Методическая разработка по геометрии «Лист Мебиуса»

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 8»
Методическая разработка
по геометрии
«Лист Мебиуса»
6 класс
Урок с применением развивающего
обучения
Творческая мастерская
Подготовила: учитель математики
Самойленко Е.А.
г. Магнитогорск
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 8»
Урок 12. Лист Мебиуса.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Характеристика темы урока. Содержанием темы являются понятия: односторонняя и
двусторонняя поверхность, лист Мебиуса, свойства листа Мебиуса.
Цели урока:
1. Образовательные
Сформировать понятия односторонней и двусторонней поверхности;
Ввести понятие листа Мебиуса;
Формирование навыков выполнения лабораторной работы, работы с таблицами.
2.
Воспитательные:
Организация внимания у учащихся;
Формирование сознательного отношения к труду.
Организованность, дисциплинированность.
Культура оформления записей в тетради.
Развивающие:
3.
Развитие пространственного воображения, творческих способностей учащихся,
умений сравнивать,
анализировать, делать выводы, укрепление интереса к
математике.
Оборудование урока: бумага, клей, ножницы, заготовки 4 полосок из цветной бумаги
30 см · 3 см, заготовка тетрадного листа бумаги, фломастеры, таблицы.
Методы обучения: эвристический, исследовательский методы.
Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Проведение эксперимента:
Формулирование задачи.
Выдвижение гипотезы по её решению.
Проведение эксперимента.
Опровержение или подтверждение гипотезы.
3. Изучение нового материала.
4. Творческая лабораторная работа.
5. Подведение итогов, домашнее задание.
г. Магнитогорск
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 8»
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Проведение эксперимента.
Сегодняшний урок начнем со следующей задачи: Можно ли в обычном
тетрадном листе прорезать дыру, в которую может пролезть обычный человек?
Возьмите тетрадный лист бумаги и проведите эксперимент.
На первый взгляд кажется, что ответ отрицательный. Возникает гипотеза, что
"дыра" не может быть больше самого листа.
А если согнуть лист, то решение задачи разбивается на два шага:
1. разрезать змейкой;
2. Провести разрез посередине вдоль длинной стороны, не дорезав несколько
сантиметров до края.
"Дыра готова".
Следующее задание заключается в следующем. У вас на столах лежат две
полоски бумаги. Предлагаю вам из них склеить два кольца: одно простое, другое перекрученное так, как показано на доске (см. рисунок). Как вы думаете, сколько сторон
имеет каждое кольцо 7 Как правило, учащиеся отвечают: "Две стороны".
Давайте проверим вашу гипотезу. Поставьте на одной стороне кольца жирную
точку и, не отрывая фломастера от бумаги, ведите его до тех пор, пока не вернетесь в эту
же точку. Аналогичную работу проделайте со вторым кольцом. Сравните результаты и
сделайте вывод.
В первом случае, мы не попали на одну из сторон. У второго кольца линия
прошла по обеим сторонам, хотя фломастер не отрывался от бумаги.
3.
Объяснение нового материала. Формулирование темы, целей, задач урока.
Этот опыт провел в середине прошлого века немецкий астроном и геометр
Август Мебиус, а саму поверхность впоследствии назвали листом Мебиуса или лентой
Мебиуса. Лист Мебиуса относится к числу односторонних поверхностей. Позже
математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта, самая первая,
положил начало целому направлению в геометрии, которое называется топологией. Лист
Мебиуса по-прежнему привлекает не только ученых, но и художников. Поэтому,
сегодняшний урок и будет посвящен поверхности, которая относится к числу
«математических неожиданностей» - листу Мебиуса. Формулируется тема, цели, задачи
урока.
г. Магнитогорск
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 8»
Лист Мебиуса – один из объектов топологии. Интересен тот факт, что в 1858 г.
Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус, астроном и геометр, послал в
Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он
дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.
Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист Иоганн Бенедикт Листинг,
профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года
раньше, чем Мебиус – в 1862г. Открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая
неправильно концы ленты.
Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180
градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим ленту Мебиуса.
