теоретические основы построения геометрических объектов на

Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
Пермский государственный технический университет
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Пермь 2006
УДК 514.18(075.8)
Рецензенты:
Доцент Пермского государственного технического университета
И. А. Турицына
Доцент Пермского государственного технического университета
Л. В. Кочурова
Боброва Л. Г., Верещагина Т. А., Микова В. В.
Теоретические основы построения геометрических объектов на
планах: Учебное пособие / Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь, 2006. —
37 с.
Изложены теоретические основы построения геометрических
объектов в проекциях с числовыми отметками, которые широко применяются в различных сферах инженерной деятельности, в том числе
и горно-инженерной практике.
Предназначено для студентов строительных и горных специальностей втузов дневной, заочной и дистанционной форм обучения, а
также для учащихся средних специальных учебных заведений.
УДК 514.18(0.75.8)
© Пермский государственный
технический университет, 2006
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
ВВЕДЕНИЕ
При анализе земных недр очень часто обращаются к геометрии как
разделу математики. Основной метод, которым пользуется геометрия недр,
является метод изолиний, в основе которого лежат проекции с числовыми отметками. Они широко применяются в различных сферах инженерной деятельности, в том числе и горно-инженерной. Им придается особое
значение, так как это не только метод отображения геометрии залегания
месторождений, но и универсальный метод решения многих горногеометрических задач, хотя при анализе недр не исключаются и другие виды проекций.
Чертежи в проекциях с числовыми отметками выполняются на основе методов начертательной геометрии и дают представление о форме, размерах, положении в пространстве и взаимном положении объектов. При
этом горизонтальные проекции изображаемых объектов называются их
планами. На плане положение точек пространства определяется их координатами по осям x и y, а координаты по оси z (или h) устанавливаются в
соответствии с масштабом чертежа по численному значению.
Проекции с числовыми отметками наиболее рациональны при выполнении чертежей поверхностей сложных криволинейных форм, у которых вертикальные (высотные) размеры относительно невелики по сравнению с их горизонтальными параметрами. Поэтому в этих проекциях обычно выполняются чертежи топографических поверхностей, к числу которых
относятся поверхности наиболее сложных конфигураций, геометрические
законы образования которых неизвестны (рельеф местности, поверхность
залежи полезного ископаемого, поверхность горных выработок и т. д.).
В проекциях с числовыми отметками могут также отображаться и
абстрактные образы. Например, изменение отношения толщин слоев пустых пород и полезного ископаемого (так называемый коэффициент
вскрыши) в пределах определенного участка можно выразить в виде множества точек с числовыми отметками. При этом числовые отметки характеризуют величину коэффициента вскрыши в каждой точке.
Основные графические документы горных предприятий (планы горных работ, поэтажные, погоризонтные, сводные и другие планы) выполняются в проекциях с числовыми отметками. На этих чертежах решаются
главные технологические задачи горного производства. Поэтому знание
этого метода отображения для горного инженера обязательно.
3
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА
ПРОЕКЦИЙ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ
Изображать на комплексном чертеже, в перспективе или аксонометрии инженерные сооружения, высота которых значительно меньше их
размеров на плане (полотна железных или автомобильных дорог, дамбы,
аэродромы и др.) оказывается неприемлемым. В этом случае используют
метод проекций с числовыми отметками. Он применяется в строительстве
для изображения и проектирования на земной поверхности различных инженерных сооружений (строительные площадки, плотины, котлованы, насыпи, выемки, искусственные сооружения, дороги, траншеи для прокладки
трубопроводов и т.д.), в горном деле, геодезии, для изображения рельефа
местности. Достоинствами проекций с числовыми отметками являются
простота построений и удобство измерения.
Сущность метода заключается в ортогональном проецировании
геометрического объекта на одну, чаще горизонтальную, плоскость проекций, называемую плоскостью нулевого уровня П0 с указанием численного значения расстояния (обычно в метрах) от характерных точек объекта
до данной плоскости проекций в единицах указанного линейного масштаба
(рис.1, а). Такие чертежи называют планами (рис.1, б). При проецировании земной поверхности за плоскость нулевого уровня принимают уровень
воды в Балтийском море.
A
B
O
x
C3
A6
Ï0
C
1
O
x
B4
C3
Ï0 A6
y
B4
y
0 1 2 3ì
1
а
0 1 2 3ì
б
Рис. 1
2. ПРЯМАЯ
Прямую на плане можно задать горизонтальными проекциями
двух точек или горизонтальной проекцией одной точки и уклоном i
(рис.2, а, б).
