Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ – ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ Факультет экономики Программа дисциплины ТЕОРИЯ РИСКА ДЛЯ НАПРАВЛЕНИЯ 080100.68 «ЭКОНОМИКА» ПОДГОТОВКИ МАГИСТРА АВТОР: А.Г.ШОЛОМИЦКИЙ(ASHOLOMITSKY@HSE.RU) Рекомендована секцией УМС « КОНКРЕТНАЯ ЭКОНОМИКА» ПРЕДСЕДАТЕЛЬ СМИРНОВ С.Н. ________________ «______» _______________________ 2008 Г. УТВЕРЖДЕНА УС ФАКУЛЬТЕТА ЭКОНОМИКИ УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ ПРОТАСЕВИЧ Т.А. _________________ «______» ______________________ 2008 Г ОДОБРЕНА НА ЗАСЕДАНИИ КАФЕДРЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ И СТРАХОВАНИЯ МОСКВА, 2008 ЗАВ. КАФЕДРОЙ СМИРНОВ С.Н. _________________________ «_______» ________________2008 Г. 1. Пояснительная записка. Автор программы – к.ф.-м.н. А.Г.Шоломицкий. Аннотация. Курс «Теория риска» рассчитан на один семестр и читается студентам первого курса магистратуры направления Экономика, обучающимся по магистерской программе «Математические методы анализа». Курс предназначен для ознакомления слушателей с теорией экономического поведения и принятия решений при неопределенности и в ситуациях, связанных с присутствием риска, а также с основными теоретическими принципами оценки риска. Полученные знания могут быть использованы в курсах экономического профиля и при подготовке магистерских диссертаций, связанных с проблемами учета риска при оптимизации экономических решений. Для успешного усвоения курса студентам необходимо не просто получить представление об основных методах анализа, но и научиться применять эти методы. Это требует непрерывной практики в решении задач. Одной из форм контроля является домашнее задание, которое включает в себя примеры задач использования различных методов и моделей оценки риска. Требования к студентам. Предполагается, что студенты знакомы с необходимым математическим аппаратом (математический анализ, теория вероятностей, теория случайных процессов). Учебная задача дисциплины. В результате изучения курса «Методы и модели оценки риска» студент должен: - знать основные результаты современной теории принятия решений в условиях риска и неопределенности; - обладать навыками использования различных методов и моделей оценки риска; - уметь применять полученные знания при решении теоретических и практических задач. 2.Тематический план дисциплины. № Наименование разделов и тем Всего Часов Аудиторные часы Самостоятел ьная работа 1 Задачи выбора в экономике 10 4 - 6 2 Проблемы изменения риска 16 6 - 10 3 Ожидаемая полезность и её применения к задачам выбора в условиях риска 18 8 - 10 4 Парадоксы и нелинейные модели выбора в условиях риска 22 6 - 16 5 Выбор в неопределённости 15 6 - 9 30 - 51 Лекции Семинары условиях Итого: 81 3.Литература. Базовый учебник. 1. Шоломицкий А.Г. (2005) Выбор при неопределенности и моделирование риска. – М.: ИД ГУ ВШЭ (готовится к выходу) [Ш] Основная. 1. Starmer, C. (2000) Developments in non-expected utility theory: the hunt for a descriptive theory of choice under risk. – J. of Economic Literature, XXXVIII, 332 – 382. [Starmer] 2. Бауэрс, Н. Л., и др. (Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A., and Nesbitt, C.J.) (1997; рус. пер. 2001) Актуарная математика (2-е изд.). – М.: Янус-К. [Бауэрс] 3. Fishburn, P. C. (1988) Nonlinear preference and utility theory. – Johns Hopkins Univ. Press. [Fishburn] 4. Jorion, P. (1997) Value at risk. McGraw-Hill. [Jorion] Дополнительная. 1. M.Machina Choice under uncertainty: problems solved and unsolved. Economic perspectives, 1987, 1, 121 -154. [Machina] 2. Tversky, A., and Kahneman, D. (1992) Advances in prospect theory: cumulative representation of uncertainty. – J. of Risk and Uncertainty, 5, 297 – 323. [Tversky] 3. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., and Heath, D. (1999) Coherent measures of risk. – Mathematical Finance, 9, 3, 203 – 228. [Artzner] 4. McNeil, A. J. (1997) Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theory. – ASTIN Bulletin, 27, 1, 117 – 137. [McNeil] 5. Embrechts, P., Kluppelberg, C., and Mikosh, T. (1997) Modelling extremal events for finance and insurance. – Springer. [Embrechts] 6. Loewenstein, G., and Prelec, D. (1992) Anomalies in intertemporal choice: evidence and interpretation. – Quarterly J. of Economics, 107, 2, 573 – 597. 