Лекция 9 §11 Условие прочности балки по нормальным напряжениям Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при изгибе в опасном сечении, то есть в сечении, где М имеет наибольшее значение, не превосходили соответствующих допускаемых напряжений. zmax max z Пусть M = Mmax, Z = Zmax ; Итак, условие прочности при изгибе: (11.1) §12 Определение касательных напряжений в балках при изгибе. Условие прочности балки по касательным напряжениям В общем случае изгиба (при поперечном изгибе) в поперечных сечениях балки возникают изгибающие моменты и поперечные силы. Наличие изгибающего момента связано с возникновением в поперечных сечениях балки нормальных напряжений, для определения которых можно пользоваться формулой (28.6). Наличие поперечной силы связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечениях балки, а по закону парности касательных напряжений – и в ее продольных сечениях. Для определения касательных напряжений рассмотрим в начале балку прямоугольного сечения. Высота прямоугольного сечения h больше ширины сечения b. Для таких балок при вычислении касательных напряжений Д. И. Журавским была принята следующие гипотезы: 1) касательные напряжения в поперечных сечениях действуют параллельно поперечной силе Q; 2) касательные напряжения постоянны по ширине балки. M I II M+dM III y 0 h z III x x dx l z b z Выделим из балки элемент длиной dx и шириной, равной ширине b балки сечениями I, II и III. ' I II '' N1 N2 z T I II dx x Пусть в сечении I-I действует изгибающий момент М, а в сечении II M+dM. Q = const. Приложим к этому параллепипеду действующие на него нормальные и касательные напряжения. Пусть N1 – равнодействующая нормальных напряжений σ'; N2 – равнодействующая нормальных напряжений σ''; Т – равнодействующая касательных напряжений τ. T = τ · bdx. Составим уравнения статического равновесия: ΣХ= N2 – N1 – T = 0; статический момент отсеченной площади поперечного сечения ω относительно нейтральной оси y; ω – часть площади поперечного сечения, заключенная между краем сечения и уровнем исследуемых точек. , согласно диф. зависимости – формула Журавского (30.1) Поясним значения величин, входящих в формулу (30.1): b – ширина сечения на уровне исследуемых точек; b z z1 , где z1 – координата у.т. площади ω. y z Формула Журавского дает точный результат для балок прямоугольного поперечного сечения и для балок, элементы, которых состоят из прямоугольников и параллельны силе Q. 1) h » b; прямоугольное сечение: h/2 max h/2 z y b/2 b/2 z Тогда 2) поперечное сечение в форме двутавра: t F1 h z z2 z1 F2 d max b b » d, поэтому » . Следует подчеркнуть, что по формулам Журавского определяются касательные напряжения, параллельные поперечной силе, то есть в данном случае вертикальные. Анализ точных решений теории упругости показывает, что в большинстве случаев горизонтальные составляющие касательных напряжений невелики. Максимальное касательное напряжение имеет место в точках нейтральной оси и определяется по формуле Журавского, при этом следует брать статический момент заштрихованной площади (полусечения). В таблицах сортамента приведены значения статического момента площади полусечения для двутавров и швеллеров. Условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде: ср §13 Проверка прочности балки по главным напряжениям Установлено, что в поперечных сечениях балки действуют нормальные и касательные напряжения, а в продольных сечениях – только касательные напряжения. Рассмотрим часть балки в пределах которой расположены сечения в которых действуют максимальный изгибающий момент и максимальная поперечная сила. Mmax M Q III z I max Qmax I' max II max x Выделим из балки 3 элемента, прочность которых необходимо проверить. Для проверки прочности элементов I и I’ воспользуемся условием прочности: Нормальное напряжение для II элемента равно нулю. Поэтому можно воспользоваться условием прочности по наибольшим касательным напряжениям: Однако проверив прочность этих элементов нет никакой уверенности в том, что балка в целом будет удовлетворять условию прочности. Поэтому необходимо уметь проверять прочность балки в любой точке. В любой точке балки нормальные и касательные напряжения можно определить по формулам: – нормальное напряжение; – касательное напряжение. По граням элемента III действует одновременно касательное и нормальное напряжения. Для проверки прочности такого элемента воспользуемся теориями пластичности. Определим главные напряжения по формуле (9.4): В нашем случае σx = σ, σy = 0, τxy = τ Тогда окончательно формула для определения напряжений примет вид: По теории наибольших касательных напряжений: σэкв = σ1 – σ3 ≤ [σ] По энергетической теории: В каких же точках балки следует проверять прочность по главным напряжениям? Необходимо выбирать такие точки, в которых одновременно и σ, и τ достигают больших значений. Это имеет место при удовлетворении следующих 2-х условий: 1) имеют место Mmax и Qmax в одном и том же сечении; 2) ширина сечения резко меняется вблизи краев.