Решения заданий по математике олимпиады вузов Росрыболовства среди учащихся 8 классов 2015-16 уч. год I тур. Задача 1. Малыш и Карлсон съели 75% всего запаса варенья, причем на долю Малыша пришлось лишь 4% съеденного варенья. Сколько процентов от общего запаса варенья съел Карлсон? Решение: Карлсон съел 96% съеденного варенья, что составляет от общего запаса варенья 0,96*0,75=0,72 или 72 процента. Ответ.72%. Задача 2. Приведите пример двухзначного числа, которое при делении на цифру его единиц даёт в частном 9, а в остатке 4. Решение: ….. Пусть число десятков в данном числе х, а число единиц у. Тогда двузначное число можно записать 10х+у. По условию задачи 10х+у=9у+4, где х,у – это цифры, принимающие значения от 1 до 9, у>4. Этому условию удовлетворяют х=6; у=7. Ответ.67. Задача 3. Бак, полностью заполненный водой, разлили поровну в три бидона. При этом оказалось, что первый бидон заполнен водой на половину, второй — на 2/3, третий — на 3/4. Бак и все три бидона вмещают целое число литров. При каком наименьшем объёме бака (в литрах) возможна такая ситуация? Решение: Пусть объём бака t литров, объёмы бидонов соответственно равны х, у, z t х t 2у t 3z 2t t 4t литров, тогда = ; = ; = . Откуда получаем х = ; у = ; z = . 3 2 3 3 3 4 3 2 9 Следовательно, t это наименьшее целое число, которое кратно 2 и 9, при этом числа х, у, z должны быть целыми. Таким числом является 18. Ответ.18 л. Задача 4. Пете предложено два задания с выбором ответа. В каждом задании 5 вариантов ответов. Верным является только один из них. Какова вероятность, что Петя даст верный ответ хотя бы на одно задание, если он выбирает ответы наугад. Решение: 1 …..Вероятность того, что Петя даст верный ответ одной задачи равна , 4 5 вероятность неверного ответа равна . Вероятность неверного ответа на два 4 4 16 5 5 25 задания равна × = 5 , тогда вероятность, что Петя даст верный ответ хотя 16 9 бы на одно задание равна 1− = = 0,36. 25 25 Ответ. 0,36. Задача 5. Диагональ прямоугольной трапеции и её боковая сторона равны. Найти длину средней линии, если высота трапеции равна 3 см, а боковая сторона равна 5 см. Решение: …..По теореме Пифагора находим длину меньшего основания 4см, длина большего основания в 2 раза больше и равна 8см. Таким образом, средняя линия равна 6см. Ответ. 6 см. Решения заданий по математике олимпиады вузов Росрыболовства среди учащихся 9 классов 2015-16 уч. год I тур. Задача 1. Квадратное уравнение, с корнями в 4 раза больше корней уравнения х2 +х−3=0 имеет вид х2 − bх+c=0. Найти −с+5b. Решение: Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения х2 +х−3=0, тогда по теореме Виета х1 + х2 = −1, а х1 ˑ х2 = −3. Пусть х̃1 и х̃2 корни квадратного уравнения х2 − bх+c=0, тогда х̃1 =4х1 и х̃2 =4х2 . По теореме Виета 4х1 +4х2 = b; 4х1 ˑ4 х2 =с. Откуда находим, что b=−4; с=−48. Значит, −с+5b=28. Ответ. 28. Задача 2. Бак, полностью заполненный водой, разлили поровну в три бидона. При этом оказалось, что первый бидон заполнен водой на половину, второй — на 2/3, третий — на 3/4. Бак и все три бидона вмещают целое число литров. При каком наименьшем объёме бака (в литрах) возможна такая ситуация? Решение: Пусть объём бака t литров, объёмы бидонов соответственно равны х, у, z t х t 2у t 3z 2t t 4t литров, тогда = ; = ; = . Откуда получаем х = ; у = ; z = . 3 2 3 3 3 4 3 2 9 Следовательно, t это наименьшее целое число, которое кратно 2 и 9, при этом числа х, у, z должны быть целыми. Таким числом является 18. Ответ.18 л. Задача 3. Найти наименьшее целое значение a, при котором абсцисса 𝒂 7 всех общих точек графиков функций 𝑓(𝑥) = , g(𝑥) = 2 отрицательна. 4𝑥 𝑥 −10𝑥 Решение: Абсциссы общих точек графиков удовлетворяют уравнению 𝒂 4𝑥 10𝒂+𝟐𝟖 = 7 𝑥 2 −10𝑥 , где х ≠ 0; х ≠ 10. Отсюда находим, х(ах−10а−28)=0, х = < 0. 𝒂 Решением этого неравенства является промежуток (−2,8; 0). Наименьшее целое число в этом промежутке −2. Ответ. −2. 1 Задача 4. Площадь равнобедренного треугольника равна площади 3 квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длины боковых сторон треугольника короче длины его основания на 1 см. Найти длину боковой стороны данного треугольника. Решение: Пусть длина основания треугольника равна х см, тогда длина боковой стороны равна (х-1) см, длину высоты находим по теореме Пифагора: 1 √3х2 − 8х + 4 . Сравниваем площади треугольника и квадрата 2 1 4 1 х√3х2 − 8х + 4 = х2 3 6 Это уравнение имеет корни х = 6; х = ; х=0. Так как по условию х>1, то 11 длина основания треугольника равна 6 см, а длина боковой стороны равна 5см. Ответ. 