#$ ÊÂÀÍT 2002/¹5 2. Íàéäèòå, ñêîëüêî âóëêàíîâ íàñ÷èòûâàåòñÿ íà ïëàíåòå, åñëè â èñêîìîì ÷èñëå äåñÿòêîâ íà 3 áîëüøå, ÷åì ñîòåí, à åäèíèö íà 4 ìåíüøå, ÷åì äåñÿòêîâ, ïðè÷åì ïîëóñóììà âñåõ öèôð ÷èñëà ðàâíà öèôðå äåñÿòêîâ. 3. Ñêîëüêèìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè èç ëèñòà êëåò÷àòîé áóìàãè m × n ìîæíî âûðåçàòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè, èäóùèìè ïî ëèíèÿì ñåòêè? 4. Íàéäèòå âñå öåëûå n, ïðè êîòîðûõ ìîäóëü òðåõ÷ëåíà n2 − 7n + 10 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì. 5. Äâà èãðàëüíûõ êóáèêà áðîñàþò äâà ðàçà ïîäðÿä. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü P ( A) ñîáûòèÿ À òîãî, ÷òî îáà ðàçà âûïàäåò îäíà è òà æå ñóììà î÷êîâ? Êîììåíòàðèè. 1) Âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ îïðåäåëåííîé ñóììû î÷êîâ ïðè áðîñàíèè äâóõ êóáèêîâ ðàâíà n/N, ãäå n ÷èñëî òåõ êîìáèíàöèé î÷êîâ íà êóáèêàõ, êîòîðûå äàþò ýòó ñóììó, à N ÷èñëî âñåõ âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé î÷êîâ íà êóáèêàõ. 2) Âåðîÿòíîñòü êîìáèíàöèè òèïà «ïðè ïåðâîì áðîñàíèè â ñóììå âûïàëî 10, à ïðè âòîðîì 6 î÷êîâ» ðàâíà P (10,6 ) = P (10 ) ⋅ P (6 ) , ãäå P (10 ) âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ 10 î÷êîâ â ïåðâîì áðîñêå, à P (6 ) âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ 6 î÷êîâ âî âòîðîì áðîñêå. 3) Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü P ( A ) ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé âñåõ êîìáèíàöèé, ïðèâîäÿùèõ ê ñîáûòèþ À. 9 êëàññ 1. Ïðîãóëèâàÿñü ïî ãîðîäó, òðîå ñòóäåíòîâ-ìàòåìàòèêîâ çàìåòèëè, ÷òî âîäèòåëü àâòîìàøèíû ãðóáî íàðóøèë ïðàâèëà óëè÷íîãî äâèæåíèÿ. Íîìåð ìàøèíû (÷åòûðåõçíà÷íûé) ñòóäåíòû íå çàïîìíèëè, íî êàæäûé èç íèõ ïðèìåòèë ïî îäíîé åãî îñîáåííîñòè: 1) äâå ïåðâûå öèôðû ÷èñëà áûëè îäèíàêîâû; 2) äâå ïîñëåäíèå öèôðû ñîâïàäàëè; 3) ÷èñëî ÿâëÿëîñü òî÷íûì êâàäðàòîì. Ìîæíî ëè ïî ýòèì äàííûì óçíàòü íîìåð ìàøèíû? 2. Äëÿ íóìåðàöèè ñòðàíèö êíèãè ïîòðåáîâàëîñü âñåãî 1392 öèôðû. Ñêîëüêî ñòðàíèö â ýòîé êíèãå? 3. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå õó + 3õ 5ó =3. 4. Íàéäèòå ñóììó 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + 7 ⋅ 9 + K + 999 ⋅ 1001 . 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2 x − 1 4x 2 − 4x − 3 = 4 . 2 (Çäåñü êâàäðàòíûå ñêîáêè îçíà÷àþò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà.) 10 êëàññ 1. Ìîæíî ëè ê ÷èñëó 9999 ïðèïèñàòü ñïðàâà åùå ÷åòûðå öèôðû òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííîå âîñüìèçíà÷íîå ÷èñëî ñòàëî êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà? 2. Íàéäèòå âñå òðîéêè öåëûõ ÷èñåë õ, ó, z, óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå íåðàâåíñòâ x 2 < y , y2 < z , z 2 < x . 3. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé x1 + 2x2 + K + 9 x9 + 10x10 = 55, x + 2x + K + 9x + 10x = 55, 2 3 10 1 ......................................... x10 + 2x1 + K + 9x8 + 10x9 = 55. 4. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå 1 + x + x2 + x3 = 2y . 5. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 2x2 − 2xy + 5y2 + 2x + 2y . VI Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» Òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» ÷àñòü ïðîãðàììû Ìåæäóíàðîäíîãî èíòåëëåêò-êëóáà «ÃËÞÎÍ», ïðîâîäèìîé ñ öåëüþ ïîèñêà, îòáîðà è ïîääåðæêè èíòåëëåêòóàëüíî-îäàðåííûõ äåòåé, ïðîÿâëÿþùèõ èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì è èíôîðìàòèêå. Óíèêàëüíîñòü è íîâèçíà ýòîãî òóðíèðà ñîñòîÿò â òîì, ÷òî âñå çàäà÷è ïðåäïîëàãàåòñÿ ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íà êîìïüþòåðå. Äëÿ ó÷àñòèÿ â òóðíèðå ïðèãëàøàþòñÿ êîìàíäû øêîëüíèêîâ (5 ÷åëîâåê), îáëàäàþùèõ çíàíèåì ôèçèêè è íàâûêàìè ðàáîòû íà IBM PC. Òóðíèð ïðîâîäèòñÿ â âèäå èíòåëëåêòóàëüíîãî ñîðåâíîâàíèÿ ìåæäó êîìàíäàìè â äâà òóðà çàî÷íûé è î÷íûé. Âñåì çàÿâëåííûì ó÷àñòíèêàì ðàññûëàþòñÿ çàäàíèÿ çàî÷íîãî òóðà, à ïî ðåçóëüòàòàì âûïîëíåíèÿ ýòèõ çàäàíèé ôîðìèðóåòñÿ ñîñòàâ ó÷àñòíèêîâ î÷íîãî òóðà ñîðåâíîâàíèé. Ðàññêàæåì ïîäðîáíåå îá î÷íîì òóðå VI Ìåæäóíàðîäíîãî òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà», ïðîõîäèâøåì ñ 27 ÿíâàðÿ ïî 3 ôåâðàëÿ 2002 ãîäà â ãîðîäå Äóáíå. Øåñòü êîìàíä èç 45, ïðèíÿâøèõ ó÷àñòèå â çàî÷íîì òóðå, áûëè ïðèãëàøåíû íà ôèíàëüíóþ ÷àñòü ñîðåâíîâàíèé. Òóðíèð ïðîøåë ïðè ó÷àñòèè Îáúåäèíåííîãî èíñòèòóòà ÿäåðíûõ èññëåäîâàíèé (ÎÈßÈ), Ìåæðåãèîíàëüíîé àññîöèàöèè «Æåíùèíû â íàóêå è îáðàçîâàíèè» è ïðè ïîääåðæêå êîìïàíèé «1Ñ», «Ôèçèêîí», «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Èíòåë» (Ìîñêîâñêîå ïðåäñòàâèòåëüñòâî), à òàêæå Ñîðîñîâñêîé ïðîãðàììû â îáëàñòè òî÷íûõ íàóê. Ãåíåðàëüíûì ñïîíñîðîì òóðíèðà âûñòóïèëà êîìïàíèÿ «Íà÷àëî êîîðäèíàò», ïðåäîñòàâèâøàÿ ó÷àñòíèêàì êîìïüþòåðû òèïà «Notebook» è çàìå÷àòåëüíûå ïðèçû. Çàùèòà çàäàíèÿ çàî÷íîãî òóðà («Êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå») ïðîõîäèëà â çàìå÷àòåëüíîì, ñîâðåìåííî îáîðóäîâàííîì êîìïüþòåðíîì çàëå Ìåæäóíàðîäíîãî óíèâåðñèòåòà «Äóáíà». Êàæäîé êîìàíäå áûëî ïðåäëîæåíî âûñòóïèòü ñ äîêëàäîì è ðàññêàçàòü î ðåçóëüòàòàõ ðåøåíèÿ çàî÷íîãî çàäàíèÿ. Îñòàëüíûå êîìàíäû â ýòîò ìîìåíò èñïîëíÿëè ðîëè îïïîíåíòîâ è ðåöåíçåíòîâ. Íàó÷íàÿ äèñêóññèÿ äîêëàä÷èêîâ, îïïîíåíòîâ è ðåöåíçåíòîâ çàâåðøèëàñü ïîáåäîé êîìàíäû ÔÌË 1511 ïðè Ìîñêîâñêîì èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêîì èíñòèòóòå (ÌÈÔÈ).