Лекция №23 СМА 2015x

Лекция №23
Прочность при напряжениях, циклически изменяющихся во времени.
В инженерной практике элементы конструкции могут подвергаться многократному
воздействию усилий, изменяющих величину или величину и направление (знак). Характер
изменения напряжений во времени может быть произвольный (неустановившийся - мостовая
балка) и повторяющаяся (периодический, установившийся шток). Сопротивление материала
действию многократно – повторяющимися переменным нагрузкам существенно отличается от
сопротивления статическим воздействиям.
Современные представления о прочности материалов при напряжениях, изменяющихся
по времени
Установлено, что под действием повторно-переменных нагрузок, материалы
разрушаются при напряжениях не только меньших предела прочности, но и предела текучести
и даже предела пропорциональности, получаемых при испытании образца однократному
нагружению.
При усталостном разрушении структура вещества не меняется. Природа этого явления
(до конца не изученного) обусловлена особенностями молекулярного и кристаллического
строения веществ и по-видимому, кроется в неоднородном строении материалов. В металлах
кристаллиты (зерна, представляющие совокупность кристаллов) обладают различной
прочностью в различных направлениях. Эта неоднородность приводит к возникновению
перенапряжений в отдельных зернах. Деформация материала, вызванная искажением
кристаллической решетки и изменением межатомных расстояний при небольших уровнях
напряжений и последующей разгрузки, исчезает. Если напряжения увеличить, то в кристаллах
по некоторым плоскостям (скольжения) происходят необратимые сдвиги и образуются
пластические деформации. Теперь повторная разгрузка и нагрузка вызывает наклеп и
повышает хрупкость материала. При большом числе повторений способность материала к
упрочнению исчерпывается, и появляются зоны, где атомные связи нарушаются, образуя
микротрещину на одной из плоскостей скольжения кристалла. Возникшая трещина сама
становится сильным концентратором напряжения и является очагом развития усталостной
трещины, ослабляющей сечение и приводящей к внезапному разрушению (Долому). В
сечении, где происходит разрушение, различают две зоны: с гладкой поверхностью (зона
постепенного развития усталостной трещины) и с шероховатой поверхностью (зона долома).
Существенно влияют возникновение и развитие усталостных трещин дефекты
внутреннего строения материала (раковины, шлаковые включения и т.п.) и дефекты обработки
поверхности в детали (царапины, следы от резца или шлифовального камня и т.п.). Поэтому
образование трещин часто наблюдается в зернах, лежащих ближе к поверхности элемента, не
говоря уже о тех случаях, когда наружные слои при повторно – переменных нагрузках
испытывают наибольшие напряжения (при изгибе и кручении). Развитие усталостной
трещины ускоряется при наличии растягивающих напряжений, как у пластичных, так и в
особенности, у малопластичных и хрупких материалов типа чугуна.
Т.о. механизм образования трещины при повторно – переменных нагрузках весьма
сложен и не полностью изучен. Несомненно, что усталостные процессы носят резко
выраженный местный характер, и решающее влияние на эти процессы до образования первой
трещины включительно имеют касательные напряжения, вызывающие пластические сдвиги и
разрушения.
В настоящее время под усталостью материала подразумевают явление разрушения в
результате постепенного накопления повреждений, приводящих к возникновению трещин при
многократно повторном нагружении.
Свойства материала противостоять усталости называется сопротивлением
усталости или выносливостью.
На рис.23.1 показан излом рельса, происшедшего в результате развития трещины,
образовавшейся внутри сечения в зоне местного дефекта. На рис.23.2 представлено
усталостное разрушение вагонной оси, где отчетливо видна более гладкая зона постепенного
развития трещины.
Рис.23.3 иллюстрирует разрушение горячекатаной арматуры периодического профиля;
На рис. 32.4 показано усталостное разрушение раскоса стального пролетного строения
железнодорожного моста. Усталостная трещина начала развиваться в зоне концентрации
напряжений у заклепочного отверстия.
Характеристики, циклически изменяющихся во времени нагрузок
При установившемся (регулярном) режиме изменение напряжений во времени носит
повторяющийся (периодический) характер. Через определенный промежуток (период)
времени Т происходит точное повторение напряжений. Совокупность последовательных
значений напряжений за один период их изменения называется циклом.
Усталостная прочность материалов при переменных напряжениях зависит от вида
напряженного состояния и от характера изменения напряжений во времени.
Рассмотрим случай одноосного напряженного состояния.
Будем называть циклом напряжений однократную их смену, соответствующую
полному периоду их изменения.
Определим напряжение в точке к , расположенной на контуре вала, вращающегося с
равномерной угловой скоростью  (рис.23.5)
Mz
M
M
 y  z  r sin   z  sin    a sin( t) ,
Jz
Jz
Wz
M
 x   a sin( t) , где  a  z -амплитуда цикла.
Wz
 x
Рис.23.5 Поперечное сечение круглого вала и точка к на его контуре
На рис.23.6 показан график изменения нормальных напряжений в контурной точке
поперечного сечения, расположенного вблизи защемления
Рис.23.6 График изменения нормальных напряжений в контурной точке
к
В общем случае в цикле напряжения могут изменяться по сложному закону, но
решающее значение на сопротивление усталости играет не форма этого закона, а значение
максимального  max  max  и минимального  min  min  напряжений цикла и их отношения.
Поэтому обычно предполагается, что изменение напряжений    во времени t
происходит по закону, близкому к синусоиде (рис.23.7)
   m   a  sin   t
где  m и  a - среднее напряжение и амплитуда напряжений;  - круговая частота.
Цикл переменных напряжений характеризуется:

