Продольно—поперечный изгиб Рассмотрим случай одновременного действия на стержень, например с шарнирно закрепленными концами, осевой сжимающей силы Р и любой поперечной нагрузки Pi , q, ,симметричной относительно середины длины стержня и вызывающий плоский изгиб. Такое состояние называется продольно – поперечным изгибом. Стержень деформируется (штриховая линия на рисунке). Изгибающий момент в произвольном сечении с учетом прогиба оси (1) M z P M 0 где M 0 - изгибающий момент только от поперечной нагрузки. Вычисление M осложняется тем, что в данном случае принцип суперпозиции не применим. Для определения прогиба воспользуемся приближенным дифференциальным уравнение M d 2 P (2) 0 2 dx EJ EJ где J -момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки. При сложной поперечной нагрузке на элемент точное решение уравнения (2) связано с большим количеством вычислений (составлением и интегрированием (2) для каждого участка). Поэтому в практических расчетах обычно применяют приближенное решение, основанное на допущении, что при действии только сил Pi , qi , изогнутая ось стержня имеет форму синусоиды (для симметричной нагрузки относительно l это приводит к малой 2 погрешности), т.е. x 0 f 0 sin (3) l l где 0 - прогиб любой точки оси стержня от действия M 0 при P 0 , f 0 0 прогиб 0 2 l при x . 2 2 x M0 Тогда 0" 2 f 0 sin (4) l l EJ P P 2 x 2 и уравнение (2) запишем в виде 0" , или обозначив 2 f 0 sin EJ EJ l l 2 x (5) 0" 2 2 f 0 sin l l x Решение выражения (5) будем искать в виде f sin (6) l l l где f - прогиб стержня при x . 2 2 При подстановке (6) в (5) получаем 2 2 x x 2 x 2 , откуда f 2 2 f 0 2 и 2 f sin 2 f sin 2 f 0 sin l l l l l l l f0 f0 f0 f0 (7) 2 P P l P 2 l 1 2 1 2 1 2 1 EJ EJ Pэ 2 l 2 EJ здесь Pэ - величина, называемая Эйлеровой силой, и в отличие от l2 критической, вычисляется при любой гибкости стержня (напомним, что J не обязательно равен J min ). При иных способах закрепления f 2 Pэ 2 EJ 2 l (8) где коэффициент тот же, что и в формуле Эйлера. Результаты решения с помощью приближенного выражения (7) хорошо согласуется с решениями точных выражений, при сжимающей силе P 0.8Pэ . С учетом (7) f0 x x (9) f sin sin l l P 1 Pэ а max x l 2 f0 и M max P max M 0 . P 1 Pэ В результате наибольшее сжимающее напряжение от действия P и M max будет cmax P M max P M 0 A W A W P f0 (10) P W 1 Pэ Из рассмотрения формулы (10) следует, что сmax возрастает быстрее нагрузки Р. Действительно, если P и M 0 увеличить в n раз, то и f 0 увеличится в n раз, но последнее слагаемое (10) изменится нелинейно, т.к. P n f0 n P f0 n2 W P n W 1 P n 1 P Pэ э и n2 - нелинейная функция. P n 1 Pэ Поэтому расчет сжато-изогнутых стержней следует вести не по допускаемым напряжениям, а по допускаемой нагрузке P P P u (11) kпч Здесь Pu - предельная нагрузка, при которой сmax uc ; kпч -коэффициент запаса прочности; uc -предельное напряжение при сжатии, равное пределу текучести y для пластичных материалов, пределу прочности u для хрупких материалов. Если предположить, что материал подчиняется закону Гука, вплоть до сmax uc , из решения (10) можно найти нагрузку Pu и при заданном kпч проверить условие (11). Кроме того, необходимо проверить условие жесткости max f0 P 1 P э f (12) где f - допустимый прогиб. Формулы (9) и (10) позволяют получить практически достаточно точные результаты и для несимметричных поперечных нагрузок, направленные в одну сторону. Пример 22.1 Рассмотрим распорку ограждения котлована в виде стального двутавра №40, стенка которого расположена горизонтально Рис.22.1 Решение. На распорку действуют сжимающая сила P и поперечная нагрузка (например, собственный вес), которую будем считать равномерно распределенной интенсивностью q . Считая распорку шарнирно опертой по концам, исследуем зависимость наибольшего (по модулю) нормального напряжения и максимального прогиба от силы принимая для простоты q 0,015 (P/ l) . P M max P M0 A W A W P f0 W 1 P P э 2 ql 5ql 4 P В данном случае M 0 , f0 , . 8 384 EJ z Pэ max . F 0,015Pl P 5 (0,015P / l )l 4 max или A 8 Wz 384 EJ z Wz (1 ) F 0,015Pl 0,075P 2l 3 max . A 8 Wz 384 EJ z Wz (1 ) 2 4 3 Для двутавра №40 J z 667см ; Wz 86,1см ; A 72,6см ; E 2,06 105 МПа ; Т 240МПа . После подстановки числовых значений получим выражение для max : ) МПа , причем P Э 1107 кН . 1 max и v max при изменение 692кН P 0 . max 152,5 (1,553 0,569 На рис 22.2 показаны зависимости P, Рис.22.2 Для сравнения на рис.22.2 приведена линейная зависимость, для max , найденная в предположении , что дополнительный изгибающий момент, создаваемый продольной силой, 148МПа . Погрешность, обусловленная 240 148 100 38,3% . пренебрежением моментом от продольной силы равна 240 равен нулю. В этом случае max Погрешность, вычисления прогиба , при условии пренебрежением сжимающей силы на прогиб равна 1,125 0, 422 100 62,5% . Сжимающая сила оказывает существенное 1,125 влияние на величины максимальных напряжений и прогибов. Концентрация напряжений Резкое увеличение напряжений вблизи отверстий, выточек, мест изменения сечений и приложения сосредоточенных нагрузок называется концентрацией напряжений. Концентраторы напряжений могут быть: конструктивными (надрезы, выточки, отверстия, переходы); возникать в результате повреждения поверхности (царапины, риски) и нарушений сплошности материала (пустоты, трещины). Нарушение равномерного распределения напряжений происходит в ограниченной зоне, т.