответствии с законом
парности возникают касательные напряжения, направленные
вдоль оси балки.
Для анализа напряженного состояния материала при изгибе
рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения.
Вокруг точек A, В,С, D, взятых в различных местах (рис. 77),
выделим из материала балки элементарные кубы, у которых
две грани совпадают с поперечными сечениями, а другие — с
продольными сечениями, параллельными и
перпендикулярными к нейтральному слою.
23
У элементарных кубов, выделенных вокруг точек А и В,
как видно из эпюр σ и τ (см. рис. 77), по двум граням,
совпадающим с поперечными сечениями, действуют
только нормальные напряжения σmax или σ'mах. Таким
образом, материал в точках A и В находится в линейном
напряженном состоянии (в точке А—растяжения, в точке
В—сжатия). Точки A и B, принадлежащие поверхностным
слоям, взяты произвольно по ширине и длине, а
следовательно, весь материал балки в ее поверхностных
слоях, параллельных нейтральному слою, находится в
линейном напряженном состоянии.
24
рис. 77
25
рис. 77
26
рис. 77
27
Прочность балки оценивают по прочности ее материала в так
называемой опасной точке, т. е. той точке, где материал
находится в наиболее напряженном состоянии. Из анализа
напряженного состояния видно, что такой опасной точкой
будет одна из следующих четырех: а) точка, где нормальные
напряжения растяжения достигают наибольшей величины; б)
точка, где нормальные напряжения сжатия достигают
наибольшей абсолютной величины; в) точка, где касательные
напряжения достигают наибольшей величины; г) точка, где σ
и τ, хотя и не принимают наибольших значений, но в своей
комбинации создают большие по величине расчетные
напряжения.
Очевидно, в случаях а) и б) опасные точки лежат в опасном
сечении и наиболее удалены от его нейтральной линии.
Опасным сечением у призматических балок является
поперечное сечение, через которое передается наибольший
по абсолютной величине изгибающий момент Миmax.
Положение опасного сечения и величину Миmax определяют
по эпюре Ми.
28
Весьма длительная практика расчета прочности балок
показывает, что, как правило, именно эти точки (обе сразу
или одна из них) оказываются опасными даже тогда, когда
балка непрямоугольного поперечного сечения. Поскольку
материал в крайних опасных точках находится;
 max
M И max

   p
W yp

M И max
 'max 
  сж
(258)
(259)
Wyсс
29
Iy
—момент сопротивления сечения для растянутого
волокна (представляет собой отношение момента инерции
к расстоянию z1 от нейтральной линии до наиболее
удаленной точки сечения в растянутой зоне);
W ур 
z1
Iy
—момент сопротивления сечения для сжатого
волокна (представляет собой отношение того же момента
инерции к расстоянию z2 от нейтральной линии до
наиболее удаленной точки сечения в сжатой зоне);
Wусж 
z2
  p ,  сж —допускаемые напряжения соответственно при
растяжении и сжатии.
30
Условия прочности (258), (259) являются основными и
называют их условиями прочности балки по нормальным
напряжениям.
В практике наряду с балками прямоугольного сечения
(рис. 78, а) часто применяют балки, сечения которых
отличаются от прямоугольника, например, тавровое,
двутавровое, крестообразное (рис. 78, б, в, г}. Кроме
этого, некоторые материалы различно сопротивляются
растяжению и сжатию, поэтому при составлении условий
прочности балок по нормальным напряжениям возможны
следующие случаи.
31
Лекция 15
рис. 78
32
1.Проверка прочности. Известны наибольший
изгибающий момент Mиmax, момент сопротивления
поперечного сечения относительно нейтральной линии
Wу и допускаемое напряжение [σ]. Требуется найти
напряжение σ, действующее в опасной точке, и сравнить
его с допускаемым [σ]. При решении такой задачи
действующие напряжения определяют по формуле
M И max

Wy
(260)
и сравнивают с допускаемым [σ]. В этой и последующих
задачах следует считать, что если опасная точка находится
в растянутой зоне, то σ=σmaх, Wу=Wур и [σ]=[σ]р, а если в
сжатой, то σ=|σ'|max ,Wν=Wусж и [σ]=[σ]сж
33
2. Подбор сечения. Известны наибольший изгибающий
момент Миmах и допускаемое напряжение [σ]. Требуется
определить размеры поперечного сечения, принятой
формы. В этом случае, считая напряжение σ в опасной
точке равным допускаемому, т. е.
M И max