4
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
A6
i=
2 :3
A 16
C3
1 0 1 2 3ì
1 0 1 2 3ì
а
б
Рис. 2
Длину горизонтальной проекции прямой называют заложением и
обозначают буквой L (рис. 3 ), а ∆h = hA – hВ – превышением точки А над
точкой В.
Уклон прямой i равен тангенсу угла α, являющемуся углом наклона
прямой к плоскости П0 (или углом падения прямой):
i=tgα = ∆ h / L.
Он может быть задан дробью, в градусах, процентах, а также в промилях (10/00 = 0,001).
A
x
ÀÂ
i
ïðîôèëü ïðÿìîé
∆h
B
α
O
l
Ï0
L
A6
B3
y
1 0 1 2 3ì
Рис. 3
5
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Заложение прямой, приходящееся на единицу превышения, называют интервалом прямой и обозначают буквой l. Из определения уклона
прямой и ее интервала следует, что эти величины обратные:
l=1/i,
то есть по интервалу на чертеже можно судить об уклоне прямой в пространстве.
Интервал необходимо знать, чтобы на заложении прямой можно
было определить отметки с целочисленными значениями. Для этого проекцию прямой нужно проградуировать. Градуирование прямой – это действия по установлению интервала прямой. Проградуировать прямую можно графически или аналитически.
Графически можно проградуировать прямую:
1. Методом профиля прямой (рис. 4). Для этого проводят проецирующую плоскость через заложение прямой, поднимают заданные проекции точек на соответствующие высотные отметки в единицах выбранного
линейного масштаба. Затем проецирующую плоскость совмещают с плоскостью нулевого уровня. Дальнейшие построения по определению целочисленных отметок на заложении прямой видны на рисунке.
ÀÂ
i
A
ïðîôèëü ïðÿìîé
B
α
∆h
l
A6
5 L
4
1 0 1 2 3ì
Рис. 4
6
3
B 2,8
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
2. Методом пропорционального деления (рис. 5). Из любой крайней точки заданной проекции отрезка АВ под любым углом (кроме 0° и
180°) проводят вспомогательную прямую, на которой откладывают равные
отрезки произвольной длины. Общее количество этих отрезков должно
быть равно разности высотных отметок двух точек прямой. На примере это
3 (6-3). Затем конечные точки вспомогательного и градуируемого отрезков
соединяются прямой. А далее параллельно этой прямой проводят прямые,
отсекающие на градуируемом отрезке искомые точки.
3. Методом масштабной сетки или методом углового масштаба
уклонов (рис. 6). Он используется, если известен уклон прямой. Строится
масштабная сетка, в которой сторона квадрата равняется единице выбранного линейного масштаба. По вертикальной шкале откладываются отметки
высот, по горизонтальной – заложения. Например, уклон прямой равен 3:2.
Тогда вверх откладывают 3 единицы (∆h), а по горизонтали – 2 (L) и получают точку А. Соединяя ее с точкой О, проводят прямую. Угол между прямой и горизонтальной шкалой – угол падения прямой α (угол наклона
прямой к горизонтальной плоскости нулевого уровня). Заложение, приходящееся на единицу превышения, равно интервалу прямой.
Градуирование прямой аналитически (рис. 7). Пусть требуется
проградуировать прямую с отметками А3,8 и В6,4 и на ней найти точки с
отметками целых чисел.
C
γ
A6
l
5
B3
4
1 0 1 2 3ì
Рис. 5
7
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Для решения данной задачи сначала применяют формулу:
l = L /∆ h ,
где L= 5,2 единицам выбранного линейного масштаба, ∆ h = 6,4-3,8. Подставляя в формулу соответствующие значения, находят l = 2. Далее находят положение точки С, ближайшей к точке А3,8, с отметкой 4. Она определяется следующим образом:
Xc = l (4-3,8) = 2 x 0,2=0,4 м.
От точки С откладывают интервал по 2 м и отмечают точки с отметками 4, 5 и 6.
h
i = 2 :3
2
1
0 l
l
A6
4
5
1
3
0 1
α
L
2 3ì
Рис. 6
x
A 3,8
B 6,4
C
6
5
4
1
0 1
x
l
Рис. 7
8
2 3ì
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
3. ПЛОСКОСТЬ
Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана
так же, как на комплексном чертеже. Однако принято задавать плоскость
проекциями прямых и точек (рис. 8, а, б), горизонталью и величиной уклона плоскости (рис.8, в) масштабом уклона плоскости или масштабом заложения (рис. 8, г).