Максимальным  max и минимальным  min по абсолютному значению напряжениями
цикла;
   min

Средним напряжением цикла  m  max
;
2
   min

Амплитудой напряжений цикла  a  max
;
2


Коэффициентом асимметрии цикла напряжений R  min ;
 max
Циклы, имеющие одинаковые значения R , называются подобными. В случае
переменных касательных напряжений, остаются в силе все приведенные термины и
соотношения с заменой  на  .
Если  m  0 , то цикл называется симметричным. При этом  max   min   1 ,  a   1 ,
R  1 .
Если  m  0 , то цикл называется асимметричным и может быть:

знакопостоянным - при 0 R 1;

знакопеременным – при 1 R 0 ;



нулевым – при R  0 и  max   ,  min  0 ,  m  ,  a 
или  max  0 ,  min   ,
2
2

m  a   .
2
Постоянное статическое напряжение можно рассматривать как частный случай переменного
с  max   ,  min   ,  m   ,  a  0 , R  1.
Кривые усталости, предел выносливости.
Основной характеристикой выносливости материала является получаемая
экспериментальным путем кривая усталости. Ординаты кривой усталости – значения
максимальных напряжений цикла, при которых происходит разрушение детали, а абсцисса –
число циклов N , которое выдержала деталь до разрушения (рис.23.8)
На рис. 23.9 приведена схема простейшей машины, предназначенной для испытания на
усталость лабораторных образцов при консольном изгибе с вращением.
Счетчик числа циклов оборотов шпинделя позволяет определить число циклов до
разрушения образца (при разрушении образца машина автоматически отключается).
Первую машину для усталостных испытаний в середине XIX в. построил немецкий
ученый Велер, который занимался исследованием усталостной прочности осе подвижного
состава железных дорог.
Для получения характеристик сопротивления усталости необходимо провести
испытания не менее десяти одинаковых образцов. При этом каждый образец испытывают при
одной амплитуде напряжений до разрушения (или до базового числа циклов). Под базовым
числом циклов N б понимается предварительно задаваемое число циклов напряжений, до
которого испытывается образец.
Первый образец испытывается при амплитуде напряжений  a  (0,65...0,75)   в .
Постепенное снижение напряжений приводит к увеличению долговечности образца, под
которым понимается число циклов до разрушения.
Для некоторых материалов, например, углеродистых сталей, кривая усталости имеет
горизонтальный участок, которому отвечает напряжение  р
Напряжение
 р , называется пределом выносливости материала и представляет
собой характеристику его усталостной прочности.
Чаще всего испытания проводятся при симметричном цикле напряжений. В этом случае
предел выносливости обозначается  1 .
Исследование соотношений между пределом выносливости и другими
характеристиками показало, что для сталей
 1  (0, 4...0,5)   в ,
для цветных металлов
 a  (0, 25...0,5)   в ,
где  в - предел прочности материала.
Динамическая нагрузка
Нагрузка, прикладываемая с большой скоростью и вызывающая ускорения частиц тела
или соприкасающихся с телом элементов, называется динамической. Например:

