ПРОГРАММА ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЭН (Эн1, Эн2, ТЭ, АТЭ), 1 курс. 1. Матрицы, их сложение, умножение на числа, перемножение и свойства этих операций. 2. Определители и их свойства. Элементарные преобразования строк и столбцов, их связь со значением определителя и использование для его вычисления. 3. Алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Разложение определителя по строке или по столбцу. Невырожденные системы и правило Крамера. Определение и формула обратной матрицы. 4. Числовые множества N, Z. Поля Q, R, и Zр. Расширения полей Q(√2) и С = R(i). Модуль, аргумент, степени и корни из комплексного числа. Алгебраическая замкнутость поля С. 5. Пространство геометрических векторов. Сложение и умножение на числа; восемь свойств линейных операций с векторами. 6. Абстрактное линейное пространство и его восемь аксиом. Простейшие следствия. 7. Линейные комбинация, (не)зависимость и (не)выразимость, их взаимосвязь. Базис линейного пространства, разложение по базису и координаты, их единственность. Действия над векторами в координатной форме. 8. Линейная независимость и зависимость геометрических векторов; базисы на прямой, на плоскости и в геометрическом векторном пространстве. 9. Декартов базис и координаты, связь координат с проекциями на базисные оси. 10. Скалярное произведение, его определение и свойства: симметричность, однородность, положительность и дистрибутивность. Выражение длин, углов, проекций. Критерий ортогональности. 11. Ориентированная тройка векторов, её эквивалентные определения и циклическое свойство. 12. Векторное произведение, его определение и свойства: антикоммутативность, дистрибутивность, неассоциативность и однородность. Приложения к вычислению площадей и восстановлению перпендикуляров. Критерий коллинеарности. 13. Определение и свойства смешанного произведения. Геометрический смысл его модуля и знака. Критерий компланарности. 14. Выражение произведений векторов через декартовы координаты. 15. Различные способы аналитического описания прямой и плоскости. Нахождение углов и расстояний между точками, прямыми и плоскостями. 16. Система линейных алгебраических уравнений, её векторно-столбцовая и матричная формы. Частное и общее решения, совместность и определённость. 17. Верхнетреугольная до k-го столбца, трапециевидная с заполнением l и единичная слева порядка r матрицы. Элементарные (гауссовы) преобразования расширенной матрицы системы. 18. Прямой ход Гаусса. Диагностика совместности системы по трапециевидной форме расширенной матрицы. 19. Обратный ход Гаусса. Свободные и связанные (ранговые) неизвестные. Запись решения в векторной форме. Фундаментальная система решений однородной системы. Структура общего решения системы. 20. Собственные векторы и числа матрицы: их определение и нахождение. Гауссов способ нахождения обратной матрицы. 21. Теорема о размерности. Ранг системы векторов; строчный и столбцовый ранги матрицы. Теорема о ранге. 1 22. Линейные операторы и действия с ними. Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора в произвольном базисе. 23. Матрица в собственном базисе. Критерий приводимости матрицы к диагональному виду, необходимые и достаточные условия. 24. Смена базиса, матрица прямого и обратного переходов. Формула преобразования матрицы оператора при смене базиса. 25. Собственные числа, векторы, базис и диагонализация симметрической матрицы. 26. Квадратичные формы, их симметризованная матричная запись и канонический вид. 27. Знаковая определённость квадратичных форм. Спектральный критерий и критерий Сильвестра. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 1. Кроме задач, аналогичных примерам из контрольных работ и типового расчёта, в билеты будут включены разнообразные геометрические задачи на отыскание углов и расстояний, а также неоднородные системы линейных уравнений. 2. При написании ответа вам желательно проявить знакомство со всеми четырьмя основными разделами курса, а именно: (А) определители и матрицы; (В) векторная алгебра и аналитическая геометрия; (С) системы уравнений; (D) линейные операторы и квадратичные формы. Поэтому распределите время на подготовку так, чтобы ознакомиться со всеми разделами; по теории основательно выучите хотя бы определения и формулировки, не пренебрегайте просмотром того, как на практических занятиях решались задачи не из ТР. А если у вас не хватает уверенности в абстрактном мышлении, продумайте заранее, какие примеры вы можете привести вместо общих рассуждений (например, в методе Гаусса). 3. Поскольку экзамен проводится в письменной форме, основным развлечением для экзаменатора оказывается поиск смартфонов и внешних запоминающих элементов у экзаменующихся и изгнание вносителей таковых. 4. Продолжительность чистого времени 90 мин., выйти можно только сдав работу. …А вообще, для большинства из ваших предшественников всё кончалось благополучно, так что ПОЗДРАВЛЯЮ ВАС С НОВЫМ ГОДОМ! И ЖЕЛАЮ ВСЕВОЗМОЖНЫХ УСПЕХОВ — И ПО АЛГЕБРЕ, И ВО ВСЁМ ОСТАЛЬНОМ Ваш А.В. Чехонадских 2