4
5
4
15
6
6
4
6
а
б
h3
Σi
7
6
5
i=1:2
4
в
г
1 0 1 2 3ì
Рис. 8
Если в какой-то плоскости Р провести горизонтали через единичные
высотные отметки и перпендикулярно им линию наибольшего ската, а затем спроецировать все это на плоскость нулевого уровня, то получим проградуированную проекцию линии наибольшего ската (рис. 9). Она называется масштабом уклона плоскости (масштаб заложения). Расстояние между
любыми соседними делениями масштаба уклона плоскости, соответствующее единице превышения, является интервалом линии наибольшего
ската, а соответственно и интервалом плоскости (рис. 10).
9
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Ëèíèÿ íàèáîëüøåãî ñêàòà
ïëîñêîñòè
h4
h3
h2
Óãîë ïàäåíèÿ
ïëîñêîñòè
P
h1
h0
4
α
3
2
4
C
3
1
Pi
2
1
Ï0
ϕ
0
Óãîë ïðîñòèðàíèÿ
ïëîñêîñòè
Ìàñøòàá óêëîíà
ïëîñêîñòè
Íàïðàâëåíèå ïðîñòèðàíèÿ
ïëîñêîñòè
1 0 1 2 3ì
Рис. 9
Åäèíèöà ëèíåéíîãî
ìàñøòàáà
C
Ïðîôèëü
ïëîñêîñòè
ϕ
3
2
lp
0
Pi
1
α
1
0
Рис. 10
10
1
2
3ì
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
Положение плоскости в пространстве определяется ее углами падения α и простирания ϕ. Угол, образованный данной плоскостью и плоскостью П0, называют углом падения плоскости.
Направлением простирания плоскости считают правое направление
ее горизонталей, если смотреть на плоскость в сторону возрастания отметок.
Углом простирания плоскости называют угол, расположенный
между лучами северного направления меридиана земли и направлением
простирания.
При любом задании плоскости всегда можно построить ее масштаб
уклона и провести в ней горизонтали. Пусть плоскость задана тремя точками А2, В5, С3 (рис. 11). Требуется построить ее масштаб уклона, т. е. проградуировать плоскость. Сначала градуируют прямую АВ, находят на
ней числовую отметку такую же, какую имеет точка С. Соединив точки,
получают горизонталь на отметке 3. Параллельно ей проводят другие горизонтали. Перпендикулярно им строится масштаб уклона.
B5
Pi
C3
A2
5
4
3
2
1
0
1
2
3ì
Рис. 11
4. ПОВЕРХНОСТИ
В числовых отметках различают геометрические и графические поверхности. Графической называется поверхность, закон образования которой неизвестен. Примерами таких поверхностей могут служить корпуса
судов и самолетов и т.д. Также примером графической поверхности является поверхность земли, которую называют топографической (рис. 12).
К геометрическим поверхностям относятся все линейные и кривые
поверхности, образование которых подчинено определенным геометрическим законам. Например, конические (рис. 13, а, б), цилиндрические и
сферические (рис. 14, а, б). На плане поверхности задают проекциями го11
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ризонталей, которые получают при рассечении поверхности пучком параллельных секущих плоскостей, отстоящих друг от друга на единицу линейного масштаба. Строят профиль поверхности и определяют положение
ее горизонталей, имеющих целочисленное значение. Это называется градуированием поверхности. Также в числовых отметках используют гранные поверхности, которые могут быть заданы проекциями ребер с указаниями их вершин или отметкой плоскости (грани) и уклонами откосов
(рис. 15, а, б).
25
24
23
22
24
23
22
21
Рис. 12
h
4
h
4
3
3
2
2
1
1
0
0
S4
3
2
1
0
S0
1
2
3
4
а
б
Рис. 13
12
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
h
h
4
3
2
3
0
1
2
1
0
0
1
2
3
0
1
2
3
3,3
4
а
б
Рис. 14
C4
i
i
+32,00
i
S8
i
A2
B5
а
б
Рис. 15
В практике большое применение находят поверхности одинакового
ската (рис. 16), представляющие собой огибающую семейства прямых
круговых конусов, вершины которых лежат на некоторой пространственной кривой линии. Поскольку оси всех конусов вертикальны, а углы наклона конусов равны, то формируемая при этом поверхность одинакового
ската Ψ будет линейчатой: все образующие этой поверхности составляют с
горизонтальной плоскостью проекций одинаковый угол α, равный углу наклона образующих конуса.