силы инерции в деталях машин, движущихся возвратно- поступательно с переменной
скоростью;

нагрузки чрезвычайно малой продолжительностью;

периодически меняющиеся во времени со значительными скоростями напряжения,
возникающие во вращающихся осях машин, находящихся под действием постоянной
поперечной нагрузки.
Динамические нагружения, по сравнению со статическими существенно изменяют процесс
деформирования и поведение материала. Поэтому изучение действия динамических нагрузок
ведут в направлении: а) нахождения величины динамических деформаций и напряжений; б)
исследования влияния этих напряжений на механические свойства материалов.
Общий метод расчета на динамические воздействия основан на принципе Даламбера:

Всякое движущиеся тело может рассматриваться как находящиеся в состоянии
мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу
инерции, равную произведению массы тела на ускорение центра тяжести, которая
направлена противоположно ускорению.
Тогда, если известны силы инерции, то можно применить метод сечений и для определения
внутренних усилий использовать уравнения равновесия. В тех случаях, когда определение
сил инерции затруднено (например, при ударе), для нахождения динамических напряжений
и деформаций используется закон сохранения энергии.
Равноускоренное движение тела. Динамический
коэффициент.
Рассмотрим равноускоренный подъем груза Q , подвешенный
на тросе. К телу кроме его веса Q по принципу Даламбера
Q
должно быть приложена сила инерции Pин.  m  a   a ,
g
направленная в сторону, противоположную ускорению a (ускорение равнопеременного
движения). Применяя метод сечений, из условия равновесия определим значения усилия N д
возникающего в тросе при подъёме
 a
Q
 X  0 Nд  Q  Pин. 0 или Nд  Q  Pин.  Q  g  a  Q  1  g 
Выражение в скобках характеризует отличие усилия в торосе при равноускоренном подъёме
груза Q от усилия, возникающего при его статическом приложении. Следовательно
Nд  Nст  kд . Здесь Nст  Q - усилие в тросе при статическом нагружении.
Усилие от динамической нагрузки равно усилию от статической нагрузки, умноженному на
динамический коэффициент. Для определения численного значения усилия в тросе
необходимо найти ускорение a . Воспользуемся уравнением равнопеременного движения при
нулевой начальной скорости
a t2
2 S
S
 a  2 , где S - расстояние, пройденное за время t .
2
t
Влияние центробежных сил
При вращении
тела с постоянной
угловой
скоростью
,
угловое ускорение
 равно нулю.
Поэтому
тангенциальное
ускорение
t    r  0 ,
а
радиальное
(центростремитель
ное) направленное
к центру вращения
ускорение r   2  r , где r - радиус – вектор точки. Следовательно, к любому элементарному
объему вращающегося тела с массой dm приложена сила инерции (центробежная сила),
направленная в сторону, противоположную r , и равная dm  r  dm   2  r . В результате чего
в теле возникают напряжения. В случае вращения тонкого кольца вокруг оси О с   const
радиус R срединной линии которого значительно больше высоты сечения, что делает
возможным пренебречь сопротивлением кольца изгибу.
ds  R  d
На
элемент
кольца
длиной
действует
центробежная
сила
F  ds   2
F  2 2
dp  dm   2  R 
  R 
   R  d .
g
g
Здесь A  h   - площадь поперечного сечения кольца;  - толщина кольца  h  ;  м
-ускорение свободного падения.
сек 2
В кольце возникают растягивающие усилия N. Разрежем кольцо по диаметру и
спроектируем все силы на ось y :
объемный вес материала; g  9.81
F     2  R2
2  N   dp  sin   0 или 2  N 
g
ABC


0
sin   d  0 . Откуда
F     2  R2
F     2  R2
F     2  R2
.
 cos  |0  0 или 2  N  2 
0 и N 
g
g
g
Полагая напряжения распределенными равномерно по сечению, будем иметь
N    2  R 2   2
(1)
t  

A
g
g
Т.о., напряжения в кольце зависят от объемного веса материала и линейной скорости
    R . Полученное приближенное решение в качестве первого приближения может быть
использовано при расчете обода маховика и других аналогичных элементов, где допустимо
пренебречь влиянием спиц.
2 N 
Определение перемещений и напряжений при ударе
Удар – взаимодействие движущихся тел в результате их соприкосновения, связанное с
резким изменением скоростей точек этих тел за весьма малый промежуток времени.

