ГУ-ВШЭ, 2010-2011 уч.г. «Микроэкономика-3

ГУ-ВШЭ, 2010-2011 уч.г.
«Микроэкономика-3 »
Домашнее задание для потока финансовых специализаций
Срок сдачи: не позже 29 ноября 12.10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Вы можете сдать задание до указанного срока в комн. Ж510-511 или сдать его в аудитории перед началом лекции 29
ноября. Работы, сданные после срока, не оцениваются. Домашнее задание является индивидуальной работой, поэтому
как списывание, так и совместное решение и обсуждение карается обнулением оценки. Четко указывайте, к какому
пункту относится решение - при объединении пунктов оценивается первый из них.
Во всех задачах предполагается, что элементарные функции полезности не зависят от состояния мира.
1. (20 баллов) Рассмотрите экономику обмена с двумя потребителями ( A и B ), одним физическим товаром и двумя
состояниями природы ( 1 и 2 ). Будем считать, что все потребители обладают рациональными строго монотонными
предпочтениями и нейтральны к риску. Каждый агент владеет единицей каждого контингентного товара. Агенты по-разному
оценивают наступление каждого события, а именно 1  0.5 и 1  0.25 .
(а) Докажите, что предпочтения агентов представимы функциями ожидаемой полезности.
(б) Найдите множество Парето оптимальных распределений.
(в) Найдите все равновесия с трансфертами или докажите, что таковых не существует.
(г) Верно ли следующее утверждение: «если в произвольной экономике Эрроу-Дебре нейтральный к риску агент в равновесии
предъявляет ненулевой спрос на все контингентные товары, то торговля по равновесным ценам не улучшит его положение
относительно первоначального запаса»?
A
B
2. (20 баллов) Рассмотрите модель последовательной торговли с двумя физическими товарами, двумя состояниями природы и
двумя потребителями. Считайте, что оба агента имеют строго монотонные предпочтения, представимые функциями ожидаемой
полезности и рассматривают состояния природы как равновероятные. Пусть до разрешения неопределенности возможна
торговля лишь двумя контингентными товарами: первым физическим благом при реализации состояния 1 и вторым физическим
благом при реализации состояния 1, а после разрешения неопределенности открываются все соответствующие спот-рынки.
Будет ли любое равновесное распределение в данной модели оптимальным по Парето? Если да, то докажите, если нет, то
приведите контрпример.
3. (20 баллов) Рассмотрите экономику обмена с двумя потребителями (А и В). Потребитель А владеет финансовым активом,
который может либо принести ему $3, либо не принести ничего, причем оба исхода равновероятны. Потребитель B владеет
другим финансовым активом, который также может либо принести ему $3 с вероятностью 0.5, либо не принести ничего.
Известно, что доходности активов не зависимы. Никаких других источников богатства у потребителей нет. Активы бесконечно
делимы и потребители могут торговать (покупать и/или продавать) эти активы. Предпочтения потребителей представимы EUF с
элементарными функциями полезности u ( w )  w и u ( w )  ln( 1  w ) , где w -богатство потребителя в $.
(а) Найдите внутреннее равновесие.
(б) Покажите, что объединив свои активы, потребители А и В могли бы достичь распределения, лучшего по Парето, чем
равновесное распределение из пункта (б).
(в) Объясните, почему равновесие в этой модели оказалось не Парето-оптимальным. Как следует изменить условия торговли,
чтобы гарантировать оптимальность результирующего распределения?
A
B
4. (20 баллов) Рассмотрите экономику обмена с одним физическим товаром и S состояниями природы ( s  1,2, , S ). Пусть
в этой экономике имеется M потребителей – рискофобов, предпочтения которых представимы EUF (дифференцируемость
функции полезности не предполагается) с возрастающими элементарными функциями полезности. Известно, что вероятности
объективны (совпадают для разных потребителей). Запасы каждого индивида различны в разных состояниях природы, но
агрегированный риск в экономике отсутствует. Покажите, что распределение, в котором потребление любого агента равно его
средневзвешенному запасу (где весами служат вероятности соответствующих состояний) является равновесным в модели
Эрроу-Дебре. Каков при этом равновесный вектор цен?
5. (20 баллов) Рассмотрите следующий вариант модели рынка вакансий, который демонстрирует возможность благоприятного
отбора. Пусть производительность труда является непрерывной величиной и принимает значения из интервала [v, v ] , где
0  v  v   . Плотность распределения работников типа v описывается функцией f (v ) , причем f ( v )  0 для всех
v  [v, v ] . Пусть u (v ) – альтернативная полезность для работника типа v , причем u () – непрерывная убывающая функция.
~ выбирает занятость в данной отрасли, то и все более
(а) Покажите, что, если при некоторой зарплате работник типа v
производительные работники примут такое же решение.
(б) Покажите, что если u ( v )  v для всех v , то конкурентное равновесие приводит к Парето оптимальному распределению
ресурсов.
(в) Пусть существует v̂  ( v , v ) такое, что u ( v )  v при v  vˆ и u ( v )  v при v  vˆ . Покажите, что любое равновесие с
положительным уровнем занятости влечет слишком высокую занятость по сравнению с оптимальным уровнем.