13
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
3
3
2
2
1
0
α
Ψ
α
Ï0
1
α
0
Рис. 16
Для построения поверхности одинакового ската на чертеже в проекциях с числовыми отметками необходимо спроецировать на плоскость нулевого уровня П 0 заданную пространственную кривую и конусы, вершины
которых лежат на этой кривой. При этом сначала кривую градуируют, а на
линейном масштабе проводят прямую под углом α и находят интервал образующих конусов. В соответствии с интервалом строят параллели конусов (концентрические окружности), центры которых совпадают с вершинами конусов (рис. 17) и размещаются на кривой в точках с целочисленными значениями. Далее касательно к горизонталям конусов с одинаковыми высотными отметками проводятся лекальные кривые горизонталей поверхностей одинакового ската Ψ. Эти кривые называют эвольвентами.
5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Принадлежность точки плоскости и поверхности. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 18, а). Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит
линии этой поверхности (рис. 18, б).
Чтобы найти отметку точки, занимающей промежуточное положение
между горизонталями с целочисленными значениями, через нее проводят
любую прямую, пересекающую соседние горизонтали. Далее строят профиль полученного отрезка, учитывая, что разность высотных отметок у соседних горизонталей соответствует единице линейного масштаба, и определяют отметку интересующей точки.
14
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
3
3
2
1
Ψ
2
0
h
1
0
1
α
l 1 2 L
1 0 1
2 3ì
0
Рис. 17
D 3,7
C2
Pi
5
4
3 ,7
3
2
5
6
4
3
A6
K 4,4
0 1 2 3ì
1
а
б
Рис. 18
Взаимное положение прямых. Прямые в пространстве – пересекающиеся, если на плане в точке пересечения заложения имеют одинаковые числовые отметки (рис. 19, а), в противном случае прямые – скрещивающиеся (рис. 19, б). Прямые в пространстве параллельны, если их заложения параллельны, интервалы равны, а числовые отметки убывают в одном направлении (рис. 19, в).
15
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Если заложения прямых пересекаются за пределами чертежа, то для
определения их взаимного положения используют вспомогательные горизонтали. Пересекающиеся прямые определяют плоскость, а в плоскости
горизонтали параллельны между собой. Исходя из этого утверждения,
прямые MN и AB – пересекающиеся, а AB и LP – скрещивающиеся (рис.20),
т.к. горизонтали с отметками 4 и 7 параллельны, а с отметками 5 и 6 – нет.
Взаимное положение двух плоскостей. Чтобы построить линию
пересечения двух плоскостей, необходимо найти точки пересечения горизонталей одного уровня (рис. 21).
Линией пересечения плоскостей Ρ и Θ, имеющих параллельные горизонтали, является их общая горизонталь, проходящая через точку M, которую определяют с помощью вспомогательной секущей плоскости ∆,
масштаб уклона которой не параллелен заданным плоскостям (рис 22). В
данном случае и в большинстве других задач в ПЧО в качестве вспомогательных секущих плоскостей применяют любые плоскости, кроме проецирующих.
C8
M3
P3
L
5
6
A
4
N
B3
5 9 (4)
6
а
б
l
A12
13
14 15
l
K7
8
9
10
1 0 1 2 3ì
в
Рис. 19
16
E 10
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
P3 B4
L6
5
M4
4
5
5
6
6
A7
N7
1 0 1 2 3ì
Рис. 20
5
4
3
Σi
2
Pi
5
4
3
2
1 0 1 2 3ì
Рис. 21
4
3
∆i
Θi
Pi
5
5
4
4
3
3
2
M2,3
1 0 1 2 3ì
2
Рис. 22
17
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
У параллельных плоскостей масштабы уклонов параллельны, интервалы равны, отметки возрастают в одном направлении.
Взаимное положение прямой и плоскости. Прямая принадлежит
плоскости, если две ее любые точки лежат на горизонталях плоскости, то
есть имеют соответственно одинаковые с горизонталями высотные отметки (рис. 23).
B5
Pi
5
4
3
A2
1
2
0
1
2 3ì
Рис. 23
Задачи на построение прямых и плоскостей с заданным уклоном могут быть сведены к построению конусов вращения. При этом рассматривать прямые и плоскости общего положения следует как образующие линии и касательные к поверхности некоторых конусов вращения, оси которых перпендикулярны к данной плоскости.
