Лабораторная работа №2. «Изучение теории расчёта

Лабораторная работа №2.
«Изучение теории расчёта погрешностей прямых многократных измерений».
Цель работы: отработка навыков прямых многократных измерений и расчёта их
погрешностей.
Задача работы: использование методики Стьюдента
результата
многократных
прямых
для
оценки
погрешности
измерений при расчёте периода колебаний
математического маятника.
Оборудование: математический маятник, секундомер.
Теоретические сведения
При многократных измерениях физической величины N в одинаковых условиях
возникают случайные погрешности - ошибки, которые вызываются большим числом
неподдающихся учету случайных причин. Случайные погрешности подчиняются законам
теории вероятностей. В основе теории ошибок, применяющей методы теории
вероятностей лежат 2 положения: 1) случайные погрешности одинаковой величины, но
разного знака равновероятны, т.е. встречаются одинаково часто; 2) чем больше
абсолютная величина погрешности, тем она менее вероятна, т.е. встречается значительно
реже, чем малые по абсолютной величине погрешности. Из этих положений следует, что
истинное значение измеряемой величины при многократных измерениях приблизительно
равно среднеарифметическому значению из этого числа измерений 𝑁 ≈< 𝑁 >. При
наличии случайных погрешностей появление в процессе измерения любого значения Ni
является случайным событием. Существует некоторая вероятность того, что это значение
N, появится в интервале [N-N; N+N]. Доверительным интервалом называют интервал
[N-N; N+N], в котором содержится истинное значение N измеряемой величины.
Обычно в лабораторных работах при небольшом числе измерений выбирается
достаточная надежность 0,95. За стандартный интервал принимается [±SX], где среднюю
квадратичную ошибку серии измерений, т.е. доверительный интервал, вычисляют по
формуле:
n
Sx 
  N   N 
2
i
i 1
n ( n 1)
.
Существует специальная таблица коэффициентов Стьюдента, с помощью которых
можно установить, во сколько раз следует увеличить стандартный интервал [±SX] для
того, чтобы при определенном числе измерений получить заданную надежность :
Для оценки погрешности результата многократных прямых измерений существует
несколько способов. Наиболее распространенным является способ, основанный на
методике Стьюдента, который включает следующие действия:
1. Производят n измерений и записывают их результаты в таблицу.
2. Вычисляют среднее значение измеряемой величины по формуле:
n
 N 
N
i 1
n
i

N1  N 2  N 3  ...  N i
n
3. Определяют среднюю квадратичную ошибку серии измерений, т.е. доверительный
интервал:
n
Sx 
  N   N 
2
i
i 1
n ( n 1)

 N   N1 2   N   N 2 2   N   N 3 2  ...   N   N i 2
n ( n 1)
4. По таблице (коэффициент Стьюдента) в зависимости от заданной надежности α и
числа измерений n находят коэффициент Стьюдента t (α, n).
5. Рассчитывают доверительный интервал случайной погрешности (случайную
погрешность): tсл = t(,n)· Sx
6. Определяют
абсолютную
погрешность
измерения
инструментальной погрешностей по формуле N 
с
tсл 
2
учетом случайной и
2

   tинст 
3

2
7. Окончательный результат записывают в виде: N = <N> ± N, это означает, что
истинное значение измеряемой величины находится в доверительном интервале
[N-N; N+N] с надежностью α.
8. Для оценки точности измерений вычисляют относительную погрешность:

N
 100%
N
9. Величина, обратная относительной погрешности называется точностью:

1

Тренировочное задание.
Используя математический маятник и секундомер определить время 15 (или 20) полных
колебаний.
В ходе эксперимента:
1) длину нити математического маятника не изменять;
2) угол отклонения нити от вертикали должен быть достаточно малым;
3) провести серию из 5 опытов;
4) для оценки погрешности результата многократных прямых измерений времени
использовать метод Стьюдента;
5) учитывать, что в лабораторных работах при небольшом числе измерений выбирается
достаточная надежность, которая составляет 0,95.
1
2
3
4
5
Среднее
Число
колебаний
Время
Средняя
квадратичная
ошибка
Надёжность
Коэффициент
Стьюдента
Случайная
погрешность
Инструментальная
погрешность
Абсолютная
погрешность
№
опыта
N
t
с
Sx
с

t (α,
n)
tсл
tинст
t
с
Точность
с
Относительная
погрешность
с
Окончательный
результат
Таблица измерений и вычислений
t
c

