Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 642–643 УДК 514.75 ЛИСТ МЕБИУСА c М. А. Чешкова ° cheshkov@ab.ru Алтайский государственный университет, Барнаул В евклидовом пространстве E 3 рассмотрим линейчатую поверхность ([1, c. 40]) M : r(u, v) = e(v) + ul(v), где e(v) = (cos(v), sin(v), 0) — направляющая окружность, l(v) — орт образующей прямой. Будем предполагать, что прямые ортогонально пересекают окружность. Обозначим через ϕ(v) — угол между плоскостью окружности и прямой. Тогда l(v) = cos(ϕ)e(v) + sin(ϕ)a, где a = (0, 0, 1)) , r(u, v) = (1 + u cos(ϕ))e(v) + u sin(ϕ)a. Если при этом ϕ = kv/2 , k 6= 0 — целое число, то прямые r(u, 0), r(u, 2π) “склеиваются”. Имеем лист Мебиуса ([2, c. 167]), перекрученный k раз (рис. 1–3). Гауссова кривизна поверхности равна K(u, v, k) = − k2 4((1 + u cos(kv/2)2 + (uk/2)2 )2 Откуда следует, что K(u, v, k) < 0 — все точки листа Мебиуса гиперболические. В частности, рассмотрим гауссову кривизну K(0, v, k) вдоль средней окружности S : r = r(0, v) и гауссову кривизну K(u, 0, k) вдоль образующей L , ортогональной плоскости средней окружности. 2 2 Имеем K(0, v, k) = − k4 , K(u, 0, k) = − 4((1+u)2 k+(uk/2)2 )2 . Замечаем, что гауссова кривизна постоянна вдоль средней окружности Исследуем, как меняется гауссова кривизна при закручивании. Для этого рассмотрим график функции f (u, v) = K(u, v, k + 1) − K(u, v, k) = − (k + 1)2 k2 + . 4((1 + u cos((k + 1)v/2)2 + (uk/2)2 )2 4((1 + u cos(kv/2)2 + (uk/2)2 )2 Картину изменения гауссовой кривизны при закручивании дают рис. 4–6. 642 Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 642–643 z 0.4 6 0.2 4 2 0 f –0.2 0 –0.4 –2 –4 0 –1 –1 –1 –0.5 –0.5 0 y 1 x 0.5 0.5 –0.5 2 0 v 3 0 4 1 1 6 Рис. 1. Лист Мебиуса, k = 1 . u 0.5 5 1.5 1 Рис. 4. f = K(u, v, 2) − K(u, v, 1) . –0.4 –0.5 –0.6 0.4 0.2 z –0.7 f 0 –0.8 –0.2 –0.4 –0.9 –1 –1 –0.5 –1 –0.5 0 0 y 0.5 x 0.5 –1.1 1 1 1.5 0 1.5 1 2 3 4 5 6 v Рис. 5. f = K(0, v, 2) − K(0, v, 1) . Рис. 2. Лист Мебиуса, k = 1/2 . 4 3 2 0.4 0.2 z f 1 0 –0.2 0 –0.4 –1.5 –1 –1 –1 –0.5 –0.5 y 0 0 0.5 0.5 –2 x –4 1 1 1.5 –2 0 2 4 u Рис. 6. f = K(u, 0, 2) − K(u, 0, 1) . Рис. 3. Лист Мебиуса, k = 2 . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. M., 1969. 167 c. 2. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. М., 1962. 360 с. 643