Например, если через точку А, лежащую в плоскости, заданной горизонталями, на отметке 5 необходимо провести прямую с уклоном 2:3, то
сначала по масштабной сетке определяют интервал прямой, затем в точку
А5 помещают вершину прямого кругового конуса и проводят концентрические окружности, радиусы которых отличаются на величину интервала и
ставят отметки окружностей, считая их горизонталями конусов (рис. 24).
Искомую прямую определяют при помощи точек пересечения одноименных горизонталей конуса и плоскости. Задача имеет два решения, если уклон прямой меньше уклона плоскости; одно решение, если уклон прямой
равен уклону плоскости; не имеет решения, если уклон прямой больше уклона плоскости.
Если через прямую необходимо провести плоскость с заданным уклоном, то прямую градуируют и по масштабной сетке определяют интервал плоскости. Искомую плоскость задают горизонталями, касающимися
прямого кругового конуса, уклон образующих которого равен уклону искомой плоскости (рис. 25). Горизонтали проводят из точек на прямой. Задача имеет два решения.
18
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
h
A5
2
1
0
Pi
5
l
4
L
3
2
1
0
2
1
3ì
Рис. 24
h
i= 2
5
2
1
0
6
7
9
l
8
7
:3
L
7
6
5
1
6
0
1
2
3ì
5
Рис. 25
19
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо
прямой, лежащей в плоскости.
Чтобы определить точку пересечения прямой AB с плоскостью Θ,
прямую заключают во вспомогательную секущую плоскость ∆. Затем
строят линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной и находят точку пересечения M построенной линии с заданной прямой. Определяют видимость прямой (рис. 26).
Если прямая AB и плоскость Θ взаимно перпендикулярны, то на плане проекция прямой параллельна масштабу заложения, интервал прямой lпр
по величине обратно пропорционален интервалу плоскости lпл, а числовые
отметки прямой и плоскости увеличиваются в противоположных направлениях (рис. 27).
4
3
∆i
A2
Θi
M4,6
5
B6
4
3
1
0
1
2 3ì
2
Рис. 26
Θi
5
A10
4
11
12
13
3
lïë lïð
14
2
B15
1
Рис. 27
20
0
1
2
3ì
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
Зная один из интервалов, например интервал плоскости, можно графически определить интервал прямой. Для этого необходимо построить
прямоугольный треугольник, высота которого равна единице заданного
линейного масштаба, а основание – интервалу плоскости. Затем к этому
треугольнику пристраивают подобный треугольник, у которого высота
также равна единице заданного линейного масштаба, а полученное основание составит интервал прямой.
Принадлежность линий топографической поверхности. Линия
лежит на топографической поверхности, если все ее точки принадлежат
этой поверхности. Часто в инженерной практике на местности требуется
провести линии, имеющие особое значение. К ним относят линию наибольшего ската и линию заданного уклона на топографической поверхности.
Линией наибольшего ската поверхности (направление стока воды)
является линия, составленная кратчайшими расстояниями между
горизонталями от точки по рельефу (рис. 28). При этом линия наибольшего
ската и ее заложение будут перпендикулярны к касательной, проведенной
к смежной горизонтали в соответствующей ей точке.
7
5
6
A7
7
6
4
5
0 1 2 3 4ì
3
4
3
Рис. 28
На плане топографической поверхности можно построить кривую
линию, имеющую постоянный уклон к горизонтальной плоскости (линию
постоянного уклона). Такая задача, например, возникает при проектировании транспортных коммуникаций на косогоре, трубопроводов и т. д. Для
этого из точки А7 радиусом, равным интервалу l (при уклоне i = 1:3), делается засечка на ниже расположенной горизонтали (рис.29).
21
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
5
6
7
A7
7
6
4
i=1:3
5
0 1 2 3 4ì
l
3
3
4
Рис. 29
Пересечение плоскости общего положения с поверхностью. Чтобы построить линию пересечения плоскости общего положения с топографической поверхностью (рис. 30), необходимо сначала произвести градуирование и определить положение горизонталей плоскости, а затем найти
точки пересечения одноименных горизонталей плоскости и топографической поверхности, которые определят искомую линию пересечения, после
чего останется показать видимость плоскости.