5 см. Задача 5. В классе учатся две подруги Маша и Даша. Класс случайным образом делят на 2 группы дежурных по школе (11 и 13 человек). Найти вероятность того, что Маша и Даша попадут в одну группу. Решение: В классе 24 человека, занумеруем всех учащихся числами от 1 до 24. В первую группу попадут номера от 1 до 11, а во вторую от 12 до 24. Число 11! 2 способов присвоить подругам номера от 1 до 11 равно С11 = = 55. Число 2!9! 2 С13 13! способов присвоить подругам номера от 12 до 14 равно = = 78. 2!11! Общее число способов присвоить подругам номера от 1 до 24 равно С224 = 24! = 276. Всего исходов 276, из которых нашему событию 2!22! благоприятствуют 55+78=133. 133 Следовательно, искомая вероятность равна . Ответ. 133 . 276 276 Решение заданий по математике олимпиады вузов Росрыболовства среди учащихся 10 классов 2015-16 уч. год I тур. Задача 1. Арифметическая прогрессия состоит из нескольких различных натуральных чисел, в десятичной записи которых отсутствуют цифры 1и 9. Может ли сумма всех членов такой прогрессии быть равной 298? Ответ обосновать. Если может, то привести пример. Решение: Может, например, 73+74+75+76=298. Ответ. Может. Задача 2. Решить неравенство √х4 − 2х2 + 1 > 1 − х. Решение: Перепишем подкоренное выражение √(х2 − 1)2 > 1 − х, перейдём к равносильному неравенству |х2 − 1| > 1 − х, которое равносильно 2 { 2х − 1 ≥ 0 1>1−х совокупности систем:[ х − 2 1<0 { х − 2 1− х > 1 − х Решение первой системы х∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞); решение второй системы х∈ (0; 1). Решение неравенства х∈ (−∞; −2) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞). Ответ. х∈ (−∞; −2) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞). Задача 3. Найти сумму корней уравнения 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х − |𝑐𝑜𝑠𝑥| −1= 0, из промежутка [−2𝜋; 𝜋]. Решение: Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0, тогда уравнение примет вид 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х − 𝑐𝑜𝑠𝑥 −1= 0. Обозначим t= 𝑐𝑜𝑠𝑥; t∈ [0; 1]. Получим квадратное уравнение 2(1 − 𝑡 2 ) − 𝑡 − 1 = 0 или 2𝑡 2 + 𝑡 −1=0. 1 Его корни 𝑡1 = −1 ∉ [0; 1], 𝑡2 = ∈ [0; 1]. 1 𝜋 2 3 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⇒ х=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍. 5𝜋 𝜋 𝜋 Отрезку [−2𝜋; 𝜋] принадлежат корни − ; − ; . 3 3 3 Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0, тогда уравнение примет вид 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х + 𝑐𝑜𝑠𝑥 −1= 0. Обозначим t= 𝑐𝑜𝑠𝑥; t∈[−1; 0). Получим квадратное уравнение 2(1 − 𝑡 2 ) + 𝑡 − 1 = 0 или 2𝑡 2 − 𝑡 −1=0. 1 Его корни 𝑡1 = − ∈ [−1; 0)., 𝑡2 = 1 ∉ [−1; 0). 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 2 ⇒ х=± 2𝜋 3 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍. 4𝜋 Отрезку [−2𝜋; 𝜋] принадлежат корни − ; − 3 Сумма всех корней уравнения равна -3𝜋. Ответ. -3𝜋. 2𝜋 2𝜋 3 ; 3 . Задача 4. В классе учатся две подруги Маша и Даша. Класс случайным образом делят на 2 группы дежурных по школе (11 и 13 человек). Найти вероятность того, что Маша и Даша попадут в одну группу. Решение: В классе 24 человека, занумеруем всех учащихся числами от 1 до 24. В первую группу попадут номера от 1 до 11, а во вторую от 12 до 24. Число 11! 2 способов присвоить подругам номера от 1 до 11 равно С11 = = 55. Число 2!9! 2 С13 13! способов присвоить подругам номера от 12 до 14 равно = = 78. 2!11! Общее число способов присвоить подругам номера от 1 до 24 равно С224 = 24! = 276. Всего исходов 276, из которых нашему событию 2!22! благоприятствуют 55+78=133. 133 Следовательно, искомая вероятность равна . Ответ. 276 133 . 276 Задача 5. На ребре куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что ВК:КВ1 =3:1. Найти угол между прямыми АК и ВD1. Решение: Вычислим искомый угол, как угол между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ АК и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ВD1 . Пусть длина ребра куба равна 1. Выберем декартову систему координат, так чтобы координаты точек были А(0;0;0); В(1,0;0); С(1;1;0); D(0;1;0); А 1 (0;0;1); 3 В1(1,0;1); С1(1;1;1); D1(0;1;1), тогда точка К(1;0; ). Найдём координаты 4 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ векторов АК =(1,0, ), ВD1 =(-1;1;1). 