 [ ]
Wy
находят требуемый момент сопротивления
Wу 
M И max
 
(261)
и по нему подбирают размеры поперечного сечения.
34
3. Определение допускаемой нагрузки. Известны:
зависимость наибольшего изгибающего момента Mиmах от
заданной нагрузки, момент сопротивления поперечного
сечения относительно нейтральной линии Wу и допускаемое
напряжение [σ]. Требуется определить наибольшую
допускаемую нагрузку. В данном случае, считая напряжение
σ в опасной точке равным допускаемому, т. е.,
находят
M И max

  
Wy
M И max   W y  
(262)
и по нему устанавливают наибольшую допускаемую
нагрузку.
35
Рассмотрим условие прочности для материала балки в точке,
где касательные напряжения достигают наибольшей
величины. Очевидно, наибольшие касательные напряжения
будут в точках нейтральной линии того поперечного
сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютной
величине поперечная сила. Материал в этих точках
находится в плоском напряженном состоянии чистого
сдвига. В данном случае условие прочности будет иметь вид
 max 
Qmax S y max
I yb
  
(263)
36
Рациональная форма сечения балки
Подбор сечения балок из условия прочности по
нормальным напряжениям отличается от подбора сечений
стержней, нагруженных осевыми силами. При растяжении
или сжатии напряжения по сечению распределяются
равномерно, поэтому из условия прочности определяют
потребную площадь, затем по этой площади подбирают о
ходящее сечение, причем его форма может быть любой.
При изгибе нормальные напряжения по сечению
распределяются неравномерно, поэтому из условия
прочности определяют Wу —потребный момент
сопротивления, затем по этому моменту подбирают
подходящее сечение. В данном случае форма сечений
имеет существенной значение.
37
Некоторые формы сечений имеют весьма высокий момент
сопротивления при малых площадях сечений и,
следовательно, малой затрате материала, другие, наоборот,
даже при больших площадях сечений имеют небольшой
момент сопротивления. Очевидно, для балок выгодны
такие формы сечения, у которых большой момент
сопротивления при небольшой площади. Для увеличения
момента сопротивления Wy = Iy zmах при постоянном zmах и
заданной площади необходимо увеличивать момент
инерции Iу относительно нейтральной линии. Согласно
определению момент инерции есть сумма произведений
элементарных площадей на квадраты их расстояний от оси.
Следовательно, чем дальше от оси расположена часть
сечения, тем больше ее вклад в величину момента инерции.
38
На рис. 78, в изображено двутавровое сечение. Разрезав
это сечение по оси у и поменяв местами верхнюю и
нижнюю половины, получим крестообразное сечение (см.
рис. 78, г). Сравнивая их между собой, видим, что в
двутавре основные части сечения—полки максимально
отодвинуты от оси, тогда как в кресте они сдвинуты к
самой оси. В результате получается, что при одной и той
же площади поперечного сечения момент сопротивления
у двутавра в 5—6 раз больше, чем у креста.
39
Таким образом, при изгибе выгодны те формы профиля, у
которых основные части сечения максимально удалены от
нейтральной линии (двутавр, швеллер и им подобные). Этот
вывод можно получить и из следующего рассуждения.
Материал балки, расположенный вблизи нейтрального слоя,
работает при нормальных напряжениях, значительно
меньших по сравнению с напряжениями в поверхностных
слоях, поэтому выгоднее большую часть материала
размещать в более напряженной, т. е. максимально
удаленной от нейтрального слоя части балки.
Следовательно, для балок невыгодны сечения в виде круга,
широкого прямоугольника (вытянутого вдоль нейтральной
линии), креста и, наоборот, выгодны в виде двутавра,
швеллера, тавра, высокого прямоугольника.
40
Из сказанного следует, что подбор сечения при изгибе
необходимо начать с выбора рациональной формы
сечения. Для балок широко применяются прокатные
профили, изготовляемые по утвержденному сортаменту. В
этот сортамент входят: двутавровое, тавровое, уголковое,
швеллерное и некоторые другие сечения, имеющие
различные размеры (или номера). Сочетая эти профили с
листовой сталью путем склепки или сварки, можно
составлять сколь угодно мощные сечения с достаточно
большими моментами сопротивления. При подборе
стальных балок, прокатного профиля их размеры (или
номера) определяют по таблицам сортамента в
зависимости от потребного момента сопротивления. При
этом, если в таблице нет профиля с потребным моментом
сопротивления, то выбирают с ближайшим большим.
41
Размеры поперечных сечений сложной формы (составных
сечений) обычно определяют путем подбора . Для этого в
первом приближении ориентировочно назначают размеры
