типовой вариант заданий с решениями для отборочного тура

Типовой вариант теста для отборочного тура олимпиады ИТМО по математике
Состоит из 15 тестовых заданий.
На решение всего теста предполагается отвести 1 астрономический час (60 минут).
5  12
.
20
1. Вычислить: 5 3 
Решение:
5  12
5 2 3
5 3
5 3
5 3 3 4 3 .
20
2 5
Ответ: 4 3 .
2. Решить уравнение: x3  3x2  4x  12  0 .
Решение:


x3  3x2  4 x  12  0  x2  x  3  4  x  3  0   x  3 x2  4  0   x  3 x  2 x  2  0.
В результате получаем:
Ответ: 2; 2; 3 .
3. Решить уравнение:
3
 x  1
2
2.
Решение:
3
 x  1
2
 2   x  1  23   x  1  8  x  1   8 . В результате получаем: x1,2  1  2 2 .
2
2
Ответ: 1  2 2 .
4. Решить неравенство:  x  3 2  x  0 .
Решение:
 x  3


2  x  0  2  x  0  x  2  3  x  2 .
x30
x  3
Ответ: 3  x  2 .
5. При каких значениях параметра с
уравнение x2  10x  с  0 не имеет корней?
Решение:
Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицателен, т.е.
D
2
D  0   0   5   1   c   0  25  c  0  c  25 .
4
Ответ: c  25 .
6. Решить неравенство:
3  x  x 1 .
Решение:
3  x  x  1  3  x  x  1   3  x    x  1 
 9  6 x  x 2  x 2  2 x  1  8 x  8  x  1
Ответ: x  1 .
2
2
7. В арифметической прогрессии
2
2
a26
a
 5 . Найти 14 .
a2
a5
Решение:
Используя формулу общего члена арифметической прогрессии an  a1  d   n  1 , получим:
a1  25d
 5 . Разделив числитель и
a1  d
a1
x  25
 5 , откуда x  5 . Тогда
, последнее уравнение приводим к виду
d
x 1
a
a  13d x  13

2.
искомое выражение принимает вид: 14  1
a5
a1  4d
x4
знаменатель на d и вводя новую переменную x 
Ответ: 2 .
8. Найти площадь круга с диаметром d  12 .
Решение:
d
Площадь круга S   r 2 , при этом r   3 . Поэтому S  3 .
2
Ответ: 3 .
9. Вычислить: sin 2

.
12
Решение:

По формуле понижения степени: sin

12
2
Ответ:
 
 
1-cos  2   1-cos   1- 3
 12  
6 
2  2- 3 .
2
2
2
4
2 3
.
4
10. Решить уравнение: tg 5 x  1 .
Решение:
tg 5 x  1  5 x  arctg  1  k  5 x  
Ответ: 
 k

,k
20 5

 k
 k  x   
, k
4
20 5
.

2
11. Вычислить: cos  5arccos
 .
2


Решение:

2

2
 


cos  5arccos
.
  cos  5    cos       cos    
2
4
4
4
2








Ответ: 
2
.
2
12. Решить уравнение: log 2 3 x  5  1 .
Решение:
log 2 3 x  5  1  3 x  5  21  3 x  5  
3

x   2
1

11 .
2
x  
6

3 11
Ответ:  ;  .
2
6
13. Решить неравенство: log 0,1  x   log 0,1 63 .
Решение:

log 0,1  x   log 0,1 63  x  0  0  x  63 .
x  63
Ответ: 0  x  63 .
14. Найти область определения функции y  5x 3  0,2 .
Решение:
Чтобы найти область определения функции, следует определить область допустимых значений выражения в правой части
равенства y  5x 3  0,2 , т.е. найти множество решений неравенства 5x3  0,2  0 . Решая его, получаем:
5 x 3  0, 2  0  5 x 3 
Ответ:
 2;    .
1
 x  3  1  x  2 .
5
15. Найти область значений функции y  6 x  8  x 2 .
Решение:
Область значений функции может быть найдена как проекция графика функции на ось ординат. Графиком рассматриваемой
функции служит парабола, ветви которой направлены вниз. Поэтому проекция параболы на ось ординат представляет собой
полуоткрытый луч  ; y0  , где y0 - ордината вершины параболы; при этом y0  y  x0  , x0 - абсцисса вершины параболы. В
нашем случае x0  
Ответ:
 ; 1 .
6
 3 , y0  y  3  1 . Поэтому область значений функции имеет вид:
2   1
 ; 1 .