4 Для нахождения угла воспользуемся формулой cos𝛼 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ АК ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ВD1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ АК||ВD = −1+0+ 3 4 9 √1+0+ √1+1+1 16 = −√3 15 . Острый угол между прямыми АК и ВD1 равен arccos √3 15 Ответ. arccos . √3 15 . Решение заданий по математике олимпиады вузов Росрыболовства среди учащихся 11 классов 2015-16 уч. год I тур. Задача 1. Арифметическая прогрессия состоит из нескольких различных натуральных чисел, в десятичной записи которых отсутствуют цифры 1и 9. Может ли сумма всех членов такой прогрессии быть равной 298? Ответ обосновать. Если может, то привести пример. Решение: Может, например, 73+74+75+76=298. Ответ. Может. Задача 2. Вычислить: 3(log 3 45)2 -2(log 3 45)(log 3 5) - (log 3 5)2 - 4log √3 5. Решение: 3(log 3 45)2 -2(log 3 45)(log 3 5) - (log 3 5)2 - 4log √3 5= = 3(2 + log 3 5)2 - 2(2 + log 3 5)(log 3 5) - (log 3 5)2 - 8log 3 5 = 12 +12log 3 5 +3 (log 3 5)2 -4log 3 5 -2 (log 3 5)2- (log 3 5)2 - 8log 3 5 =12. Ответ. 12. Задача 3. Найти сумму корней уравнения 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х − |𝑐𝑜𝑠𝑥| −1= 0, из промежутка [−2𝜋; 𝜋]. Решение: Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0, тогда уравнение примет вид 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х − 𝑐𝑜𝑠𝑥 −1= 0. Обозначим t= 𝑐𝑜𝑠𝑥; t∈ [0; 1]. Получим квадратное уравнение 2(1 − 𝑡 2 ) − 𝑡 − 1 = 0 или 2𝑡 2 + 𝑡 −1=0. 1 Его корни 𝑡1 = −1 ∉ [0; 1], 𝑡2 = ∈ [0; 1]. 1 𝜋 2 3 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⇒ х=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍. 5𝜋 𝜋 𝜋 4𝜋 2𝜋 2𝜋 Отрезку [−2𝜋; 𝜋] принадлежат корни − ; − ; . 3 3 3 Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0, тогда уравнение примет вид 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х + 𝑐𝑜𝑠𝑥 −1= 0. Обозначим t= 𝑐𝑜𝑠𝑥; t∈[−1; 0). Получим квадратное уравнение 2(1 − 𝑡 2 ) + 𝑡 − 1 = 0 или 2𝑡 2 − 𝑡 −1=0. 1 Его корни 𝑡1 = − ∈ [−1; 0)., 𝑡2 = 1 ∉ [−1; 0). 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 2 ⇒ х=± 2 2𝜋 3 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍. Отрезку [−2𝜋; 𝜋] принадлежат корни − ; − 3 Сумма всех корней уравнения равна -3𝜋. Ответ. -3𝜋. 3 ; 3 . Задача 4. В классе учатся две подруги Маша и Даша. Класс случайным образом делят на 2 группы дежурных по школе (11 и 13 человек). Найти вероятность того, что Маша и Даша попадут в одну группу. Решение: В классе 24 человека, занумеруем всех учащихся числами от 1 до 24. В первую группу попадут номера от 1 до 11, а во вторую от 12 до 24. Число 11! 2 способов присвоить подругам номера от 1 до 11 равно С11 = = 55. Число 2!9! 2 С13 13! способов присвоить подругам номера от 12 до 14 равно = = 78. 2!11! Общее число способов присвоить подругам номера от 1 до 24 равно С224 = 24! = 276. Всего исходов 276, из которых нашему событию 2!22! благоприятствуют 55+78=133. 133 Следовательно, искомая вероятность равна . Ответ. 276 133 . 276 Задача 5. На ребре куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что ВК:КВ1 =3:1. Найти угол между прямыми АК и ВD1. Решение: Вычислим искомый угол, как угол между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ АК и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ВD1 . Пусть длина ребра куба равна 1. Выберем декартову систему координат, так чтобы координаты точек были А(0;0;0); В(1,0;0); С(1;1;0); D(0;1;0); А 1 (0;0;1); 3 В1(1,0;1); С1(1;1;1); D1(0;1;1), тогда точка К(1;0; ). Найдём координаты 4 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 =(-1;1;1). векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ АК =(1,0, ), ВD 4 Для нахождения угла воспользуемся формулой cos𝛼 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ АК ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ВD1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 | | АК||ВD = −1+0+ √1+0+ 3 4 9 √1+1+1 16 = −√3 15 . Острый угол между прямыми АК и ВD1 равен arccos √3 15 Ответ. arccos . √3 15 .