2
3
4 5
B5
Pi
5
4
A2
1
2
3
4
Рис. 30
22
3
C3
2
5
1
0 1
2 3ì
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
Пересечение проецирующей плоскости с поверхностью. Если топографическую поверхность пересекает проецирующая плоскость, например А-А (рис. 31, а), то на плане сначала фиксируются точки пересечения
линии А-А с горизонталями поверхности, из этих точек восставляются
перпендикуляры, равные (в масштабе чертежа) высотным отметкам соответствующих горизонталей поверхности, а полученные точки соединяют
плавной линией. Такое сечение называется профилем. Изображение может быть наложенным или вынесенным (рис.31, б).
3
4
5
6 5
4
а
Óñëîâíàÿ
îòìåòêà
б
Рис. 31
23
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пересечение прямой с поверхностью. Чтобы найти точку встречи
прямой АВ с топографической поверхностью (рис. 32), прямую заключают
во вспомогательную секущую плоскость Р. Затем строят линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной топографической поверхностью и находят точку пересечения построенной линии с заданной прямой.
Определяют видимость прямой.
2
3
4
5
1
B4
3
4
Ði
K 2,4
3
2
2
1
1
A1
4
3
0 1
2 3
1
2
0
Рис. 32
Пересечение поверхностей. Пересечением криволинейной поверхности с топографической будет кривая линия, последовательно соединяющая точки пересечения горизонталей поверхностей, имеющие одинаковые
высотные отметки. Пересечение топографической поверхности с поверхностью прямого кругового конуса с вершиной S 7 представлено на рис. 33.
Пересечение гранной поверхности с топографической удобно рассмотреть на примере решения инженерной задачи по проектированию
строительной площадки. Пусть требуется запроектировать откосы строительной площадки прямоугольной формы, расположенной на отметке
+50,00, если уклон насыпи i н =3:2, а уклон выемки i в =1:1 (рис. 34).
24
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
2
4
3
2
5
3
S7
6
6
5
4
4
3
7
5
6
7
1
0
1
2
3ì
Рис. 33
Чтобы лучше представить задачу, на рис. 35 представлено наглядное
изображение откосов насыпи и выемки, а также поперечный профиль условной площадки. По профилю видно, что необходимо вправо от отмеченной на чертеже точки О устроить насыпь, а влево от точки О – выемку
грунта. Точка О называется точкой нулевых работ. В этой точке профиль
площадки пересекается с профилем местности и, следовательно, в этой
точке никаких работ производить не требуется. Углы наклона откосов α и
α′ зависят от заданных уклонов откосов. Линии EF и CD являются линиями пересечения откосов с топографической поверхностью и называются
границами земляных работ. Определение границ земляных работ также
необходимо для определения объема этих работ.
Для решения задачи предварительно вычерчивают линейный масштаб и график масштаба уклонов, которые наглядно характеризуют уклоны и интервалы откосов насыпи l н и выемки l в . Определяют точки нулевых работ А и В. Горизонталь топографической поверхности с отметкой
+50,00 пересекает площадку по линии нулевых работ AB. Справа от нее
будет выемка, слева – насыпь.
25
*
КАФЕДРА ДГНГ
46
47
48
49
C
50
51
47
52
48
D
49
A
53
+50,000
51
52
53
54
55
49
48
47
46
54
B
=1
ií
3:2
iâ =
3
E
:1
F
h
55
51
52
53
54
55
2
3
2
1
0 lâ 1
4M
L
lí
Рис. 84
72
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
Áðîâêà ïîëîòíà
äîðîãè
F
D
E
α
O
Âûåìêà
C
α′
Íàñûïü
Рис. 35
К каждой стороне прямоугольника восставляют перпендикуляры, на
которых откладывают величины интервалов насыпи и выемки. Полученные градуированные линии, вычерченные двумя линиями (толстой и тонкой), – это масштабы уклонов плоскостей насыпи и выемки. Через соответствующие отметки высот масштабов уклонов плоскостей проводят горизонтали откосов параллельно сторонам площадки.
Строят линии пересечения откосов. Далее определяют точки пересечения горизонталей топографической поверхности с горизонталями откосов площадки, имеющих одинаковые высотные отметки. Соединяя полученные точки, получают искомые границы земляных работ.
Для определения угловых точек (C, D, E, F) продолжают горизонтали откосов до пересечения со следующей горизонталью местности, хотя
эти пересечения и лежат за пределами искомой плоскости, получая при
этом мнимые точки.