7. Phelan, M. (1995) Probability and statistics applied to the practice of financial risk management: the case of JP Morgan’s RiskMetrics TM . – Working Paper 95-19, Wharton Business School, Univ. of Pennsylvania. [Phelan] 8. Смоляк, С. А. (2002) Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности (теория ожидаемого эффекта). – М.: Наука. [Смоляк] 9. Фишберн, П. (Fishburn, P.) (1970; рус. пер. 1978) Теория полезности для принятия решений. – М.: Наука. [Фишберн] 10. Mas-Colell, A., Whinston, M. D., Green, J. R. (1995) Microeconomic theory. – Oxford Univ. Press. [Mas-Colell] 11. Вилкас, Э. Й. (1990) Оптимальность в играх и решениях. – М.: Наука. 12. Anscomb, F. J., Aumann, R. J. (1963) A definition of subjective probability. – Annals of Mathematical Statistics, 34, 1, 199 – 205. [Anscomb and Aumann] 13. Ingersoll, J. E. (1987) Theory of financial decision making. – Rowman and Littlefield. [Ingersoll] 14. Kahneman, D., and Tversky, A. (eds.) (2000) Choices, values, and frames. – Cambridge Univ. Press. Соответствующие разделы основной литературы приведены по каждой теме. 4.Формы контроля. 1. Текущий контроль – посещение лекций и активность студентов на занятии. 2. Промежуточный контроль – домашнее задание (30% от общей оценки) 3. Итоговый контроль – письменный зачёт в конце курса (60% от общей оценки) Итоговый контроль – зачёт. Письменная работа в конце семестра, которая включает в себя ответы на теоретические вопросы и решение задач. Итоговая оценка складывается из результатов текущего контроля (Отек), промежуточного контроля (Опр) и оценки по 10-бальной шкале, полученной на зачёте (Ок). Итоговая оценка (Оср) определяется как средневзвешенная величина из оценок текущего контроля (Отек), промежуточного контроля (Опр) и контрольного теста (итоговый зачёт) (Ок) Удельный вес каждой формы контроля составляет: Текущий контроль = 0,1 Промежуточный контроль = 0,3 Контрольный тест (итоговый зачёт) = 0,6 Оср=0,1*Отек +0,3*Опр+0,6*Ок 5.Содержание программы. Раздел I. Задачи выбора в экономике (Ш, гл. 1). Обзор экономических задач выбора: выбор из чисел, векторов, последовательностей платежей, выбор в условиях риска и в условиях неопределенности. Общая постановка задачи выбора. Предпочтения. Аксиоматический подход к задачам выбора. Практические подходы к задачам выбора. Раздел II. Проблемы измерения риска. Стохастическое доминирование первого и второго рода. Принцип «среднее – дисперсия» и портфельная теория Марковица. Диверсификация. (Ш, гл. 1, 2). VaR. Теоретические свойства и основные практически- ориентированные модификации подхода. Пример: методика RiskMetrics. Меры риска, развивающие подход VaR. Когерентность. (Ш, 2.3; Jorion; Hull, Ch. 6; Phelan; Artzner et al.). Оценка экстремальных рисков и теория экстремальных значений (EVT) (Ш, 2.5; Embrechts and Kluppelberg; McNeil). Раздел III. Ожидаемая полезность и ее применения к задачам выбора в условиях риска. (Ш, гл. 3; Mas-Colell; Фишберн; Бауэрс, гл. 1; Ingersoll). Теория Бернулли. Аксиоматическое построение Неймана – Моргенштерна. Аксиома независимости. Приложения ожидаемой полезности: модель выбора страховой премии, теорема Эрроу об оптимальном страховании, выбор портфеля в статическом и динамическом случаях. Раздел IV. Парадоксы и нелинейные модели выбора в условиях риска. (Ш, гл. 4, 5; Fishburn, Ch. 2, 3; Starmer). Критика теории ожидаемой полезности. «Парадоксы» теории и рациональное поведение при неопределенности. Развитие теории. Нелинейные модели и их аксиоматизация. Раздел V. Выбор в условиях неопределенности (Ш, гл. 6; Fishburn, Ch. 7, 8; Starmer; Смоляк; Tversky). Модель выбора в условиях неопределенности. Субъективные вероятности: теории Энскомба и Ауманна, Сэвиджа. Парадоксы Эллсберга. Теория проспектов Канемана и Тверски. 