е. носит местный характер. Поэтому напряжения в этой зоне называются местными. “Всплески” местного напряжения во многом зависят от геометрической формы тела и концентратора, но почти не связаны с размерами последнего. Поэтому малое ослабление сечения также опасно для прочности материала, как и большое. Влияние концентрации напряжений на прочность пластичных и хрупких материалов зависит от характера нагрузки. При статических нагрузках пластичные материалы малочувствительны к концентрации напряжений. Это объясняется тем, что при достижении пластического состояния max Т ( max y ) в точке, напряжения в ней не увеличиваются и текучесть материала распространяется в глубь сечения, т.е. происходит выравнивание напряжений в ослабленном сечении. В случае хрупкого материала при достижении в ослабленном сечении наибольшего напряжения, равного пределу прочности max пч ( max u ), образуется трещина, которая быстро развиваясь приводит к разрушению конструкции. Особенно опасна концентрация напряжений: при снижении температуры, т.к. материал становится более хрупким; при действии нагрузок, периодически меняющихся во времени (знакопеременные нагрузки). Для уменьшения концентрации напряжений прорезы заменяют полукруглыми выточками, уступы – галтелями. Для стержня на рисунке (ниже) напряжения в сечении 1-1 и 2-2 можно определить по формулам 1 P P и 2 ; где A1 и A2 - площади сечения верхнего и нижнего участков A1 A2 стержня. В сечении 3-3 напряжения распределяются неравномерно, возрастая к краям и убывая к середине. Его можно выразить с помощью следующей формулы max k 1 . где k - называют теоретическим коэффициентом концентрации напряжений. Он зависит от соотношения размеров верхнего и нижнего участков стержня. max Отношение максимального вычисленного с учётом концентрации (в зоне концентрации) к номинальному ном (вычисленного без учёта эффекта концентрации по обычным формулам сопротивления материалов) называется теоретическим коэффициентом концентрации напряжений k max . ном Например, для полосы с отверстием ном для наиболее ослабленного сечения определяют ном P Aнетто . Величину коэффициента концентрации напряжений определяют либо с помощью методов теории упругости, либо экспериментальным путём. В теории упругости приводится решения для растянутой пластинки, ослабленной круглым отверстием, расположенном на оси симметрии. Если “В” - ширина пластинки – велико по сравнению с радиусом отверстия, то в наиболее ослабленном сечении I-I (см. рис.) у края отверстия x резко возрастает. Но при незначительном удалении от концентратора наблюдается быстрое их падение, и они становятся близкими средним (номинальным) вычисленным без учёта концентрации x по ослабленному сечению. На достаточном удалении от отверстия напряженное состояние не отличается от того, которое имеет место при отсутствии концентратора. Зато вблизи концентратора на расстоянии rk > r , rk < b r от x , y , x y yx . Но модули y и x y yx значительно меньше x max . В сечении I-I: x y 0 . У края отверстия и у наружной поверхности полосы y 0 . центра тяжести отверстия действует x при y r x r2 r4 2 2 3 4 2 y y r2 r4 2 2 3 4 6 3 max ; 2 y y 2 r 0 …. ном ; b r4 r2 y 3 4 2 2 x x при при x r …… y 2 3 1 ; r4 r2 3 1 3 4 при x 2 r …… y 3 2 16 r 4 4 r 2 2 16 4 2 16 32 и очень быстро затухает. На достаточном удалении от места приложения нагрузки и концентратора P . (рис) bt Приведенное точное решение может быть использовано, если b 10r . С уменьшением ширины пластинки теоретический коэффициент концентрации напряжений возрастает, а напряжения у наружных краев пластинки ном становится меньше . В таблице приведены значения k для различных соотношений диаметра отверстия к ширине пластинки. Таблица 2r k 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 3 3,03 3,14 3,36 3,74 4,32 b Из таблицы видно, что при b 4r получаем k 4.32 . Напряжения у наружных краев пластинки равны y 0.75 Концентрация напряжений, как при растяжении, так и при других видах напряженного состояния существенно зависит от формы отверстия или выточки. Рассмотрим случай ослабления широкой пластинки эллиптическим отверстием. Равномерно растянутая полоса, ослабленная эллиптическим отверстием. Задача Колосова. a max 1 2 b где a и b - полуоси эллипса. С увеличением отношения a b напряжения возрастают. При узком отверстии, расположенном перпендикулярно направлению растяжения, напряжения сильно возрастают. В связи с этим особую опасность представляют тонкие прорезы, поперечные трещины. Так при b 0 , max , т.е. по краям поперечной трещины напряжения увеличиваются до бесконечности. Наоборот, продольные трещины не представляют особой опасности a 0 , то max . Можно определить коэффициент концентрации напряжений при других видах напряженного состояния. Возникает вопрос о том, каким образом можно снизить концентрацию напряжений. Из приведенных выше формул для k следует, что для уменьшения k необходимо заменять острые выточки плавными кривыми, т.е. увеличить радиус кривизны конца трещины. Например, для прекращения развития трещины в пластине достаточно по её концам просверлить отверстия