Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç II Ëèñòîê 17 Ïîñëåäíèé ñðîê ñäà÷è çàäà÷: 12 àïðåëÿ 2011 ãîäà. Ýëåìåíò äëèíû è ýëåìåíò îáúåìà. 1) Íàéäèòå äëèíó êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèåì x2/3 + y 2/3 = 1. 2) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè â R3 , çàäàííîé óñëîâèÿìè z = xy , x2 + y 2 6 1. 3) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè â R3 , çàäàííîé óñëîâèÿìè z 2 = 2xy , x > 0, y > 0, z > 0, x + y 6 1. 4) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè òîðà â R4 , çàäàííîãî óðàâíåíèÿìè x21 + x22 = 1, x23 + x24 = 1. 5) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè òîðà â R3 , ïîëó÷åííîãî âðàùåíèåì îêðóæíîñòè ñ óðàâíåíèÿìè (x − 2)2 + y 2 = 1, z = 0 âîêðóã îñè Oy . 6) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì ãðàôèêà ôóíêöèè y = tg x, 0 6 x 6 π , âîêðóã îñè Ox. 4 7) Ïóñòü X åäèíè÷íàÿ ñôåðà â R3 , çàäàííàÿ óðàâíåíèåì x2 + y 2 + z 2 = 1, ds ýëåìåíò ïëîùàäè íà ñôåðå. Íàéäèòå ∫ (x + y + z)ds. X 8) Ïóñòü X åäèíè÷íàÿ ñôåðà â R3 è ïóñòü Y öèëèíäð â R3 , çàäàííûé óðàâíåíèåì x2 + y 2 = 1; ÷åðåç dsX è dsY îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû ïëîùàäè. ×åðåç φ îáîçíà÷èì ïðîåêöèþ ñôåðû íà öèëèíäð èç ïðÿìîé Oz ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé ïðÿìîé. Ñðàâíèòå ôîðìû dsX è φ∗ dsY . 9) Ðàññìîòðèì â Rn ôîðìó ω = x1 dx2 ∧ · · · ∧ dxn − x2 dx1 ∧ dx3 ∧ · · · ∧ dxn + · · · + (−1)n−1 xn dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1 . (â k -ì ñëàãàåìîì ïðîïóùåíî dxk è èìååòñÿ êîýôôèöèåíò xk , çíàêè ÷åðåäóþòñÿ). Äîêàæèòå, ÷òî îãðàíè÷åíèå ω íà åäèíè÷íóþ ñôåðó ñîâïàäàåò ñ ôîðìîé îáúåìà íà íåé. Èíêàðíàöèè òåîðåìû Ñòîêñà. 10) Ïóñòü v âåêòîðíîå ïîëå íà ïëîñêîñòè V = R2 èëè â ïðîñòðàíñòâå V = R3 , è ïóñòü γ : [a, b] → V êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ. Áóêâà r áóäåò îáîçíà÷àòü ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè â V (òî åñòü r = (x, y) èëè r = (x, y, z)). Ëèíåéíûì èíòåãðàëîì ïîëÿ v âäîëü êðèâîé ∫ ∫b γ íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë γ v(r)dr = a (v, γ̇(t))dt. Åñëè êðèâàÿ γ çàìêíóòà, òî ëèíåéíûé èíòåãðàë ïî íåé íàçûâàåòñÿ öèðêóëÿöèåé v âäîëü γ . Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè f , çàäàííîé íà îáëàñòè D ⊆ V , è ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé γ â D, ìû èìååì ∫ grad f (r) dr = f (γ(b)) − f (γ(a)). γ  ÷àñòíîñòè, öèðêóëÿöèÿ ãðàäèåíòà ïî çàìêíóòîé êðèâîé ðàâíà íóëþ. 11) Ïóñòü v(x, y) = (v 1 (x, y), v 2 (x, y)) âåêòîðíîå ïîëå íà ïëîñêîñòè. Åãî âèõðåì íàçûâàåòñÿ 2 1 ôóíêöèÿ curl v = ∂v − ∂v . Äîêàæèòå ôîðìóëó Ãðèíà: ∂x ∂y ∫ ∫ v(r) dr = curl v dx dy, C D ãäå D îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêèì çàìêíóòûì êîíòóðîì C (âîçìîæíî, èç íåñêîëüêèõ êîìïîíåíò), è ïðè èíòåãðèðîâàíèè êîíòóð C ïðîõîäèòñÿ â òàêîì íàïðàâëåíèè, ÷òîáû îáëàñòü D îñòàâàëàñü ñëåâà. ∫ 12) Âû÷èñëèòå èíòåãðàë C (xy 2 dx − x2 ydy), ãäå C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = R2 } îêðóæíîñòü ðàäèóñà R. 13) Ïóñòü v âåêòîðíîå ïîëå â ïðîñòðàíñòâå. Ïîòîêîì âåêòîðíîãî ïîëÿ v ÷åðåç îðèåíòèðî∫ âàííóþ ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë S (v, n)ds, ãäå n âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê S åäèíè÷íîé äëèíû, à ds ýëåìåíò ïëîùàäè íà ïîâåðõíîñòè S . ∂ ∂ ∂ Ïîëîæèì ∇ = ( ∂x , ∂y , ∂z ) (òðåõìåðíûé âåêòîð, ñîñòîÿùèé èç îïåðàòîðîâ). Äèâåðãåíöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ v íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ div v = ∇ · v (ôîðìàëüíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ). Äîêàæèòå ôîðìóëó ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî ∫ ∫ (v, n) ds = div v dx dy dz, S D ãäå D îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå, îãðàíè÷åííàÿ çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ S . 14) Íàéäèòå îáúåì ïîëíîòîðèÿ òåëà, îãðàíè÷åííîãî ïîâåðõíîñòüþ èç çàäà÷è 5. 15) Ðîòîðîì âåêòîðíîãî ïîëÿ v íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå rot v = ∇ × v (ôîðìàëüíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàñêðûâàåòñÿ êàê îáû÷íî). Äîêàæèòå ôîðìóëó Ñòîêñà ∫ ∫ v dr = (rot v, n) ds, C S ãäå S îðèåíòèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå, çàòÿãèâàþùàÿ çàìêíóòûé êîíòóð C , (ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèå ñîãëàñîâàíèÿ îðèåíòàöèé S è C ). 16) Âû÷èñëèòå èíòåãðàë ∫ (x2 − yz)dx + (y 2 − xz)dy + (z 2 − xy)dz γ ïî îòðåçêó âèíòîâîé ëèíèè x = a cos t, y = a sin t, z= 2 h t, 2π 0 6 t 6 2π.