Чем знаменита “Лента Мебиуса”?
Она имеет только одну сторону (возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в
каком-нибудь направлении. Вскоре вернемся в то место, откуда начали. А теперь
поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не
переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже
если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мебиуса – односторонняя.)
Что следует из свойств: что поверхность односторонняя?
Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в технике: если
ременной передачи ремень сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет
изнашиваться в двое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию.
4. Творческая лабораторная работа.
Давайте поэкспериментируем над листом Мёбиуса.
Прежде чем провести
эксперимент, предлагаю заполнить таблицу:
№
п/п
1.
2.
Вопрос
Что получится, если
разрезать простое кольцо
ножницами вдоль
посередине ?
Что получится, если
разрезать лист Мёбиуса
ножницами вдоль
посередине?
Гипотеза
Эксперимент и
результаты
эксперимента
2 кольца
2 кольца
Учащиеся
выдвигают свою
гипотезу, далее с
помощью
проведенного
эксперимента либо
1 кольцо
г. Магнитогорск
Свойства
Длина
окружности
кольца та же,
кольцо в 2 раза
уже
Кольцо
перекручено на 2
полуоборота,
длина его
окружности в 2
раза больше,
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 8»
3.
Что получится, если
разрезать ленту на
расстояние 1/3 ее
ширины от края
подтверждают
свою гипотезу
либо её
опровергают. Как
правило, учащиеся
выдвигают
гипотезу неверно.
кольцо уже
исходного
2 кольца.
Одно кольцо
большое и
сцепленное с
ним маленькое.
Возьмем ещё одну полоску бумаги, перекрутим её два раза (на 360º) и склеим.
Сколько сторон будет иметь такая поверхность? Сначала полученную поверхность
демонстрирует учитель, учащиеся выдвигают гипотезу, затем склеивают поверхность и
проверяют выдвинутую гипотезу. Берут фломастер, отмечают на одной из его сторон
точку и ведут его до тех пор, пока не вернутся в эту же точку.
Оказывается, что такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить
все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.
Свойства этой поверхности не менее удивительны. Для этого предлагаю вам
опять провести эксперимент.
№
п/п
1.
2.
3.
Вопрос
Что получится, если
разрезать перекрученное
дважды кольцо
ножницами вдоль
посередине ?
Что получится, если
разрезать перекрученное
дважды кольцо на
расстояние 1/3 ее
ширины от края ?
Придумай и проведи
свой эксперимент.
Гипотеза
Учащиеся
выдвигают свою
гипотезу, далее с
помощью
проведенного
эксперимента либо
подтверждают
свою гипотезу
либо её
опровергают. Как
правило, учащиеся
выдвигают
гипотезу неверно.
Эксперимент и
результаты
эксперимента
Свойства
2 кольца
Два одинаковых
кольца,
сцепленных
между собой.
2 кольца
Два разных по
ширине кольца,
сцепленных
между собой.
Ведь если разрезать ее вдоль по середине, то вы получите два одинаковых
кольца, но опять же сцепленных между собой.
Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре
кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз
оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.
г. Магнитогорск
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 8»
6. Подведение итогов, домашнее задание.
Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в
кольцо, сразу, же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные
свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел
математике – Топология. Это название ей дал Иоганн Листинг.
Домашние задание.
Задача 1. Что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить.
1. Взять бумажную ленту.
2. Повернуть один из концов полоски на три оборота, т.е. на 540 градусов.
3. Склеить концы ленты.
4. Теперь возьмите ножницы и аккуратно разрежьте полоску посередине. Результаты
занести в таблицу.
Задача 2. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той
же линии, требуется начертить фигуры:
а)
б)
Использованная литература:
1. И.Ф. Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева «Наглядная геометрия, 5-6 классы». М., Дрофа,
1998 г.
2. Никифорова, Устинов. «Лист Мебиуса». Математика. Приложение к газете «1
сентября». №
2007 г. Стр. 31
3. Лист Мебиуса. Сайт «Фестиваль педагогических идей». Преподавание математики.
г. Магнитогорск