Импульс
силы
удара
S   p  t dt
равен
изменению
0
количества движения и может быть найден достаточно точно, а
вот силу удара Pmax и его продолжительность до сих пор
определить не удается. Это объясняется тем, что за
исключительно короткий промежуток времени, в который
совершается удар, трудно произвести измерения, связанные с
определением силы удара. Поэтому производят условный расчет
на удар, по которому определяют внутренние силы и перемещения, возникающие после удара.
При определенных предположениях можно найти силу, статически прикладываемую в точке
удара, чтобы вызвать наибольшое динамическое перемещение системы. Такую силу обычно
называют динамической PД .
Продольный удар
При забивки свай тяжелый груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и
погружает её в грунт; груз останавливается мгновенно, вызывая удар. За время удара между
обеими ударяющими деталями возникают большие взаимные давления. Скорость
ударяющегося тела за очень короткий промежуток времени изменяется и в данном случае
падает до нуля. На него от ударяемого тела передается реакция PД  m  a , направленная в
сторону, обратную его давлению.
По закону равенства действия и противодействия на ударяемую часть конструкции
передается такая же сила, но обратно направленная.
Эти силы вызывают напряжения  в обеих телах.
Пусть, груз с весом Q без начальной скорости,
падает на неподвижный стержень с высоты h (рис.а)).
Если пренебречь сопротивлением движению, то
скорость тела в момент удара   2  g  h . Эта
скорость за время удара  t y
 0.01  0.001 сек 
упадет
до нуля. Получающиеся большие ускорения
(замедления) приводят к возникновению значительных
инерционных сил, которые и определяют действие
удара. Т.к. t у неизвестно, то установить закон изменения скорости и силу инерции
теоретически весьма затруднительно. Поэтому для определения перемещений и напряжений,
вызванных действием ударных нагрузок, пользуются энергетическим методом, основанным на
законе сохранения энергии и следующих допущениях:

Напряжения в ударном элементе не превосходят предела пропорциональности, и закон
Гука сохраняет свою силу;

Тела после удара не отделяются друг от друга;

Ударяющее тело является абсолютно жестким и не деформируется;

Потерей части энергии, переходящей в теплоту и в энергию колебательного движения
соударяющихся тел пренебрегаем;

Масса ударяемого элемента мала по сравнению с массой ударяющего тела и в расчет не
принимается.
Кинетическая энергия падающего груза, численно равна работе, совершаемой им при
падении и деформации стержня: W  Q  h l Д  , где l Д - перемещение в точке удара,
равное укорочению стержня. Потенциальная энергия деформации стержня при сжатии
l  E  A
1
1
Q l
Q2  l
. Здесь в соответствии с законом Гука
U  Q  l Д  Q 

 Д
2
2
E  A 2 E  A
2l
l  E  A
Q l
l Д 
, откуда Q  Д
. Пользуясь законом сохранения энергии и пренебрегая
EA
l
потерями энергии, вызванными местными пластическими деформациями при соударении тел
l Д2  E  A
Q   h  l Д  
можно
записать
или
.
Откуда
W U
2l
l Д2  E  A  2  Q  l  l Д  Q  h  2  l  0 . Разделив все члены полученного уравнения на E  A и
Q l
 lст -укорочение стержня от статически приложенной нагрузки Q
EA
будем иметь квадратное уравнение l Д2  2  lcm  l Д  2  lcm  0 , решив которое найдем
учитывая, что
2
l Д  lcm  lcm
 2  h  lcm . Оставляя знак плюс (решение со знаком минус перед
радикалом противоречит физическому смыслу задачи), получим окончательно

