11. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 11.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò âèä: Pξ Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Eξ = X ... ... x1 p1 xn pn ... ... xi pi i ïðè óñëîâèè, ÷òî ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, èíà÷å Eξ íå ñóùåñòâóåò. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Var ξ = E(ξ − Eξ)2 = Eξ 2 − (Eξ)2 = X i x2i pi − X xi pi 2 i ïðè óñëîâèè, ÷òî ðÿäû ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî, èíà÷å Var ξ íå ñóùåñòâóåò. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè g îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíî Eg(ξ) = P g(xi )pi . i 11.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå, çàäàâàåìîå ôîðìóëàìè P(ξ = k) = c/kα , k = 1, 2, . . ., c, α > 0. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ α âåëè÷èíà ξ èìååò: à) êîíå÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå; á) êîíå÷íóþ äèñïåðñèþ? à) α > 2; á) α > 3. Áðîøåíû äâå èãðàëüíûå êîñòè. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû âûïàâøèõ î÷êîâ. Êàê èçìåíèòñÿ îòâåò, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âûïàëè ðàçíûå ãðàíè? 7. Íèêàê. Ïóñòü ξ íåîòðèöàòåëüíàÿ öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ êîíå÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäà∞ P íèåì. Äîêàçàòü, ÷òî Eξ = P(ξ ≥ i). i=1 Áîëüøîå ÷èñëî N ëþäåé ñäàþò àíàëèç êðîâè. Èññëåäîâàíèå ìîæåò áûòü îðãàíèçîâàíî äâóìÿ ñïîñîáàìè. 1) Êðîâü êàæäîãî ÷åëîâåêà èññëåäóåòñÿ îòäåëüíî. Òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè N àíàëèçîâ. 2) Êðîâü k ÷åëîâåê ñìåøèâàåòñÿ è àíàëèçèðóåòñÿ ïîëó÷åííàÿ ñìåñü. Åñëè ðåçóëüòàò îòðèöàòåëåí, òî äîñòàòî÷íî îäíîãî àíàëèçà äëÿ ýòèõ k ÷åëîâåê. Åñëè ðåçóëüòàò ïîëîæèòåëåí, òî êðîâü êàæäîãî èññëåäóåòñÿ îòäåëüíî, è âñåãî íóæíî ïðîâåñòè k + 1 àíàëèç. Ñ÷èòàÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîëîæèòåëüíîãî ðåçóëüòàòà ðàâíà p, íàéòè: à) âåðîÿòíîñòü ïîëîæèòåëüíîãî ðåçóëüòàòà â ãðóïïå èç k ÷åëîâåê; á) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà àíàëèçîâ ïðè âòîðîì ñïîñîáå èññëåäîâàíèÿ; 1. Îòâåò. 2. Îòâåò. 3. 4. 1 â) äëÿ p = 0.05 îïðåäåëèòü îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå k. à) 1 − (1 − p)k ; á) N (1 + k1 − (1 − p)k ); â) 5. Ñîãëàñíî çàêîíàì î òðóäîóñòðîéñòâå â ãîðîäå N, íàíèìàòåëè îáÿçàíû ïðåäîñòàâëÿòü âñåì ðàáî÷èì âûõîäíîé, åñëè õîòÿ áû ó îäíîãî èç íèõ äåíü ðîæäåíèÿ, è ïðèíèìàòü íà ðàáîòó íåçàâèñèìî îò äíÿ ðîæäåíèÿ. Çà èñêëþ÷åíèåì ýòèõ âûõîäíûõ, ðàáî÷èå òðóäÿòñÿ âåñü ãîä èç 365 äíåé. Íàíèìàòåëü õî÷åò ìàêñèìèçèðîâàòü ñðåäíåå ÷èñëî ÷åëîâåêî-äíåé â ãîäó. Ñêîëüêî äëÿ ýòîãî íóæíî íàíÿòü ðàáî÷èõ? Íàéòè òàêæå ñðåäíåå ÷èñëî âûõîäíûõ äíåé â ãîäó â ýòîì ñëó÷àå. 364 ÷åëîâåêà, ≈ 231 âûõîäíîé äåíü. Ïóñòü wn ÷èñëî âûõîäíûõ äíåé â ãîäó, åñëè íàíÿòî n ðàáî÷èõ. Íàéòè Ewn , íàïðèìåð, ïðåäñòàâèâ wn â âèäå ñóììû èíäèêàòîðîâ. Îòâåò. 5. Îòâåò. Óêàçàíèå. 11.3. Äîìàøíåå çàäàíèå 4 , k = 1, 2, . . .. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè P(ξ = k) = k(k+1)(k+2) Íàéòè Eξ è Var ξ. Eξ = 2, Var ξ = ∞. Ïðè áðîñàíèè òðåõ èãðàëüíûõ êîñòåé èãðîê âûèãðûâàåò • 1800 ó. å., åñëè íà âñåõ òðåõ êîñòÿõ âûïàäàåò ïî 6 î÷êîâ; • 140 ó. å., åñëè íà äâóõ êîñòÿõ âûïàäàåò ïî 6 î÷êîâ; • 20 ó. å., åñëè òîëüêî íà îäíîé êîñòè âûïàäàåò 6 î÷êîâ. Êàêîâà äîëæíà áûòü ñòàâêà çà ó÷àñòèå â ýòîé èãðå, ÷òîáû îíà áûëà áåçîáèäíîé? (Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûèãðûøà â áåçîáèäíîé èãðå ðàâíî íóëþ.) 25 ó. å. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò êîíå÷íîå√ ÷èñëî çíà÷åíèé 0 < x1 < . . . < xm ñ íåíóëåâûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Âû÷èñëèòü ïðåäåëû n→∞ lim EξEξ , lim Eξ n . n→∞  îäíîé èç âåðøèí òåòðàýäðà ñèäèò ïàóê. Ìóõà ïîëçàåò ïî ðåáðàì òåòðàýäðà èç îäíîé âåðøèíû â äðóãóþ, âûáèðàÿ êàæäûé ðàç ðåáðî íàóäà÷ó. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ðåáðî ïðîõîäèòñÿ çà åäèíèöó âðåìåíè, íàéòè ñðåäíåå è äèñïåðñèþ âðåìåíè æèçíè ìóõè. 3 è 6. 6. Îòâåò. 7. Îòâåò. 8. n+1 n n 9. Îòâåò. 2