(4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà c(t2 + t) ïðè 1 6 t 6 2, fξ (t) = 0 èíà÷å. à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ, â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû √ξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ). 2 (2 áàëëà). Èç êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 2, 2, 3, íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ îäíà. à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íà âûáðàííîé êàðòî÷êå, á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ýòî ÷èñëî ÷¼òíîå. 3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂ = U1, 2 , ϕ ⊂ = B2/3 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ max(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå. 4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì p = 1/3η, η = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 3 . 5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = 2, σ2 = 4. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ − 3η − 3 è −2ξ + 1. 6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü h[0, 1], B([0, 1]), λ(·)i âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîñòðîèòü äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η òàêèå, ÷òî ρ(ξ, η) = 1, íî ïðè ëþáûõ a 6= 0 è b ðàâåíñòâî η(ω) = aξ(ω) + b âûïîëíåíî íå ïðè âñåõ ω ∈ [0, 1]. ÔÈÎ Ãðóïïà 1 1a 1á 1â 1ã 2à 2á 3 4 5 6 P (4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà c(t + 2) ïðè 1 6 t 6 3, fξ (t) = 0 èíà÷å. à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ, â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû eξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ). 2 (2 áàëëà). Èç óðíû, â êîòîðîé äâà áåëûõ è òðè ÷¼ðíûõ øàðà, íàóäà÷ó áåðóò òðè øàðà. à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âûíóòûõ áåëûõ øàðîâ, á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ñðåäè âûíóòûõ øàðîâ åñòü õîòÿ áû îäèí áåëûé øàð. 3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂ = E2 , ϕ ⊂ = B3/4 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ min(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå. 4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ = 2, η = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 7η. 5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = 1, σ2 = 9. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 2ξ − 5η − 3 è −3η. 6∗ (3 áàëëà). Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå. Êàêèì ñâîéñòâîì äîëæíà îáëàäàòü å¼ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òîáû ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà min(|ξ|, 2) èìåëà àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå? ÔÈÎ Ãðóïïà 1 1a 1á 1â 1ã 2à 2á 3 4 5 6 P (4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà c(2t2 + 1) ïðè 0 6 t 6 2, fξ (t) = 0 èíà÷å. à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ, â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû −2ξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ). 2 (2 áàëëà). Èç êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 1, 1, 4, íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ îäíà. à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íà âûáðàííîé êàðòî÷êå, á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ýòî ÷èñëî ÷¼òíîå. 3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂ = U2, 3 , ϕ ⊂ = B1/3 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ max(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå. 4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξ7 íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n = 2 è p = 1/3 , η = ξ1 + . . . + ξ7. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 2η. 5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = −2, σ2 = 16. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 5ξ − η − 1 è 4ξ. 6∗ (3 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì 1/2. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí min(ξ1, . . . , ξn) è max(ξ1, . . . , ξn). ÔÈÎ Ãðóïïà 1 1a 1á 1â 1ã 2à 2á 3 4 5 6 P (4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà c(t2 + 1) ïðè 0 6 t 6 3, fξ (t) = 0 èíà÷å. à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ, â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ). 2 (2 áàëëà). Âåðîÿòíîñòü èçãîòîâëåíèÿ íåñòàíäàðòíîé äåòàëè ðàâíà 1/5. Êîíòðîë¼ð áåð¼ò èç ïàðòèè äåòàëè îäíó çà äðóãîé, íî íå áîëåå òð¼õ. Ïðè îáíàðóæåíèè íåñòàíäàðòíîé äåòàëè ïðîâåðêà ïðåêðàùàåòñÿ. à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïðîâåðåííûõ â ïàðòèè äåòàëåé, á) Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ïåðâàÿ ïðîâåðåííàÿ äåòàëü ñòàíäàðòíà. 3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂ = E3 , ϕ ⊂ = B1/4 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ min(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå. 4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ = 3, ηη = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 2 . 5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = −2, σ2 = 16. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 5ξ − η − 1 è 4ξ + 2 . 6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 ïîëîæèòåëüíû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Ïðèâåñòè ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî íå îáÿçàòåëüíî E ξξ1 = E ξξ2 , äàæå åñëè ýòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ 2 1 ñóùåñòâóþò. ÔÈÎ Ãðóïïà 1 1a 1á 1â 1ã 2à 2á 3 4 5 6 P (4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà c(3t − 1) ïðè 1 6 t 6 3, fξ (t) = 0 èíà÷å. à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ, â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû √ξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ). 