Для большей наглядности чертежа у верха кромок откосов изображают берг-штрихи. Их проводят перпендикулярно горизонталям откосов
вдоль линии наибольшего ската.
6. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОТКОСОВ ДОРОЖНОГО ПОЛОТНА
Градуирование откосов. В инженерной практике часто приходится
иметь дело с проектированием откосов дорожного полотна. Здесь следует
рассмотреть прямолинейный горизонтальный участок дороги (рис. 36),
прямолинейный наклонный участок дороги (рис. 37), горизонтальный кри27
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
волинейный участок дороги (рис. 38), наклонный криволинейный участок
дороги (рис. 39). В двух первых примерах рассмотрены откосы насыпи, в
двух других – откосы выемки. При этом у прямых участков дороги откосы
представляют собой плоскости, а у криволинейных – поверхности одинакового ската.
Если полотно дороги представляет собой горизонтальный участок,
то первоначально при помощи масштабной сетки определяют интервал
выемки или насыпи заданного откоса. Затем перпендикулярно бровке дороги проводят масштаб уклона плоскости (поверхности) и отмечают на
нем точки, на расстоянии, равном интервалу. Через полученные точки
проводят соответствующие горизонтали плоскости (поверхности) откоса,
параллельные бровке дороги.
Если полотно дороги имеет уклон, то его градуируют, определяя интервал дороги при помощи масштабной сетки. Так же определяют интервал выемки или насыпи заданного откоса дороги.
Для градуирования плоскости (поверхности) откоса в точки с целочисленными значениями, расположенные на бровке дороги, помещают
вершины прямых круговых конусов, угол наклона образующих которых
соответствует заданному уклону откоса. Описывают концентрические окружности, расстояние между которыми равно интервалу откоса. Отметка
каждой последующей горизонтали конуса, отстоящей от его вершины, будет на единицу линейного масштаба меньше, если проектируется откос насыпи, либо на единицу линейного масштаба больше, если проектируется
откос выемки. Далее из каждой вершины конуса касательно к окружностям проводят соответствующие горизонтали откоса.
Если откос плоский, то задачу можно упростить, как это показано на
нижней части чертежа дороги на рис. 36, проведя одну горизонталь. Остальные горизонтали проводятся параллельно проведенной.
+20,00
19
18
17
1
0
1
Рис. 36
28
2
3ì
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
12
13
14
15
16
18
17
14
13
12
1
0
1
2
3 ì
Рис. 37
13
12
11
+10,00
0
1
1
2
3 ì
Рис. 38
14
12
13
13
11
12
1
0
1
2
3 ì
Рис. 39
29
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Таким образом, в результате градуирования горизонтали плоских откосов – прямые, а у откосов, представляющих собой поверхности одинакового ската, горизонтали – кривые, которые являются эквидистантными и
представляют собой эвольвенты. Расстояние между двумя проекциями
смежных горизонталей в направлении общей нормали (масштабы уклона)
всюду одинаково.
Определение границы земляных работ. Пусть требуется запроектировать дорогу, которая состоит из горизонтального и наклонного участков
с заданными уклонами откосов выемки и насыпи (рис. 40).
Первоначально определяют, на каком участке дороги требуется выполнить насыпь, а на каком – выемку.
По масштабной сетке находят интервал насыпи и выемки. Описанными выше способами откосы градуируют. Далее определяют границу
земляных работ отдельно для откосов насыпи и выемки. При этом определяют точки пересечения горизонталей откосов с горизонталями топографической поверхности, высотные отметки которых совпадают. С правой
стороны дороги точка нулевых работ получилась на пересечении 33-й горизонтали дороги с 33-й горизонталью топографической поверхности. С
левой стороны дороги точку нулевых работ получают при помощи мнимой
точки, которая находится на пересечении 33-й горизонтали откоса выемки
с 33-й горизонталью топографической поверхности. Далее мнимая точка
соединяется с точкой, имеющей отметку 34, принадлежащей границе земляных работ. При этом на пересечении с бровкой дороги получается точка
нулевых работ.
Точка нулевых работ может быть определена различными способами. На рис. 41 показаны три способа определения точек нулевых работ (К
и R).
Первый способ. Бровка a , как прямая линия, заключается в плоскость путем проведения горизонталей через точки с отметками 11 и 12 до
их пересечения с горизонталями топографической поверхности, имеющими те же отметки. Линия А′ В,′ пересекаясь с бровкой a, дает искомую
точку К.