2h 
l Д  lcm  1  1 
   lcm  k Д
(2)

l
cm



2h 
где k Д  1  1 
 - динамический коэффициент.

l
cm


Разделив обе части (2) на длину стержня l и умножив на модуль упругости Е, перейдем
 l

на основании закона Гука   E    E    от деформаций к напряжениям
l



2h 
 Д   cm  1  1 
    cm  k Д
(3).

l
cm 

Видим, что динамические напряжения  Д и перемещения l Д зависят от статической
деформации
меньше  Д
пружинные)
 Д  max     ,
lcm ударяемого тела. Чем больше lcm (при прочих равных условиях), тем
и l Д . Поэтому для смягчения удара применяют прокладки (резиновые,
дающие больше деформации. При ударе условие прочности имеет вид
но кроме этого при сжатии стержня во избежание продольного изгиба
 Д  max    кр , где  кр -критическое напряжение.
Рассмотрим случай:
c - жесткость пружины (сила, вызывающие
смещение на единицу длины).
Q
ст 
(1)
c
После удара, вследствие полученной начальной
скорости V0 пружина сожмется на величину
Д 
QД
c
(2), или c 
QД
Д
V  2 g h .
(3)
После соприкосновения тела как бы слипаются и продолжают совместное движение со
скоростью V1 , сжимая пружину.
По теореме об изменения количества движения получим
 Q 
 Q  Q0 
Q
(4), откуда V1  
(6)
V0  
 V0
  V1
g
 g 
 Q  Q0 
Пружина продолжает сжиматься, а скорости тел уменьшается. Сила сжатия пружины
достигает max  PД  Q0  при V1  0 . Воспользуемся теоремой об изменений кинетической
2
0
энергий
(6)
T2  T1  A
T2 - кинетическая энергия в момент наибольшего сжатия пружины T2  0 ;
T1 - энергия после удара в начальный момент движения;
A - работа всех сил на пути  Д .
 Q  Q0  V12  Q  Q0 
Q 2 V02
Q2
2
T1  




V

0



2
2  g   Q  Q0 
 g  2  2  g   Q  Q0 
(7)
Сила тяжести на пути  Д совершает работу A   Q  Q0   Д  Aпр .
Со стороны пружины на тела действует переменная сила.
 Q 

Aпр   Q0   Д  Д Д 
2 

 Q

A   Q  Q0    Д   Q0   Д  Д Д
2

(7) и (8) подставим в (6)
с   Д2
Q2  2  g  h

 Q  Д 
2  g   Q  Q0 
2

ст  c  h
 Q0 
1  Q 


 c  ст   Д 
с   Д2
2
2
 Д  ст  ст
 2h
,
с  Д

  Q  Д 
2

2
(9)
 Д2  2  ст   Д 
ст  ст
 Q0 
1  Q   ст


(8)
2  h  ст
 0,
 Q0 
1  Q 




2h
 ст  1  1 

 Q0 

 1  Q   ст





   k
ст
Д



kД  1 1
Если
2h
ст
тело
kД  1 1

1
1
, где  
.
Q0
 Q0 
1

1  Q 
Q


падает
2h
ст
на
невесомую,
т.е. Q0  0 ,
то
.
Аналогичное решение можно получать и для горизонтального
удара
 Q  Q0  2 Q V 2  Q0  c  ст V 2  Q0 
с
T1  
 1   
 1   ,
 V 
2 g 
Q
2 g
Q
 2 g 

другой стороны A 
с  ст  V 2
2 g
 Q 
 1  0  
Q

 Д  PД
2
2
Д  c
2

 Д2  c
2
, тогда
.
ст V 2  ст
V 2  Q0 
V2
Д 
 ст
 1 

  ст
g  ст
g  ст 
Q
g  ст
Поперечный удар
Аналогичные формулы можно получить и
для случая поперечного (изгибающего) удара.
Только в этом случае вместо
lcm следует
принимать статический изгиб балки cm - в месте
удара, а вместо l Д динамический прогиб  Д .
Частный случай: Если h=0, т.е. имеет место
внезапное приложение нагрузки, то из (2) и (3)
получим деформации и напряжения, вдвое больше,
чем при статическом действии: l Д  2  lcm ,
 Д  2   cm .
Когда масса ударяемой конструкции не мала по сравнению с массой ударяющего тела,
то им пренебречь нельзя. В этом случае динамический коэффициент определяется по формуле