6.Вопросы для оценки качества освоения дисциплины. Примеры вопросов (задач) для проверки качества знаний: 1. Сравните распределения по критериям стохастического доминирования первого и второго порядка. Вычислите и сопоставьте математические ожидания и дисперсии распределений. 10 50 100 Значение F1 и Вероятность 0 2 0 6 0 2 10 60 100 Значение F2 . Вероятность 0 2 0 5 0 3 2. Рассмотрим следующее правило сравнения альтернатив: если P X A X B 1 2 то A ± B . Величины X A и X B считаются независимыми. Монотонно ли это правило относительно первого стохастического доминирования? 3. Покажите, что отношение стохастического доминирования второго порядка II транзитивно. 4. Покажите, что множество эффективных портфелей на плоскости ( r mr ) изображается выпуклым множеством точек. 5. Покажите, что критерий математического ожидания, V ( A) mA , удовлетворяет свойству монотонности относительно первого стохастического доминирования. 6. Докажите, что если FA доминирует FB в смысле второго стохастического доминирования и mA mB , то A B . Верно ли обратное? Если да, докажите. Если нет, приведите пример. 7. Пусть 1 ( x) и 2 ( x) – две нормальные функции распределения. Покажите, что 1 I 2 в том и только том случае, когда (m1 m2 1 2 ) . 8. Инвестор формирует свой портфель из двух активов: доллара и евро так, чтобы минимизировать DEaR. Предположим, что для периода в один день 1 0 44% , 2 0 53% , 0 38 . Найти b – оптимальную долю вложений в доллар. 9. Какие из следующих мер риска удовлетворяют условию однородности? Условию монотонности относительно первого стохастического доминирования? (а) Математическое ожидание mX ; (б) мера риска R m a ; (в) мера риска Полячека – Тверского R m a 2 ; (г) VaR (квантиль распределения); (д) мера риска R( X ) E X | X t ; (е) мера риска R( X ) E X | X mX a X ; (ж) условное ожидание хвоста R( X ) E X | X VaR . 10. Докажите следующие утверждения. (a) Мера риска R m a является когерентной мерой риска, если распределения всех убытков X и их сумм нормальны. (b) Мера риска R m a не является когерентной мерой риска, если распределения убытков X могут быть произвольными. (c) VaR, определенная как квантиль соответствующего распределения, не является когерентной мерой риска, если распределения убытков X могут быть произвольными. 11. Нами рассматривались меры риска, для которых неприятие риска выражалось убыванием V по дисперсии. В теории ожидаемой полезности неприятие риска выражается вогнутостью функции полезности денег. Покажите, что эти два принципа противоречивы. Указание. Постройте пример случайных величин X и Y и вогнутой функции u () таких, что mX mY X Y , но Eu ( X ) Eu (Y ) . Почему нельзя привести такого примера с нормально распределенными X и Y ? 12. Какие из приведенных ниже функций полезности монотонны относительно первого и/или второго стохастического доминирования, а какие – нет? Почему? (а) U ( X ) E( X ) ; (b) U ( X ) E( X ) 0 02 ( D( X )) 3 ; (c) U ( X ) Ee001 X ; (d) U ( X ) Ee001 X ; (e) U ( X ) Ee001 X 0001 X , где E – математическое ожидание, D – дисперсия. 13. Один и тот же человек регулярно покупает лотерейные билеты, надеясь выиграть автомобиль ценой $10 000, и страхует свой собственный автомобиль такой же стоимости от угона. Можно ли объяснить его поведение с помощью модели ожидаемой полезности? Какую форму должна иметь функция полезности? (Friedman and Savage, 1948). 14. Ущерб по некоторому риску распределен равномерно от 0 до 20. Какую максимальную страховую премию за страхование такого риска готов будет заплатить страхователь, имеющий капитал 50 и руководствующийся правилом максимизации ожидаемой полезности с функцией полезности u ( x) x ax 2 , a 0 01 ? 15. Предположим, что ущерб страхователя имеет следующее распределение: в случае аварии (с вероятностью 0,02) ущерб распределен равномерно на [0100] ; в противном случае ущерб равен 0. Найти максимальную страховую премию, которую готов заплатить страхователь в этом случае. 