Второй способ. Строят профиль бровки дороги b и профиль топографической поверхности. Соединяя найденные точки М12 с N11 и D12 с C10
прямыми линиями, находят на их пересечении точку R′, которую переносят на бровку b, и получают искомую точку R.
Третий способ. Искомая точка К находится как точка пересечения
линии границы откоса насыпи с линией бровки дороги a. Этим способом
определена точка нулевых работ в задаче на рис. 40.
30
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
32
33
+34
32
Îòêîñ
íàñûïè
,00
33
32
Òî÷êè íóëåâûõ
ðàáîò
33
Ìíèìàÿ òî÷êà
33
34
32
34
32
Îòêîñ
âûåìêè
35
=1
:1
32
34
ií
3:2
iâ =
3
31
h
2
1
0 lâ 1
2
3
4M
Ãðàíèöà çåìëÿíûõ
ðàáîò
L
lí
Рис. 40
31
h12
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
14
L
Ì12
a
D 12
13
13
12
B'12
11
12
E
13
3
12
b
R'
2
R
B12
K
11
N 11
A11
0
1
2
3Ì
1
J
h11
11
Рис. 41
32
A'11
10
Ñ10
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
Контрольные вопросы по теме
«Проекции с числовыми отметками»
1. В чем сущность метода проекций с числовыми отметками и, какова область его применения?
2. Что такое заложение, интервал и уклон прямой?
3. Что значит проградуировать прямую?
4. Как проградуировать плоскость?
5. Что значит проградуировать поверхность?
6. Как найти натуральную величину отрезка прямой?
7. Каковы условия параллельности прямых в проекциях с числовыми отметками?
8. Что называется масштабом уклона?
9. Как построить линию пересечения двух плоскостей?
10. Как определить точку пересечения прямой с плоскостью?
11. Что такое поверхности одинакового ската?
12. Что такое профиль и как он строится?
13. Как построить линию пересечения плоскости общего положения
с топографической поверхностью?
14. Как определить точку пересечения прямой с топографической
поверхностью?
15. Как построить прямую, перпендикулярную плоскости?
16. Как выполняется построение угловых точек?
17. Что называется углом простирания плоскости?
18. Что такое линия нулевых работ?
19. Что является границей земляных работ?
20. Как через прямую провести плоскость с заданным уклоном?
33
КАФЕДРА ДИЗАЙНА, ГРАФИКИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов / Н. Н. Крылов, Г.С.
Иконникова, В. Л. Николаев, Н. М. Лаврухина; Под ред. Н. Н. Крылова. –
М.: Высшая школа, 1990. –240 с.: ил.
2. Ломоносов Г. Г. Инженерная графика: Учеб. для вузов / Г. Г. Ломоносов. – М.: Недра, 1984. – 287 с.: ил.
3. Кузнецов Н. С. Начертательная геометрия / Н. С. Кузнецов. – М.:
Высш. школа, 1981. – 263 с.: ил.
4. Бриллинг Н. С. Справочник по строительному черчению: Учеб.
пособие для техникумов/ Н. С. Бриллинг, С. Н. Балягин, С. И. Симонин. –
М.: Стройиздат, 1987. – 448 с.: ил.
5. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов / Н. Н. Крылов, Г.С.
Иконникова, В. Л. Николаев, В. Е. Васильев; ред. Н. Н. Крылов. – 8-е изд.,
испр. – М.: Высшая школа, 2002. –224с.: ил.
34
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………...
1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ…...
2. ПРЯМАЯ…………………………………………………………………………
3. ПЛОСКОСТЬ……………………………………………………………………
4. ПОВЕРХНОСТИ………………………………………………………………..
5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ…………..
6. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОТКОСОВ ДОРОЖНОГО ПОЛОТНА………………
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………………………….
3
4
4
9
11
14
27
34
35
Л. Г. Боброва, Т. А. Верещагина, В. В.Микова
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ
Редактор И. Н. Жеганина
Компьютерная верстка Т. А. Верещагиной
Лицензия ЛР № 020370
Подписано в печать 31. 01. 2006. Формат 60x90/8.
Усл. печ. л. 4,5. Тираж 700. Заказ. 9/2006
______________________________________________________________
Редакционно-издательский отдел
Пермского государственного технического университета
Отпечатано в отделе электронных издательских систем ОЦНИТ ПГТУ
614600 Пермь, Комсомольский пр., 29,113. т. (3422) 2-198-033