сечения и подсчитывают момент сопротивления. Если этот
момент сопротивления оказывается меньше требуемого, то
отдельные размеры сечения увеличивают, а если больше
требуемого, то уменьшают. Так до тех пор, пока момент
сопротивления выбранного сечения не будет примерно
равным требуемому по условию прочности
42
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Виды напряженного состояния
Отмечалось, что величина напряжений зависит от направления
сечения, проходящего через рассматриваемую точку элемента
конструкции. Для определения наибольших напряжений в
заданной точке тела, (например, с целью оценки прочности) и
положения сечений, по которым они действуют, необходимо
знать зависимости, связывающие напряжения с направлением
сечений. Такие зависимости можно получить в результате
анализа напряженного состояния в соответствующих точках
тела.
43
Для получения общих законов, одинаково приемлемых для
различных точек различных элементов конструкции, будем
рассматривать анализ напряженного состояния в некоторой
точке тела, не связанного с какой-либо конкретной
конструкцией. Прежде чем приступить к анализу,
рассмотрим возможные виды напряженных состояний в
точке
Вокруг любой точки тела, как бы оно ни было нагружено,
всегда можно выделить элементарный куб, чтобы по его
граням не действовали касательные напряжения. Грани
элементарного куба, по которым не действуют касательные
напряжения, называются главными площадками, а
нормальные напряжения, действующие по ним — главными
напряжениями.
44
Элементарный куб, грани которого представляют собой
главные площадки, условимся называть главным кубом.
(рис. 26, а). При выделении элементарного куба
используется допущение о сплошности, которое позволяет
считать, что весь объем тела сплошь заполнен веществом.
Главные напряжения будем обозначать σ1,σ2,σ3. При этом
индексы расставляются так, чтобы соблюдались
алгебраические неравенства
1   2   3
45
Лекция 16
Анализ линейного напряженного состояния
Пусть материал в некоторой точке тела находится в
линейном напряженном состоянии. Тогда по двум граням
главного куба, выделенного вокруг этой точки, будут
действовать главные напряжения, например σ1 (σ2=0, σ3=0)
На рис. 27, а изображена проекция главного куба с
главными напряжениями σ1. Определим напряжения по
какой-либо наклонной площадке а—а, образующей
некоторый угол а с главной, по которой действуют главные
напряжения σ1 (см. рис. 27, а). Угол α условимся считать
положительным, когда положение наклонной площадки
получается путем поворота главной площадки с
напряжением σ1 против часовой стрелки.
46
Используя метод сечений, для нижней части куба (см. рис.
27, б) получим следующее уравнение статистики
pa dFa   1dF  0
где
dF - площадь грани куба
dF
dFa 
- площадь наклонной площадки а - а
cos 
47
рис. 27 а,б
48
рис. 27 в,г
49
Из уравнения статики находим напряжение
 dF
pa  1
  1 cos 
dFa
Напряжение рα ,возникающее в площадке а—а, можно
разложить на нормальное σ и касательное τα. Согласно
рис. 27, б
 a  p a cos    1 cos 2 
(66)
1
2
 a  p a sin    1 sin 2
(67)
Если вместо растяжения (главного напряжения σ1) будет
сжатие (главное напряжение σ3), то
 a   3 cos 
2
(68)
1
 a   3 sin 2
2
(69)
50
Как видно из выражении (66) и (68), знак нормальных
напряжении σα не зависит от знака угла α. Их знак зависит от
знака σ1 или σ3. Напряжения σα всегда будут положительны,
если действуют главные напряжения σ1 и отрицательны,
если действуют главные напряжения σ3. Знак касательных
напряжений τα зависит от знака угла α. Если угол α
положительный и меньше 90 °, то, при главных напряжениях
σ1, касательные напряжения τα положительны и их
направление будет совпадать с направлением внешней
нормали, повернутой на 90° по часовой стрелке (см. рис. 27,
б). Направления отрицательных напряжений σα и τα
показаны на рис. 27, б.
Формулы (66), (67) или (68), (69) позволяют определить
нормальные и касательные напряжения при линейном
напряженном состоянии в сечении, проведенном под любым
углом α к главной площадке с заданным главным
напряжением σ1 или σ3.
51
Таким образом, наибольшие нормальные напряжения —
это главные напряжения σ1 или σ3, а наибольшие
касательные напряжения равны половине главного и
действуют по площадкам, образующим углы ±45° с
главными площадками.
Нормальные и касательные напряжения, возникающие в
сечении b—b, проведенном под углом р = α+90° к главной
площадке с напряжением σ1 (перпендикулярно к а—а, см.
рис. 27, г), можно определить по формулам (66) и (67),
заменяя в них угол α на β, т. е.
    1 cos 2    1 cos 2   90o    1 sin 2 
 
