Семинар 57. Задача инвестора. Модель Эрроу

Микроэкономика (исследовательский поток)
НИУ ВШЭ, Факультет экономики
Семинар 57. Задача инвестора. Модель Эрроу-Дебре.
Задача 0. (С предыдущего семинара) Рассмотрите задачу инвестора, который выбирает, как
разделить сумму денег 𝑤 между двумя активами — акциями и ГКО. В экономике есть два
состояния мира — печалька (наступает с вероятностью 𝜋) и урашка (наступает с вероятностью
1 − 𝜋). Вложения в ГКО обладают нулевой реальной доходностью, а рубль, вложенный в акции,
приносит 𝑎 рублей (в реальном выражении), если наступает печалька, и 𝑏 рублей, если наступает
урашка (𝑏 > 𝑎). Рассмотрите задачу инвестора и ее решения (структуры оптимального портфеля)
при разных отношениях к риску и разных значениях 𝑎 и 𝑏.
Задача 1. Рассмотрите экономику обмена с контингентными благами. Пусть в этой экономике
есть только одно физическое благо, два потребителя (A и B), два равновероятных состояния мира
(1 и 2), а первоначальные запасы заданы векторами 𝜔 𝐴 = (1, 0) и 𝜔 𝐵 = (0, 1). Оба потребителя
имеют предпочтения, описываемые ожидаемыми функциями полезности, причем 𝑢𝐴 (𝑥𝐴 ) = (𝑥𝐴 )2
и 𝑢𝐵 (𝑥𝐵 ) = 𝑥𝐵 .
а) Найдите все парето-оптимальные распределения и изобразите в ящике Эджворта.
б) Найдите равновесие.
Задача 2. Рассмотрите экономику обмена с двумя участниками (А и В), одним физическим
благом и двумя состояниями мира (𝑅 и 𝑆). Совокупный запас блага в первом состоянии мира
равен 10. Пусть оба потребителя являются рискофобами (но их предпочтения различны) и
одинаково оценивают вероятности наступления состояний мира. Охарактеризуйте множество
внутренних парето-оптимальных распределений и изобразите его в ящике Эджворта, если
а) Совокупный запас блага во втором состоянии тоже равен 10.
б) Совокупный запас блага во втором состоянии равен 5.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3. Рассмотрите экономику обмена с контингентными благами. Пусть в этой экономике
есть только один физический товар, два потребителя (А и В) и два состояния мира (𝑅 и 𝑆). Предпочтения каждого потребителя представимы функцией ожидаемой полезности с возрастающими
дифференцируемыми элементарными функциями полезности. Считайте, что оба потребителя —
рискофобы (но предпочтения их различны) и одинаково оценивают вероятности наступления
состояний мира. Первоначальные запасы потребителей описываются векторами 𝜔 𝐴 = (8, 2)
и 𝜔 𝐵 = (6, 7). Охарактеризуйте множество внутренних парето-оптимальных распределений.
Приведите графическую иллюстрацию.
Задача 41 . Рассмотрите экономику обмена с контингентными благами. Пусть в этой экономике
есть одно физическое благо, два потребителя (A и B) и два состояния мира (1 и 2). Первоначальные запасы потребителей А и В описываются векторами 𝜔 𝐴 = (10, 5) и 𝜔 𝐵 = (5, 10).
Предпочтения потребителей А и В описываются функцией ожидаемой полезности с одинаковыми
элементарными функциями полезности вида: 𝑢𝑘 (𝑥𝑘 ) = ln 𝑥𝑘 . Пусть потребители имеют различные
субъективные вероятности наступления первого состояния мира: 𝜋 𝐴 = 1/2 и 𝜋 𝐵 = 1/3.
а) Найдите множество парето-оптимальных исходов и равновесие Эрроу-Дебре.
б) Ответьте на вопросы предыдущего пункта, если потребитель В нейтрален к риску (все
остальные условия задачи неизменны).
1
Левина, Покатович. Задача 4, стр. 236.
2012—2013 уч. год
1
2-й курс, 4-й модуль