2 (2 áàëëà). Èç êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 1, 3, 3, íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ îäíà. à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íà âûáðàííîé êàðòî÷êå, á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ýòî ÷èñëî íå÷¼òíîå. 3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂ = U1, 3 , ϕ ⊂ = B3/5 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ max(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå. 4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξ4 íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n = 3 è p = 2/3 , η = ξ1 + . . . + ξ4. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 5η. 5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = 2, σ2 = 16. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ − 5η − 2 è −4η. 6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü h[0, 1], B([0, 1]), λ(·)i âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîñòðîèòü äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η òàêèå, ÷òî ρ(ξ, η) = −1, íî ïðè ëþáûõ a 6= 0 è b ðàâåíñòâî η(ω) = aξ(ω) + b âûïîëíåíî íå ïðè âñåõ ω ∈ [0, 1]. ÔÈÎ Ãðóïïà 1 1a 1á 1â 1ã 2à 2á 3 4 5 6 P (4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà c(t2 − 2t) ïðè 2 6 t 6 4, fξ (t) = 0 èíà÷å. à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ, â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ). 2 (2 áàëëà). Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ áàñêåòáîëüíîãî ìÿ÷à â êîëüöî ïðè áðîñàíèè íà÷èíàþùèì ñïîðòñìåíîì ðàâíà 0,1. Ìÿ÷ áðîñàþò äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ, íî äàþò íå áîëåå òð¼õ ïîïûòîê. à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âûïîëíåííûõ áðîñêîâ, á) Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ÷èñëà âûïîëíåííûõ áðîñêîâ è ÷èñëà ïðîìàõîâ ïðè ïåðâîì áðîñêå. 3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂ = E4 , ϕ ⊂ = B5/6 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ min(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå. 4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ = 2, ηη = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 3 . 5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = −1, σ2 = 4. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 3ξ − η − 1 è 2ξ. 6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü ξ è η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò Eξ è Eη, òî ñóùåñòâóåò E max{ξ, η}. Ïðèâåñòè ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî îáðàòíîå íåâåðíî. ÔÈÎ Ãðóïïà 1 1a 1á 1â 1ã 2à 2á 3 4 5 6 P (4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà c(t2 + 7t) ïðè − 3 6 t 6 −1, fξ (t) = 0 èíà÷å. à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ, â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû −2ξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ). 2 (2 áàëëà). Èç êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 2, 3, 3, íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ îäíà. à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íà âûáðàííîé êàðòî÷êå, á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ýòî ÷èñëî ÷¼òíîå. 3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂ = U1, 3 , ϕ ⊂ = B2/3 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ max(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå. 4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì p = 1/3η, η = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 5 . 5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = 1, σ2 = 9. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ − 3η − 3 è −2ξ + 3. 6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ðàçíûìè ïàðàìåòðàìè p1 è p2. Äîêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ν = min(ξ, η) òàêæå èìååò ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàéòè ïàðàìåòð ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. ÔÈÎ Ãðóïïà 1 1a 1á 1â 1ã 2à 2á 3 4 5 6 P (4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà c(t2 − 2t) ïðè 1 6 t 6 2, fξ (t) = 0 èíà÷å. à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ, â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû eξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ). 2 (2 áàëëà). Èç óðíû, â êîòîðîé äâà áåëûõ è òðè ÷¼ðíûõ øàðà, íàóäà÷ó áåðóò òðè øàðà. à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âûíóòûõ áåëûõ øàðîâ, á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ñðåäè âûíóòûõ øàðîâ åñòü õîòÿ áû îäèí ÷¼ðíûé øàð. 3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂ = E3 , ϕ ⊂ = B3/5 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ min(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå. 4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ = 2, η = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 3η. 5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = −1, σ2 = 16. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 2ξ − η − 3 è 3η + 1 . 6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü ξ èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïîëîæèì η = 0 ïðè ξ 6 0 è η = 1 ïðè ξ > 0. Äîêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû |ξ| è η íåçàâèñèìû. ÔÈÎ Ãðóïïà 1 1a 1á 1â 1ã 2à 2á 3 4 5 6 P