история создания листа мебиуса

Всероссийский конкурс
исследовательских работ учащихся
«Дерзание – старт»
Муниципальное Автономное общеобразовательное учреждение
Лицей №10 г. Перми
Направление Мир математики
ТАЙНЫ ЛИСТА МЁБИУСА
Журавлева Арина МАОУ Лицей №10 г.
Перми, 2 «в» класс
Лялина Марина Юрьевна
Учитель начальных классов высшей
категории МАОУ Лицей № 10 г. Перми
Пермь, 2015
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................................... 3
ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ ЛИСТА МЕБИУСА .............................................................. 4
ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЛИСТА МЁБИУСА ........................................................................ 5
ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ЛИСТА МЕБИУСА............................................................... 6
Описание опытов ......................................................................................................... 6
Проведение опытов...................................................................................................... 6
Экспериментальные выводы ...................................................................................... 7
ПРИМЕНЕНИЕ ЛИСТА МЕБИУСА ............................................................................ 9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................................. 10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................... 11
ВВЕДЕНИЕ
Математика – один из любимых мной предметов. Поэтому тему
исследования я выбрала из области математики.
Однажды мы вырезали снежинки, и мама показала мне интересный
математический фокус. Меня он заинтересовал, и я решила разгадать его. Сегодня
я раскрою секрет этого фокуса и расскажу Вам про лист Мебиуса.
Лист Мёбиуса или лента Мёбиуса это такой объект, который имеет прямое
отношение к математике, а если точнее, то к геометрии. Я решила, как можно
больше узнать о листе Мебиуса, потому что эту ленту часто называют загадочной.
Тема моего исследования: Тайны листа Мебиуса.
Цель работы: Исследовать поверхность листа Мебиуса и его свойства.
Объектом исследования является лист Мебиуса.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Изготовить лист Мёбиуса
2. Познакомиться с историей появления листа Мебиуса
3. Познакомиться со свойствами листа Мебиуса. Разгадать его «тайны»,
сравнивая со свойствами бумажного кольца
4. Собрать всевозможную информацию о листе Мебиуса
В своей работе я исследовала методы:
 Анализ литературы по теме
 Сравнение
 Эксперимент
Мною были выдвинуты следующие гипотезы:
 Лист Мебиуса имеет внутреннюю и внешнюю сторону
 При разрезании по середине листа Мебиуса он распадается на 2 листа
Мебиуса
 При разрезании листа Мебиуса ближе к краю получится два отдельных
кольца разных по ширине.
3
ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ ЛИСТА МЕБИУСА
Знаменитый и таинственный лист Мёбиуса (или "лента Мёбиуса") открыл
Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868) – ученик «короля» математиков Гаусса.
Рассказывают, что Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной.
Служанка сшила однажды неправильно концы ленты.
4
ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЛИСТА МЁБИУСА
Для проведения экспериментов потребуются бумажные полосы. В каждом
эксперименте будут необходимы два бумажных кольца – одно простое (обычное)
и одно перекрученное (лента Мёбиуса)
Простое кольцо сделать просто.
А для изготовления листа Мебиуса возьмем бумажную полоску – длинный
узкий прямоугольник АВСD (удобные размеры: длина 30 см, ширина 3 см).
Перекрутив один конец полоски на 180о, склеим из нее кольцо (т.е. соединим
точки А и С, В и D). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У
него есть интересное название - "Лист Мёбиуса".
Получим такое перекрученное кольцо.
5
ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ЛИСТА МЕБИУСА
Описание опытов
Объекты: простое кольцо и лист Мебиуса
Опыт 1.
Отметим точку на одной из сторон каждого кольца и начертим
непрерывную линию вдоль него, пока не придем снова в поставленную точку.
Опыт 2.
Попробуем раскрасить полностью только одну сторону колец.
Опыт 3.
Представим, что на одной стороне поверхности сидит муравей. Сможет ли
муравей доползти до обратной стороны поверхности не перелезая через край.
Опыт 4.
Разрежем кольца вдоль по линии, равноудаленной от краев. (Чтобы
проверить, какая поверхность получилась необходимо прочертить непрерывную
линию.)
Опыт 5.
Разрежем кольцо, отступив от края приблизительно на треть его ширины
(необходимо снова прочертить непрерывную линию.)
Опыт 6.
