Тема: «Приближенные вычисления» Погрешности измерений и их оценка. Точные числа получаются в результате подсчета каких-нибудь предметов, объектов (10 стульев, 20 столов и т.п.) либо по установке или договоренности: например, будем считать 270 точным числом. Иногда пишут 270 (точно). Если же значение величины получено в результате измерений и действий над этими измеренными величинами, то результат никогда не может быть точным, это принципиально: во всех случаях получается результат с какой-то погрешностью. Измерения бывают прямыми и косвенными. Прямое измерение - такое, в процессе выполнения которого значение физической величины измеряется непосредственно с помощью прибора, например: силы тока амперметром, длины - линейкой, скорости - спидометром и т.п. Пусть при измерении получено значение физической величины А , тогда результат измерения записывается в виде А = А 0 ± ∆ А , где ∆А - абсолютная погрешность измерения, выражаемая в тех же единицах, что и А0. Выражение δА = Δ А / А 0 называют относительной погрешностью; относительная погрешность обычно выражается в десятичных дробях или процентах δА = ( Δ А / А 0 ) ∙ 1 0 0 % Выражение А = А 0 ± ∆ А означает, что значение А измеряемой величины лежит в интервале значений, границами которого являются А 0 - ∆ А и А 0 + ∆ А . Этот интервал можно изобразить графически на числовой оси (рис.). Более точными измерениями этот интервал можно уменьшать, но ликвидировать его принципиально нельзя. Косвенное измерение - такое, при котором значение измеряемой величины получают на основе прямых измерений величин, связанных с измеряемой величиной определенной зависимостью. Погрешности измерений делят на систематические и случайные. Систематические погрешности - те, которые остаются постоянными по значению и по знаку либо меняются по определенному закону при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же прибором. Их причинами являются несовершенство приборов, метода, неправильная установка прибора, влияние температуры, влажности и др. К систематическим погрешностям относятся: -инструментальные, возникшие вследствие несовершенства конструкции прибора; погрешности метода, возникающие из-за несовершенства метода измерений. Инструментальная погрешность указывается в паспорте к прибору. Погрешности метода можно уменьшить, выбрав такой метод проведения эксперимента, в котором погрешность минимальна. Например, при измерении удельной теплоемкости вещества следует горячее тело опускать в холодную воду, а не холодное тело - в горячее. В то же время погрешность метода полностью устранить зачастую не удается. Случайные погрешности - такие, которые при повторных измерениях принимают различные взаимно несвязанные значения. Их причинами являются несовершенство органов чувств, непостоянство измеряемой величины, дискретность значений величин на шкале приборов и др. К случайным погрешностям относятся: -погрешность среднего арифметического, возникающая при многократных измерениях одной и той же величины с помощью одного и того же измерительного прибора (толщина проволоки в разных местах, длина стола, измеренная с разных сторон, и др.); погрешность отсчета, возникающая при снятии показания прибора; она принимается равной половине цены деления, исключение составляет секундомер, у которого она равна цене деления. При вычислении погрешности среднего арифметического определяется среднее арифметическое значение измеряемой величины, отклонение значений от среднего арифметического и среднее отклонение. Полученная погрешность складывается с другими. Следует иметь в виду, что метод среднего арифметического нельзя применять, если измерение обладает свойством воспроизводимости (например, измерение массы одного и того же тела на одних и тех же весах). Кроме того, нельзя вычислять среднее арифметическое значений величины, полученных разными учащимися, поскольку каждый из них работает со своей экспериментальной установкой и со своими приборами. При вычислении погрешности косвенного измерения используют три метода: метод подсчета значащих цифр; метод границ; метод границ погрешностей (метод оценки). Метод подсчета значащих цифр Пусть при измерении длин получены следующие значения: a = 1,4м ; b= 2,6 м. С учетом погрешности измерений I = (1,4±0,05)м; U = (2,6 0,05) м. Тогда площадь S = 2,6 м∙1,4 м = 3,64 м2. В значении длины две значащие цифры и в значении ширины - две, поэтому в результате должно остаться столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим числом значащих цифр, т.е. тоже две. Используя правило округления, получаем S = 3,6 м2. Метод границ При использовании метода границ находят верхнюю и нижнюю границы измеряемой величины. При этом нужно помнить правила определения границ значений величин (см. табл. 1). Таблица 1 Действие над величинами А = В+С А=В-С А=В·С А=В/С Верхняя граница (в) А В = В В +С В Ав = Вв — Сн Ав= Вв∙Св Ав = Вв/С н Нижняя граница (н) АН = ВН + С А н = Вн - Св Ан= Вн∙Сн Ан = B Н / C В Метод границ погрешностей (метод оценки) Вычисление погрешности измерений этим методом основано на операции дифференцирования. В таблице 2 приведены формулы для расчета погрешности косвенных измерений методом оценки. Таблица 2 Действие над величинами А =В + С Относительная погрешность А=В-С ΔА/А=(ΔВ+ΔС)/(В-С) А=ВС ΔА/А=ΔВ/В+ΔС/С ΔА/А=(ΔВ+ΔС)/(В+С) А=В/С ΔА/А= ΔВ/В-ΔС/С А=В" ΔА/А= ∙ΔВ/В А = sin х ΔА/А= ctgΔx A=tgx Δ А / А = 2ΔxSin2x