16. Страховой ущерб в случае пожара распределен равномерно от 0 до 100; вероятность пожара равна 0,02. Найти форму страхового контракта, оптимальную с точки зрения страхователя, имеющего возрастающую и вогнутую функцию полезности, максимизирующего свою ожидаемую полезность и готового заплатить за страхование данного риска сумму P . 17. Инвестор имеет возможность сформировать портфель из двух активов, годовые нормы доходности которых моделируются нормальными случайными величинами со средними m1 16% и m2 9% и средними квадратическими отклонениями 1 30% и 2 12% , соответственно, и коррелированы с коэффициентом корреляции 0 46 . Считая, что инвестор вкладывает 1 ден. ед., имеет функцию полезности u( x) x 0 02 x 2 и стремится максимизировать ожидаемую полезность стоимости капитала на конец года, найти оптимальные с его точки зрения доли вложений в первый и второй активы. 18. Проверьте, что если предпочтения определяются критерием «субъективно взвешенной ожидаемой полезности», то выполнена основная аксиома Сэвиджа (sure thing principle). 2 19. Пусть лицу, осуществляющему выбор, известны физические вероятности событий и выбор определяется только распределением результата, т.е. имеет место выбор в условиях риска. Покажите, что в этом случае аксиома sure thing principle Сэвиджа сильнее аксиомы независимости фон Неймана – Моргенштерна. Указание. Воспользуйтесь представлением альтернатив выбора в виде двухступенчатых лотерей. 20. Покажите, что первый из парадоксов Эллсберга представляет нарушение аксиомы (G4) Сэвиджа. 21. В экперименте испытуемым было сначала предложено выбрать между правом сыграть в игру (A) выиграть $1000 с вероятностью 2/3 (0 в противном случае – везде далее опускается) и альтернативой (B) получить $500 без риска. Опрошенные в среднем признали альтернативы равнозначными. Затем было предложено выбрать одну из альтернатив: (C) выиграть $1000 с вероятностью 0,4 и $500 с вероятностью p и (D) выиграть $500 с вероятностью 0,8. Каким должно быть p , чтобы выбор во второй паре альтернатив соответствовал теории ожидаемой полезности? 22. В некотором экперименте испытуемым было сначала предложено выбрать между правом сыграть в игру (A) выиграть $200 с вероятностью 0,6 и альтернативой (B) получить $100 без риска. Большинство опрошенных выбрали (B). Затем было предложено выбрать одну из альтернатив: (C) выиграть $200 с вероятностью 0,3 и $100 с веростностью 0,4 и (D) выиграть $100 с вероятностью 0,8. Какой выбор во второй паре альтернатив согласуется с теорией ожидаемой полезности? 23. Рассмотрим следующий пример (Аллэ, 1953). Предлагается выбор между C1 : получить 1 млн. франков без риска; и C 2 : 5 млн. франков с вероятностью 0,8, 0 с вероятностью 0,2. Затем предлагается выбор между D1 : 1 млн. франков с вероятностью 0,05 и 0 с вероятностью 0,95; и D 2 : 5 млн. франков с вероятностью 0,04 и 0 с вероятность 0,96. Большинство людей предпочитают C1 в первой паре и D 2 во второй. Покажите, что такие предпочтения нельзя описать моделью ожидаемой полезности. 7. Методические рекомендации преподавателю. При построении лекций необходимо, во возможности, демонстрировать связь теории принятия решений с различными феноменами, наблюдаемыми в реальных экономических ситуациях. Не следует вкладывать в сознание студентов определенные стереотипы, «канонизируя» какой-либо «рецепт» оценки риска, например, ожидаемую полезность или VaR. Следует развивать у студентов критическое мышление, внимание к условиям и границам применения тех или иных моделей. Для освоения данного курса важно научить студентов понимать различные свойства мер риска и критериев выбора. При этом важную роль играет решение соответствующих задач. 8. Методические указания студентам. Для успешного усвоения курса необходимо не только посещать лекции и семинарские занятия, но и активно готовится к ним. Решение домашних заданий очень важно для усвоения курса. 9. Рекомендации по использованию информационных технологий. Различные материалы по этому курсу будут вывешиваться на личных страницах преподавателей на сайте ГУ – ВШЭ, а также на сайте www.xion.ru. Автор программы:_________________________________ Шоломицкий А.Г.