Разрежем результат 4 опыта (уже разрезанную ленту) снова вдоль по линии,
равноудаленной от краев.
Проведение опытов
Результаты моих опытов с простым кольцом и экспериментальных
исследований свойств листа Мебиуса представлены в таблице 1.
Таблица 1.
Опыт 1
Отметим точку на одной из сторон каждого кольца и начертим непрерывную
линию вдоль него, пока не придем снова в поставленную точку.
Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, возвращаясь в
Обычное
точку начала. Вторая сторона остается чистой
кольцо
Непрерывная линия проходит по двум сторонам, возвращаясь в
Лента
начальную точку
Мебиуса
Опыт 2
Попробуем раскрасить полностью только одну сторону колец.
Обычное
Одна сторона полностью закрашена, другая – нет
кольцо
Лента
Лента закрашена полностью
Мебиуса
6
Продолжение таблицы 1
Опыт 3
Представим, что на одной стороне поверхности сидит муравей. Сможет ли
муравей доползти до обратной стороны поверхности не перелезая через край.
Обычное
Конечно же нет!
кольцо
В любое место поверхности листа Мебиуса может доползти муравей,
Лента
не перелезая через край
Мебиуса
Опыт 4
Разрежем кольца вдоль по линии, равноудаленной от краев.
Получилось два кольца. Ширина полученных колец уже чем у
Обычное
исходного.
кольцо
Лента
Получилось одно кольцо в виде восьмёрки
Мебиуса
Опыт 5
Разрежем кольцо, отступив от края приблизительно на треть его ширины.
Обычное
Получилось 2 кольца одно уже, другое шире
кольцо
Получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое
Лента
– другое большое
Мебиуса
Опыт 6
Разрежем результат 4 опыта (уже разрезанную ленту) снова вдоль по линии,
равноудаленной от краев.
Обычное
Получаются отдельные кольца, по ширине все уже и уже исходных
кольцо
Получилось два больших кольца, переплетенные между собой в виде
Лента
восьмерки
Мебиуса
Экспериментальные выводы
Итак, на основании проведенных мною экспериментов можно сделать
следующие выводы:
 Лента Мебиуса имеет одну поверхность.
Т.е. первая гипотеза о том, что у листа Мебиуса имеется внутренняя и
внешняя сторона не подтвердилась.
 Лист Мебиуса неориентированная поверхность, т.е. если бы муравей
прошел по листу Мебиуса, то когда он вернулся в исходную точку он превратился
бы в свое зеркальное отражение.
 Если разрезать ленту Мебиуса вдоль по линии, равноудаленной от краев,
то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет
уже исходной и дважды перекрученной.
Наша вторая гипотеза, что при разрезании листа Мебиуса посередине
получается 2 листа Мебиуса, не подтвердилась.
7
 Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края приблизительно
на треть его ширины, то получатся два кольца, сцепленные между собой, одно
большое, другое маленькое – лента Мебиуса.
Наша третья гипотеза подтвердилась частично. У нас получились два
кольца, но они оказались разными по длине. К тому же, мы получили не два
самостоятельных кольца, а два кольца переплетенных между собой.
8
ПРИМЕНЕНИЕ ЛИСТА МЕБИУСА
Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё открытие достаточно давно, оно
популярно и в наши дни. Лист Мебиуса повлиял не только на математиков, но и
волновал художников, скульпторов, архитекторов и многих других. Много
появилось картин, целую серию вариантов можно встретить в скульптуре. Во
многих странах мира есть памятники этому необычному объекту.
9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При исследовании я прочитала разнообразную литературу, использовала
ресурсы Интернета, мне помогали учитель и родители.
В результате проведенной исследовательской работы я узнала:
1. Существует односторонняя поверхность – лист Мёбиуса.
2. Лист Мебиуса обладает удивительными свойствами превращения.
3. Свойства листа Мёбиуса используются практически во всех сферах
жизни.
4. Зная свойства листа Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и
развлечения.
Я смогла получить интересный математический материал. Свои результаты
исследования о ленте Мебиуса я расскажу одноклассникам. Думаю, что это их
заинтересует.
Мною проведены не все опыты с лентой Мебиуса. Их много, они интересны
и если будет время, то я обязательно их все рассмотрю.
10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М: Наука, 1978.
http://arbuz.uz/t_lenta.html
http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm
http://www.kvant.info/
11