1
2
sin 2 
1
2


sin 2  180  
o
1
2
sin 2
(70)
(71)
52
Складывая σα и τα, получим
 a     1 cos2   1 sin 2   1
(72)
т. е. сумма нормальных напряжений, действующих по
двум взаимно перпендикулярным площадкам, не зависит
от наклона (угла α) этих площадок, она постоянна и равна
действующему главному напряжению.
53
Из сравнения выражений (67) и (71) видим, что
 a   
(73)
т. е. касательные напряжения, действующие по двум взаимно
перпендикулярным площадкам, равны по величине и обратны
по знаку. Это важное свойство касательных напряжений
называется законом парности касательных напряжений.
Рассмотрим напряженное состояние, которое возникает при
растяжении (сжатии) стержня. Для этого вокруг некоторой
точки, находящейся внутри стержня, мысленно выделим
элементарный куб так, чтобы его грани совпадали с
поперечными и продольными сечениями (рис. 28, а). По
горизонтальным граням куба, совпадающим с поперечными
сечениями стержня, не действуют касательные напряжения,
следовательно, эти грани являются главными, а нормальные
напряжения σ=N:F — главными напряжениями. На
основании закона парности касательных напряжений можно
сделать вывод, что и по вертикальным граням не будет
касательных напряжений, т. е. эти грани тоже главные.
54
рис. 28
55
Стержень при растяжении (сжатии) в поперечном
направлении не нагружен, поэтому по вертикальным граням
куба не будет и нормальных напряжений. Таким образом,
рассматриваемый элементарный куб является главным кубом
с главным напряжением σ1,3=σ=N:F, т. е. в данной точке тела
имеет место линейное напряженное состояние. Эта точка
была взята произвольно, а следовательно, и во всех других
точках имеет место линейное напряженное состояние. Отсюда
можно сделать вывод о том, что материал стержня в целом
при растяжении (сжатии) находится в линейном напряженном
состоянии.
При растяжении (сжатии) главные напряжения в любой точке
материала стержня одинаковы, тогда и напряжения σα и τα во
всех точках какого-либо наклонного сечения стержня также
будут одинаковыми. Такое линейное напряженное состояние
называется линейным однородным. В этом случае сам
стержень является как бы главным кубом и для него
справедливы все выводы, полученные для главного куба, а
именно:
56
1) нормальные и касательные напряжения по сечению
стержня, проведенному под углом α к поперечному (рис.
28, б),
N
2
 a   cos   cos 
F
2
(72)

N
 a  sin 2 
sin 2
2
2F
(72)
57
2) наибольшие нормальные напряжения действуют по
поперечным сечениям и равны
N
 a max   
(76)
F
3) наибольшие касательные напряжения действуют по
сечениям, которые образуют углы ±45°с поперечными, и
равны
 a max
1
N
  
2
2F
(77)
58
Как видно из рис. 28, б, напряженное состояние весьма
тонкого слоя, выделенного двумя параллельными
наклонными сечениями, характеризуется действием
нормальных напряжений σα, которые растягивают этот слой,
и действием касательных напряжений τα, которые смещают
одно сечение относительно другого на некоторую величину,
называемую абсолютным сдвигом (деформация сдвига будет
рассмотрена особо). Так как касательные напряжения при
растяжении (сжатии) возникают только в наклонных
сечениях, то и деформация сдвига будет только по этим
сечениям.
59
Если материал стержня хорошо сопротивляется растяжению
(сжатию) и плохо сдвигу, то его разрушение может
произойти от действия наибольших касательных напряжений
по сечениям, расположенным под углом 45° к оси стержня.
Действием этих же напряжений объясняется появление
линий на поверхности полированного плоского образца в
момент наступления текучести. Эти линии сдвига (линии
Людерса Чернова) расположены примерно под углом 45° к
оси образца.
60