2h


kД  1 1
(4)

 k  Qk  
 cm 1 


Q  


где  cm -статическая деформация ( lcm , cm ) в точке падения груза;
Qk -полный вес ударяемого тела; k -коэффициент приведения равный, 1 при растягивающем
3
(сжимающем) ударе и 17
при изгибающем ударе в середине пролета простой балки.
35
Учет массы ударяемого элемента приводит к уменьшению величины динамического

2h 
коэффициента, т.е. к снижению эффекта удара ( k Д по (4) меньше k Д  1  1 
 ).

cm


Для определения кинетической энергии
системы, предположим, что скорость Vx элемента
балки, отстоящего от левой опоры на расстоянии x
пропорциональна перемещению этого сечения от
статической нагрузки, приложенной в виде силы Р в
точке удара. Это условие пропорциональности можно
Vx

 x .
выразить
Здесь
Vmax и max
Vmax max
соответственно скорость и прогиб в середине пролета.
Приняв, что точка удара расположена в
середине балки, будем иметь следующее уравнение прогибов:
 x
P  l3  x
x3 
x3 
x 
3

4



3

4

 max 

48  E  J z  l
l3 
l3 
 l
Следовательно
 x
l
x3 
Vx  Vmax   3  4 3  , 0  x  .
2
l 
 l
Кинетическая энергия системы будет определяться равенством
l
2
l
2
V2
F    dx Vx2
1 F  2  x
x3 
T   x dm  

 2  
 Vmax   3  4 3  dx 
2
g
2
2 g
l 
 l
0
0
0
l
l
F   2 2  x2
x4
x6 
17 Q V 2

Vmax    9 2  24 4  16 6   dx   0 max
g
l
l
l 
35 2  g
0 
Найдем теперь кинетическую энергию для балки, у которой посредине пролета
прикреплена приведенная масса. Считая, что скорость движения этой массы будет равна
величине Vmax , получим
2
M пр Vmax
2
k  Q0 Vmax
.
T


2
g
2
Две системы можно считать эквивалентными друг другу, если у них количество будут
одинаковыми. Если приравнять два полученных выше выражения для энергий, то легко
заметить, что коэффициент k будет определяться равенством
17
k
35
Подставим найденное значение k в формулу динамического коэффициента. Тогда для
балки на двух опорах при ударе падающим грузом в точку, расположенную посередине
пролета, получим

 


 

2h
1
  1  1  2  h 

k Д  1  1 
 cm  17 Q0  

 k  Q0   
 cm 1 

1 


G   

 35 G  

 cm -прогиб балки в точке удара от статического действия груза;
Q0 - вес балки;
h – высота падения;
G – вес падающего груза.
Приближенный учет распределенной массы
EJ "  
mx 2
mx3
mx 4
 C ; EJ  
 Cx  D ;
; EJ '  
2
6
24
при x  0   f ;
при x  l   0
f
EJf  D , D 
EJ
4
ml
ml 3
0
 Cl , C 
24
24

M пр  
2
l
1
 

Ta  Tб ;  m     dx 
20  
2
 x 2 x3 
1
   f 3 2  3  ,
2
l 
 l
  m  l  

2
1


f   m
4


2

f

  m  l   f 
2
2
l
   1 m 1 

2
2 0
4 

f


f

2
2
 x 2 x3 
  3 2  3  dx ;
l 
 l
2
 x 2 x3 
0  3 l 2  l 3  dx ;
2 l
l
 x 2 x3 
 9  x 4 6  x5 x 6 
 9  x5 6  x 6
x7  l
3

dx



dx





0 
4
0  l 2 l 3 
0  l 4
l5
l6 
6 l5 7 l6 
 5l
9  l5 6  l6
l7
9l
l 63  l  35  l  5  l 33




l  
 l
4
5
6
5l
6l
7 l
5
7
35
35
2
2
33
1
33
 0.236
  m  l   f    m   f    l , получим, что  
140
4
 
  35
l